高考數(shù)學查缺補漏集中營用空間向量法解決立體幾何問題

1、2014高考數(shù)學查缺補漏集中營:用空間向量法解決立體幾何問題、選擇題(每小題5分，共25分)1.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1棱長為a,M N分別為A1B和AC上的點，A1M= AN= a, 3則MN與平面BB1C1C勺位置關(guān)系是A.C.2. 為(相交垂直在長方體B.平行D.不能確定ABCDA1B1C1D中，AB= BC= 2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1所成角的正弦值A(chǔ).).逆B3 B.孚C.手D.邛3.已知正三棱柱 ABCA1B1C的側(cè)棱長與底面邊長相等，則 AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦 等于A.).RB4 B.手C.ABCD勺頂點二2A,引D.唱PA1平面 AB

2、CD若PA= BA,則平面 ABP和平面 CDP所成的二4.過正方形 面角的大小是A. 30 B , 45 C . 609025.如圖所不，正萬體 ABCDA1B1C1D1棱長為1,線段B1D1上有兩個動點 E, F且EF=則下列結(jié)論中錯誤的是()AC BEEFT面 ABCDC.三黏t ABEF的體積為定值D.異面直線AE, BF所成的角為定值二、填空題(每小題5分，共15分).在空間四邊形 ABCM, Ab= a2c, Cb= 5a+6b- 8c,對角線 AC BD的中點分別為 P、Q則亦=.到正方體 ABCDA1B1C1D1三條棱AR CC1 A1D1所在直線的距離相等的點：有且只有 1個

3、；有且只有2個；有且只有3個；有無數(shù)個.其中正確答案的序號是 .已知 ABCDA1B1C1D1 正萬體，(A1A+A1D1+ A1B1)2 = 3A1B12;A1C (A1B1 A1A) =0;向量AD也向量a1b的夾角是60 ;正方體 ABCDA1B1C1D1體積為|AB - AAi - AD|.其中正確命題的序號是 三、解答題(本題共3小題，共35分)243 的菱形，/ BAD= 120 ,且 PA1平(11分)如圖，在四棱錐 PABCD43,底面是邊長為 面ABCD PA= 2，6, M, N分別為PB, PD的中點.證明：MM平面ABCD(2)過點A作AQ! PC,垂足為點 Q求二面角

4、AMNQ勺平面角的余弦值.(12分)如圖，已知斜三棱柱 ABCA1B1C的底面是正三角形， 側(cè)面ABB1A1是菱形，且/ A1AB= 60 , M是 A1B1 的中點，MBL AC.(1)求證：MBL平面ABC(2)求二面角 A1BB1CW余弦值.B,小B11 . (12分)如圖，在四棱錐 PABC砰,PC1底面ABCD ABC虛直角梯形， AB AD, AB/ CD AB= 2AD= 2CD= 2.E 是 PB的中點.求證：平面 EACL平面PBC(2)若二面角PACE勺余弦彳1為 幸，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.3參考答案 2 2 B MN= MB BC+ CN= 3A1B+ B

5、C+ 3CA2 - 2 - =-(A1B1 + B1E) + BC+ -(CD+ DA332,= 3B1B+ BC+ 3DA又C虛平面BB1C1C勺一個法向量,%B1B+ BC+ -DA33- Cb= o, MNL CD 又 MN?面 BB1C1C，MN/平面 BB1C1C.D1B1L A1C1面 DD1BBA1B1C1D1D 連 A1C1 與 B1D1 交與 O點，再連 BQ / AB= BC,? C1OL面 DD1BB1則/ OBC1為BC1與平面BB1D1而成角. TOC o 1-5 h z OC1 - -.cos/OBCkBd OC1= R BC1=82,10,cos / OBC1=匚

6、.552, A(0, 1,0),A 如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)正三棱柱的棱長為,1,2),二 廠一一 一，一|A缶的優(yōu)則BO=(一小,0,0)為側(cè)面 ACC1A1的法向量由sin一廠=亍.|AB1 |BO |4.B 建立如圖所示的空間直角坐標系， 不難求出平面 AP叫平面PCD勺法向量n1 =(0,1,0), n2= (0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為|：111n12|故所求的面角的大小是45 .5. D ., AC，平面 BB1D1D又 BE?平面 BB1D1D.AC!BE,故 A正確.B1D1/平面 ABCD又E、F在直線 D1B1上運動,EF/平面

7、ABCD故B正確.C中由于點B到直線B1D1的距離不變，故BEF的面積為定值，又點A到平面BEF的距離為31“6-2+- -2+ 12 = , 22 ,故VABE協(xié)定值.當點E在D1處，點F為D1B1的中點時, 建立空間直角坐標系，如圖所示,可得 A(1,1,0) , B(0,1,0),E(1,0,1) , F；, 2 1, .AE= (0 , 1,1),1 ,BF= 2，-2 1,AE BF= .2又|AE| =*, |BF|3AE . BE 2 蟲|AE| 1 BF| 小乎 2，此時異面直線 AE與BF成30角.當點E為D1B1的中點,1 1點F在B1處時,此時 與，2，1，F(xiàn)(0,1,1

8、),BF= (0,0,1),AE- BF= 1 , |AE| =cos = JA曰 BF =1=嘩乎 坐，故選 D.陌一西1 .平3 26.解析如圖.PQ= PC+ CD+ DQ PQ= PA+ AB+ BQ- 2PQ= (PC+ PA) + (DQ+ BQ + CA AB= 0+ 0+a-2c+ 5a + 6b-8c=6a + 6b- 10c,PQ=3a+ 3b5c.答案 3a+ 3b 5c7.解析 注意到正方體 ABCDA1B1C1D的對角線 B1D上的每一點到直線 AB, CC1, A1D1的距 離都相等，因此到 ABCDA1B1C1D的三條棱AB, CC的A1D1所在直線距離相等的點有

9、無數(shù)個， 其中正確答案的序號是.答案8.解析 設(shè)正方體的棱長為 1,中(A 1A + A1D什A 1B1)2 = 3(A1 B1)2=3,故正確；中A1B1 -A 1A= AB1,由于AB1LA1G 故正確；中A1B與AD1兩異面直線所成的角為 60 ,但AD1 與A1b的夾角為120 ,故不正確；中 |Ab AA1 AD = 0.故也不正確.答案(1)證明 因為M, N分別是PB, PD的中點，所以 MN是 PBD的中位線，所以 MM BD. 又因為 MN?平面ABCD所以 MM平面 ABCD.(2)解 連接AC交BD于O.以O(shè)為原點，OC OD所在直線為x,y軸，建立空間直角坐標系 Oxy

10、z, 如圖所示.在菱形 ABCD43, / BAD= 120 ,得AC= AB= 2 3, BD= 3AB= 6. 又因為PAL平面ABCD 所以PAL AC.在直角三角形PAC中， AC= 2 3, PA= 2 6, AQL PC 彳導(dǎo) QC= 2, PQ= 4. 由此知各點坐標如下，A(-0,0) , B(0, - 3,0) , C“3, 0,0), D(0,3,0) , P(小,0,2 M坐-|,N(-坐2乖)喳,。,啕 設(shè)m= (x , y , z)為平面 AMN勺法向量.由正倍,3,mj AN=普,3巾M孚x |y + 乖z = 0,J；、-|x + |y + 6z= 0.取 z =

11、 1,得 m= (2 娟，0, 1).設(shè)n=(x, y, z)為平面 QMN勺法向量. TOC o 1-5 h z 由熱。簾_3,當)qn-j耳MWM 6236235次3J6.r x- zy + 手z = 0, 6231-563x+|y+坐z=0.取 z = 5,彳導(dǎo) n = (2 成，0,5). m- n 33于正 cosrn, n=而鼻 =*.所以二面角AMNQj平面角的余弦值為T3. 33(1)證明 側(cè)面 ABB1A1 是菱形，且/ A1AB=60 ,. A1BB1為正三角形，又.點 M為A1B1的中點，BMLA1B1, AB/ A1B1, . BML AB,由已知 MBL AC,.MB

12、L平面 ABC.(2)解 如圖建立空間直角坐標系，設(shè)菱形ABB1A1邊長為2,得 B1(0, 1,小),A(0,2,0), TOC o 1-5 h z Cbj3, 1,0) , A1(0,1，4).產(chǎn)則 BA1=(0,1 ,娟)，BA= (0,2,0) ,BB1= (0, 1,季),BCf=(木，1,0) ./ &，設(shè)面 ABB1A1 的法向量 n1 = (x1 , y1, z1) , /e L B由 n1，BA, n11BA1 得，令 x1 = 1,得 n1= (1,0,0)設(shè)面 BB1C1C勺法向量 n2=(x2 , y2, z2),由 n2BB1,一 -y2 + V3z2 = 0,廠廠n

13、2，B(W令 y2 = j3,得 n2=( -1, 1),W3x2 + y2 = 0./口n1 - n2 -1J5得 cos =-=一工|n1|n2|155又二面角A1BB1C為銳角，所以所求二面角的余弦值為11 . (1)證明PCa平面 ABCD AC?平面 ABCD .AC，PC, AB= 2, AD= CD= 1 , . AO BO J2, .AC2+ BC2= AB2, . Ad BC, 又 BCA PG= C,Ad平面 PBC. AC?平面 EAC 平面 EACL平面 PBC.(2)解如圖，以C為原點，DA CD於分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系,則 C(0,0,0) , A(1,1,0) , B(1 , 1,0) 設(shè) P(0,0 , a)(a 0),則e2,CA= (1,1,0) , CP= (0,0 , a),1 a一.一.2，2取 m= (1 , 1,0),則m-CA= m-CP= 0, m為面PAC的法向量.設(shè) n=(x, y, z)為面 EAC的法向量，則 n - CA= n - CE= 0,x + y = 0,即 SM x= a,