新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點40 導(dǎo)數(shù)與不等式、零點（教師版含解析）

1、29/29考點40 導(dǎo)數(shù)與不等式、零點知識理解一.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，求出參數(shù)的取值范圍(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題二證明f(x)g(x)的一般方法是證明h(x)f(x)g(x)0(利用單調(diào)性)，特殊情況是證明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性三證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式使兩個變元成為一個整體，另一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)對x10且a1).(1)當a=e時，求函數(shù)f(x)的最值；(2)

2、設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)零點的個數(shù).【答案】(1)最小值為，無最大值；(2)答案見解析.【解析】(1)當時，令得顯然在單調(diào)遞增，當時，；當時，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則的最小值為無最大值.(2)(i)若在(0，1)恒成立，此時在(0，1)沒有零點.(ii)若所以在(0，1)單調(diào)遞增.，令因為所以在單調(diào)遞減，故所以；當時在(0，1)沒有零點.當時，在(0，1)有且只有1個零點.綜上所述：若或在(0，1)沒有零點；若在(0，1)有且只有1個零點3(2021山東濰坊市高三一模)已知函數(shù)(1)若曲線在點處的切線經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)；(2)當時，判斷函數(shù)在上的

3、零點個數(shù)，并說明理由【答案】(1)；(2)答案不唯一，具體見解析【解析】(1)，所以在點處的切線方程為，所以，即；(2)因為，所以，所以可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增當時，設(shè)，此時，所以在時單調(diào)遞增，又，所以存在使得且時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增綜上，對于連續(xù)函數(shù)，在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增又因為，所以當，即時，函數(shù)有唯一零點在區(qū)間上，當，即時，函數(shù)在區(qū)間上無零點，綜上可知，當時，函數(shù)在上有個零點；當時，函數(shù)在上沒有零點考向二 導(dǎo)數(shù)與不等式【例2】(2020江蘇蘇州市)已知函數(shù).(1)若在時取得極值，求實數(shù)m的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：.【答案】(1)；(2)單調(diào)減區(qū)間為，

4、單調(diào)增區(qū)間為；(3)證明見解析.【解析】(1)由題意得，因為在時取得極值，所以，解得，當時，因為，所以，所以當時，則在遞減；當時，則在遞增，所以在時取得極小值，綜上；(2)因為，由，解得舍去，所以在時，故在單調(diào)遞減；在時，故在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.(3)法一：由，則，由(2)知，存在唯一的，使得，即，設(shè)，所以所以(3)法二：因為又，所以，.又由(2)，所以.【舉一反三】1(2021貴州高三開學(xué)考試)已知函數(shù).(1)求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當時，求證：.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【解析】(1)解析：由題意知，所以當時，解得，即在的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)令

5、，只需證即可令，則，當時，遞減，即在單調(diào)遞減，即， 所以，從而在上單調(diào)遞減，即恒成立；當時，由(1)知，的極大值點滿足，這些極大值點使得的分子值不變，但分母隨的增大而增大(當然)，當時，恒成立綜上，得證.2(2021安徽高三一模(理)已知函數(shù)f(x)=2ex+aln(x+1)-2.(1)當a=-2時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x0，時，f(x)sinx恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在(-1，0)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2).【解析】(1)當時.在單調(diào)遞增，且當時，；當時.所以函數(shù)在(-1，0)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)令當時，恒成立等價于恒成立.由于，所以(i)當時，函數(shù)在單

6、調(diào)遞增，所以，在區(qū)間恒成立，符合題意.(ii)當時，在單調(diào)遞增，.當即時，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在恒成立，符合題意.當即時，若，即時在恒小于則在單調(diào)遞減，不符合題意.若即時，存在使得所以當時，則在單調(diào)遞減，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是強化練習(xí)1(2021山東菏澤市高三一模)已知函數(shù).(1)若有唯一零點，求的取值范圍;(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)由有唯一零點，可得方程，即有唯一實根，令，則由，得由，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，又所以當時，;又當時，由得圖象可知，或.(2)恒成立，且，恒成立，令，則，令，則，在單調(diào)遞減，又，由零點存在性定理知，存在

7、唯一零點，使即，兩邊取對數(shù)可得即由函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，可得，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以即的取值范圍為.2(2021浙江高三月考)已知函數(shù).(1)若恒成立，求實數(shù)的值；(2)若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(I)， 又，故是的極大值點，所以，；另一方面，當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，恒成立(II)當時， 當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間有唯一實根， 若， 當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在區(qū)間至多有一個實根，不符合題意， 若，令，()是方程的兩不同實根，則，則故在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. ()，

8、同理可證.取，.取，.故在，各存在一個零點，實數(shù)的取值范圍是.3(2021湖北荊門市高三月考)已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)記的極值點為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】解：(1)由得，函數(shù)有兩個不同的零點，在上不單調(diào)，令得，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為，.時，時，的取值范圍是.(2)由(1)知，.令，則，且，要證，只需證.下面先證明，這只要證明，設(shè)，所以只要證明，設(shè)，則，所以遞增，則成立.于是得到，因此只要證明，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上遞減，在上遞增，則，即成立.4(2021遼寧高三其他模擬(文)已知函數(shù)()設(shè)函數(shù)，當時，證明：當時，

9、；()若有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】()證明見解析；().【解析】()，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當時，.()設(shè)函數(shù)，則，令，當時，當時，當時，得，所以當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時至多有一個零點，至多一個零點不符合題意舍去.當時，有，此時有兩個零點，設(shè)為，且又因為，所以.得在，為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，又因為，且圖象連續(xù)不斷，所以存在唯一，使得，存在唯一，使得，又因為，所以，當有兩個不同的零點時，.5(2021山西晉中市高三二模(文)已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】(1)， 令，

10、當時，在上，所以單調(diào)遞增 當時，令，得，且，所以當時，所以單調(diào)遞增；當時，所以單調(diào)遞減 當時，當時，在上，所以單調(diào)遞增當時，令，得，且，所以當或時，所以單調(diào)遞增；當時，所以單調(diào)遞減 綜上可得：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 (2)因為，根據(jù)(1)的討論可知，當時，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以成立當時，在上單調(diào)遞減，時，所以存在使得，故此時不成立當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，而，所以當時，單調(diào)遞減，此時，不合題意 綜上可得：6(2021湖南永州市高三二模)已知函數(shù)，.(1)討論在上的單調(diào)性；(2)當時，討論在上的零點個數(shù).【答案

11、】(1)答案見解析；(2)有3個零點.【解析】(1)，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞減；當時，令，則，令，則，若，即時，在上單調(diào)遞增；若，即時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；(2)當時，令，得，令，則，所以為奇函數(shù)，且，所以0是的一個零點，令，則，當，則在上單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，則，令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，又，則當時，恒成立，即當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，當時，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有且只有一個零點，設(shè)該零點為，因為為奇函數(shù)，所以在上的零點為，所以在上有3個零點，分別為，0，所以在上有3個零點.

12、7(2021全國高三開學(xué)考試(文)已知函數(shù).(1)證明：當時，函數(shù)有唯一的極大值；(2)當恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：，因為，所以，當時，令，在區(qū)間上單調(diào)遞減；，存在，使得，所以函數(shù)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.所以函數(shù)存在唯一的極大值.(2)由，即令，在區(qū)間上單調(diào)減函數(shù)，只要即可，即.8(2021全國高三開學(xué)考試(文)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對任意，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)由題意得，的定義域為，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.當時，令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)要證，即

13、證.令，則.令，則，易得在上單調(diào)遞增，且，存在唯一的實數(shù)，使得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，當時，；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.綜上，即.9(2021湖北武漢市高三月考)已知函數(shù).()當時，求的最小值；()證明：當時，恒成立.【答案】()0；()證明見解析.【解析】()時，定義域為，求導(dǎo)，設(shè)，在單調(diào)遞增.又，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.故在處取得最小值.()設(shè)，求導(dǎo).設(shè)，時，單調(diào)遞減，.，令，得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故，時，.即，在上單調(diào)遞減，則時，.由()知，故時，.即恒成立.10(2021全國高三其他模擬)已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式

14、在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】(1)，當時，令，解得：或，當，即，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；當，即，則，等號不恒成立，在上單調(diào)遞增；當，即，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，即，即，即，當時，式恒成立，；當時，當時，故當時，式恒成立,；以下求當時，不等式恒成立時正數(shù)的取值范圍，令，則，則，令，則，當時，等號不恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，時，即當時，式恒成立；當時，故的兩個零點，即

15、的兩個零點和，在區(qū)間上，是減函數(shù)，又，即當時，式不能恒成立.綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.11(2021江西上饒市高三一模(理)已知.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】(1)時，定義域為，令，則，當，；當，；在遞增，在上遞減，在上遞增(2)，由，可得，令，則在上遞增，由，且當時，使得，且當時，即；當時，即，在遞增，在遞減，由，由得即，由得，設(shè)，則，可知在上遞增，即實數(shù)的最小值為12(2021四川成都市石室中學(xué)高三月考(理)已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解

16、析.【解析】(1)函數(shù)定義域為，且，令，判別式，當，即時，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減；當，時，由，解得，若，則，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；若，則，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；綜上所述：時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因為函數(shù)定義域為，且，函數(shù)存在兩個極值點，在上有兩個不等實根，記，則，從而由且，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減，即證.13(2021江蘇連云港市高三開學(xué)考試)已知函數(shù)，.(1)若，證明：當時，；(2)討論在上零點的個數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)當時，在上有1個零點；當時，在上有2個零點.【解析】(1)令，所以當時，所以.所以在上單調(diào)遞增.當，有，在上恒成立. (2).所以，設(shè)，當時，因為，所以，而，所以，即恒成立，所以零點個數(shù)為1個. 當時，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，因為，所以是唯一零點，此時零點個數(shù)為1個. 當時，所以在上遞增，而，所以存在，有，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，而，又因為圖象是連續(xù)不間斷的，由零點存在性定理知，在上有唯