高中數(shù)學復習課件：曲線與方程及圓錐曲線的綜合應用

1、1.設k1，則關(guān)于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1表示的曲線是（ ）y軸上的橢圓x軸上的橢圓y軸上的雙曲線x軸上的雙曲線 方程可化為所以k2-10，k+10， 所以方程表示實軸在y軸上的雙曲線，選C.C因為k1，2.在同一坐標系中，方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(ab0)表示的曲線大致是（ ）D將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為標準方程：因為ab0，所以則有橢圓的焦點在y軸，拋物線的開口向左，選D.易錯點：由方程研究曲線的性質(zhì)，須化為標準方程.3.平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1),B(-1,3)，若點C滿足 (O為原點)，其中1,2R，且1+2=

2、1，則點C的軌跡是（ ） 設C(x,y)，由已知得(x,y)=1(3,1)+2(-1,3)，x=31-2y=1+32，又1+2=1，消去1,2得x+2y=5，選AA.所以4.在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點A(-6,00和C(6,0)，頂點B在雙曲線 的左支上，則 =. 因為A和C恰為雙曲線的兩個焦點，所以由雙曲線方程及定義得：根據(jù)正弦定理知：填.5.P的斜坐標定義為：若（其中e1,e2分別為斜坐標系的x軸，y軸正方向上的單位向量，x,yR），則點P的斜坐標為（x,y）.在平面斜坐標系xOy中，若xOy=60，已知點A的斜坐標為（1,2），點B的斜坐標為（3,1）,則線段AB的垂直平

3、分線在斜坐標系中的方程是.x=2設P(x,y)為線段AB垂直平分線上的任一點，則有因為 =(1-x)e1+(2-y)e2， =(3-x)e1+(1-y)e2所以 =(1-x)2+(2-y)2+2(1-x)(2-y)，=(3-x)2+(1-y)2+2(3-x)(1-y)，由得xx=2. 易錯點：處理新信息題應認真閱讀并理解好題意.(1)定義：在直角坐標系中，如果曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系曲線上的點的坐標都是這個方程的解；以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.：(2)

4、已知曲線求方程，已知方程畫曲線是解析幾何的核心內(nèi)容.已知曲線求方程實質(zhì)就是求軌跡方程，其方法主要有直接法，定義法，代入法等；已知方程畫曲線就是用代數(shù)的方法，研究方程性質(zhì)(x，y的取值范圍，對稱性等)，然后根據(jù)性質(zhì)及一些基本函數(shù)(方程)的圖象作出曲線.在解析幾何問題中，有些與參數(shù)有關(guān)，這就構(gòu)成定值問題.解決這類問題常通過取出參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少，再將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.以實際應用為背景，圓錐曲線的有關(guān)知識為手段，解決實際問題的應用題，或以圓錐曲線為載體，構(gòu)建與其他數(shù)學分支相結(jié)合的問題（如數(shù)列問題）.重點突破：已知曲線求方程 ()已知A(0,7)

5、，B(0,-7) ，C(12,2)，則以C為一個焦點過A，B的橢圓，求該橢圓的另一個焦點F的軌跡方程.()設動直線l垂直于x軸，且與橢圓x2+2y2=4交于A，B兩點，P是l上滿足=1的點，求點P的軌跡方程.()首先利用橢圓的定義可知 為常數(shù)，再利用雙曲線的定義即可求得軌跡方程.()設出動點P的坐標，用直接法求出P點的軌跡方程即可，注意x的取值范圍.()由題意又所以故F點的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支，又c=7，a=1，所以b2=48，所以軌跡方程為 (y-1)，故填(y-1).()設P點的坐標為(x,y)，則由方程x2+2y2=4，得 ，由于直線l與橢圓交于A，B兩點，故-

6、2x2，即A，B兩點的坐標分別為A(x,)，B(x,-),則所以即x2+2y2=6，所以點P的軌跡方程為x2+2y2=6(-2x0，所以化簡可得點C的軌跡方程為：x2+4y2=4a2(x0). 重點突破：圓錐曲線中的定值問題 已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：(ab0)的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點,點M是C1與C2在第二象限的交點,且()求橢圓C1的方程.()已知點P（1,3）和圓O：x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足： (0且1).求證：點Q總在某定直線上. ()求出點M的坐標，利用橢圓的定義，可求得橢圓方程；()

7、利用設而不求法，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，可得證. ()由C2：x2=4y知F1(0,1),設M(x0,y0)(x0b0)上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM,kPN時，求證：kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值. 設點P(x,y)，若M的坐標為(m,n)，點N的坐標為(-m,-n)，其中 由所以kPMkPN= 將代入上式得：kPMkPN= 為定值，得證. 重點突破：圓錐曲線中的存在性問題 已知兩點M(2,0)，N(-2,0)，平面上動點P滿足()求動點P的軌跡C方程.()如果直線x+my+4=0(mR)與曲線C交于A，B兩點，那么在曲線C

8、上是否存在點D，使得ABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由. ()利用直接法，可求得點P的軌跡方程.()聯(lián)立直線和曲線的方程，利用韋達定理，結(jié)合假設存在，則有=0，可判斷成立與否. ()設點P(x,y)，由得 化簡得y2=8x為點P的軌跡方程.()設直線x+my+4=0與曲線C交于點A(x1,y1)，B(x2,y2)， x+my+4=0 y2=8x所以=64m2-4320，即m22,則y1+y2=-8m，y1y2=32，且若存在點D滿足條件，可設D（,t），因為ABD是以AB為斜邊的直角三角形，所以由得：y2+8my+32=0，即 +(y1-t)(y2

9、-t)=0,因為y1t，y2t，所以(y1+t)(y2+t)+64=0所以t2-8mt+96=0,所以=64m2-4960，所以m26,當m或m-時，存在點D使得ABD是以AB為斜邊的直角三角形,又m22，所以當- m- 或m 時，滿足條件的點D不存在. ，本題主要考查求曲線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，垂直問題，以及推理能力和運算能力，探究能力和向量法，以及“設而不求”，對于(1)根據(jù)題目給定條件直接可求得；對于(2)先假設存在，用“設而不求”研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造一元二次方程，應用根與系數(shù)的關(guān)系解題.已知定點A(a,0)(a0)，B為x軸負半軸上的動點，以AB為邊作菱形

10、ABCD，使其兩對角線的交點恰好落在y軸上.()求動點D的軌跡E的方程；()過點A作直線l與軌跡E交于P、Q兩點，設點R(-a,0)，當l繞點A轉(zhuǎn)動時，證明PRQ是否可以為鈍角？請給出結(jié)論，并加以證明.()設D(x,y).因為A（a,0），由ABCD為菱形，且AC、BD的交點在y軸上，所以B、C兩點的坐標分別為(-x,0)、(-a,y).由ACBD，得=(2x,y)(2a,-y)=4ax-y2=0，即y2=4ax.因為ABCD為菱形，所以x0，故軌跡E的方程為y2=4ax(x0).()PRQ不可能為鈍角，即PRQ90.證明如下：當PQx軸時，P、Q點的坐標為(a,2a)，又R(-a,0)，此時

11、PRQ=90，結(jié)論成立；當PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為y=k(x-a)， y2=4ax y=k(x-a)，得k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0.由設P(x1,y1),Q(x2,y2)，則x1+x2= =(x1+a)(x2+a)+y1y2=(x1+a)(x2+a)+k2(x1-a)(x2-a)=(1+k2)x1x2+(a-ak2)(x1+x2)+a2+a2k2=(1+k2)a2+(a-ak2)(2a+)+a2+a2k2=即為銳角.綜上知PRQ90成立.(2009山東卷)設mR,在平面直角坐標系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,動點M(x,y)的軌

12、跡為E.()求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;()已知m=,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且OAOB(O為坐標原點),并求該圓的方程;()已知m=,設直線l與圓C:x2+y2=R2 (1R0且m1時,該方程表示橢圓;當m0,即4k2-t2+10,即t24k2+1,且x1+x2=x1x2=所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2要使OAOB,需使x1x2+y1y2=0,即所以5t2-4k2-4=0,即5t2=4k2+4且t24k2+1,即4k2+420k2+5,恒成立.又因為直線y=kx+t為圓心

13、在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為故所求圓的方程為x2+y2=.當切線的斜率不存在時,切線的方程為它與交于點（）或（），也滿足OAOB.綜上,存在圓心在原點的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且()當m=時,軌跡E的方程為顯然，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=k1x+t1.因為直線l與圓C:x2+y2=R2(1R2)相切于故由()知即y=k1x+t1+y2=1A1,由,得x2+4(k1x+t1)2=4,即又因為直線l與軌跡E只有一個公共點B1,故上述方程有唯一解.則即設點B1（x3,y3）.所以,由得因為點B1在橢圓上,所以所以在直角三角形OA1B1中

14、,|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=因為當且僅當R=2時取等號,所以|A1B1|25-4=1.即當R=（1,2）時,|A1B1|取得最大值,最大值為1. 本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.1.已知曲線求方程的常用方法有：定義法，直接法，代入法等，解題的一般步驟是：建系；設點；列式；代入；化簡；證明.以上方法稱為直接法，適合于求知道動點符合的幾何條件，但不知道軌跡形狀的曲線方程；如果能夠判斷出動點的軌跡形狀，又知道曲線方程的形狀，則可用待定系數(shù)法求出曲線的方程；如果所求曲線上的點是已知曲線上的點的相

15、關(guān)動點，那么它的方程可通過相關(guān)動點之間的關(guān)系，代入到已知曲線的方程中求得，此法稱為間接法（代入法）.2.解析幾何與向量的交匯要緊緊抓住點的坐標，利用平面向量的坐標表示法，將問題中的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再根據(jù)解析幾何中已有的知識與方法求解.3.圓錐曲線是高考的重點考查內(nèi)容，在高考中除中檔題或壓軸題綜合考查它們與其他知識的交匯之外，三種曲線間的交匯在高考中也常常出現(xiàn).4.過定點問題，定值問題，存在性問題（探究性問題）等在綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題時要注意應用轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想與方法，明確解題思路，簡化計算過程，常用“設而不求”“整體代換”等解題方法.1.（2009四川卷）已知直線l1:

16、4x-3y+6=0和直線l2:x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（ ）C. D.A解法1：直線l2：x=-1為拋物線y2=4x的準線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F（1,0）的距離，故本題化為在拋物線y2=4x上找一個點P使得P到點F（1,0）和直線l2的距離之和最小，最小值為F（1,0）到直線l1:4x-3y+6=0的距離，即 故選擇A.解法2：如下圖，由題意可知本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離，綜合題.2.（2009寧夏/海南卷）已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.()求橢圓C的方程；()若P為橢圓C上的動點，M為過點P且垂直于x軸的直線上的點， ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線. ()設橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c， a-c=1 a+c=7所以橢圓C的標準方程為由已知得,解得a=4c=3.()設M(x,y)，其中x-4,4