離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、燕山大學課程設計說明書燕山大學課程設計說明書題目：離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述學院（系）：電氣工程學院年級專業(yè)：一11級精儀1班學 號：110103020058學生姓名：指導教師：教師職稱：燕山大學課程設計說明書電氣工程學院課程設計任務書課程名稱：數(shù)字信號處理課程設計基層教學單位：儀器科學與工程系指導教師:學號110103020058學生姓名李松(專業(yè))班級11精儀一班設計題目19離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述設 計 技 術 參 數(shù),- -12- -3已知 LSI 系統(tǒng)：H (z) 一1 08zz 2 08Zr11.7z 11.53z 2 0.684z 31：求其狀態(tài)方程與輸出方程2：由狀態(tài)方程求其

2、單位沖擊響應設 計 要 求學習并掌握LSI系統(tǒng)的狀態(tài)空間轉換方法及應用特點參 考 資 料數(shù)字信號處理方面資料MATLAB方面資料周次前半周后半周應 完 成 內 容收集消化資料、學習 MA TLAB軟件， 進行相關參數(shù)計算編寫仿真程序、調試指導教師簽字基層教學單 位主任簽字說明：1、此表一式四份，系、指導教師、學生各一份，報送院教務科一份。2、學生那份任務書要求裝訂到課程設計報告前面。電氣工程學院教務科燕山大學課程設計說明書摘要摘要：線性時不變離散時間系統(tǒng)是最基本的數(shù)字系統(tǒng)，差分方程和系統(tǒng)函數(shù)是描述系統(tǒng)的常用數(shù)學模型， 單位脈沖響應和頻率響應是描述系統(tǒng)特性的主要特征參數(shù)，零狀態(tài)響應和因果穩(wěn)定性是

3、系統(tǒng)分析的重要內容。文章從系統(tǒng)的分析流程、系統(tǒng)模型的創(chuàng)建、時域分析、頻域分析和因果穩(wěn)定性分析等方面，介紹了線性時不變離散時間系統(tǒng)的基本分析方法，并以實例形式列舉了MATLA取現(xiàn)程序。關鍵詞：MATLAB離散時間系統(tǒng)；系統(tǒng)分析；傳輸函數(shù)燕山大學課程設計說明書 TOC o 1-5 h z 第一章離散時間系統(tǒng)與狀態(tài)空間描述 1離散時間系統(tǒng)1狀態(tài)空間描述3 HYPERLINK l bookmark21 o Current Document LSI系統(tǒng)的求解方法 5第二章軟件仿真設計5 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 狀態(tài)方程5 HYPERLINK l

4、 bookmark32 o Current Document 輸出方程6LSI系統(tǒng)的單位沖擊響應 7 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 第三章仿真結果分析10狀態(tài)方程10 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 輸出方程10LSI系統(tǒng)的單位沖擊響應 11第四章學習心得 11 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 第五章設計與實驗過程中遇到的問題和分析 12燕山大學課程設計說明書第一章相關離散時間系統(tǒng)的知識1.1離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)是將一個序

5、列變換成另一序列的系統(tǒng)，它有多種類型，其中線性時不變離散時間系統(tǒng)是最基本、最重要的系統(tǒng)。差分方程反映了系統(tǒng)輸入與輸出的運動狀態(tài)，是在時域描述系統(tǒng)的通用數(shù)學模型；系統(tǒng)函數(shù)是零狀態(tài)下系統(tǒng)輸出與輸入的Z變換之比，在時域與頻域之間起橋梁作用。分析系統(tǒng)就是在已知系統(tǒng)結構或系統(tǒng)模型條 件下，從時域和頻域兩方面分析系統(tǒng)輸入與輸出的關系，前者重點研究系統(tǒng)的時間特性， 后者主要研究系統(tǒng)的頻率特性。下面從系統(tǒng)分析流程、系統(tǒng)模型創(chuàng)建、系統(tǒng)時域分析、系統(tǒng)頻域分析和因果穩(wěn)定性分析等方面，介紹線性時不變離散時間系統(tǒng)的基本分析方法，并以實例形式列舉 MATLABE系統(tǒng)分析過程中的具體應用。二、單位脈沖響應的計算根據(jù)差分方程

6、求解單位脈沖激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，或將系統(tǒng)函數(shù)進行Z反變換都可算出系統(tǒng)的單位脈沖響應，具體算法可參見參考文獻3。在MATLAB描述系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)都是用系數(shù)向量表示，調用impz函數(shù)就可直接算出系統(tǒng)的單位脈沖響應。如實例1描述的系統(tǒng)，其單位脈沖響應的計算及顯示程序如下：b=0.3,0.06,0,0; %系數(shù)向量不齊后面補0a=1,-1.1,0.55,-0.125; % 系數(shù)向量不齊后面補 0hn,n=impz(b,a,16), % 列向求出16點單位脈沖響應 stem(n,hn,.); grid; %繪制點狀圖并加網(wǎng)格xlabel(n);ylabel(hn);title(單位脈沖響應

7、,);若要寫出閉環(huán)形式，可調用 residuez函數(shù)將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式形式，再通過 查表求Z反變換即可。三、系統(tǒng)輸出的時域計算在時域上計算離散時間系統(tǒng)的輸出，實際上就是直接求解差分方程或作卷 積運算。參考文獻列舉了迭代法、時域經(jīng)典法、卷積法等常用方法及應用實 例?？紤]到分析系統(tǒng)的目的在于綜合，系統(tǒng)設計時不存在初始問題，因此，分 析系統(tǒng)響應重點分析零狀態(tài)響應。只要掌握了分析系統(tǒng)的概念、原理和方法， 繁雜的計算可由MATLAB成。實例2:試計算實例1中，當輸入序列分別為單位脈沖、單位階躍和一般序 歹時，系統(tǒng)的輸出響應。方法1:調用巾lter函數(shù)實現(xiàn)b=0.3,0.06,0,0; a=1,-1

8、.1,0.55,-0.125;第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書x1=1,zeros(1,15); % 產(chǎn)生16點單位脈沖序列 x2=ones(1,16); % 產(chǎn)生16點單位階躍序列 x3=exp(-0.2*0:15); %用指數(shù)序列代表一般序列y1=filter(b,a,x1), %計算單位脈沖響應y2=filter(b,a,x2), %計算單位階躍響應y3=filter(b,a,x3), %計算一般序列響應方法2：調用conv函數(shù)實現(xiàn)b=0.3,0.06,0,0; a=1,-1.1,0.55,-0.125;hn,n=impz(b,a,16); % 求出16點單位脈沖響應 x=exp(

9、-0.2*(0:15); % 輸入或產(chǎn)生一般序列 y1=conv(hn,x), %用線性卷積求系統(tǒng)響應 y2=filter(b,a,x), % 用系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)響應 k=1:16;dy=y1(k)-y2(k), %兩種計算的誤差對比結果表明，用有限長單位脈沖響應序列代替無限長單位脈沖響應系統(tǒng)會有 定的誤差，但可通過增加單位脈沖響應的長度逼近。四、頻率響應的計算穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的取值，計算系統(tǒng)的頻率響 應，可將系統(tǒng)函數(shù)中的Z變量用ej代入即可得到。頻率響應是一個復函數(shù)，其 模叫幅度響應，其相角叫相位響應，它反映了輸入序列的頻譜經(jīng)系統(tǒng)后所發(fā)生 的變化規(guī)律。從幅頻曲線上可直觀

10、看到各頻率分量的幅度變化情況，從相頻曲 線上可直觀看到各頻率分量的相移情況。根據(jù)頻響曲線分析系統(tǒng)對信號頻譜的 影響，概念清楚、簡單直觀，對信號綜合也意義重大，但要將一個較復雜的頻 率響應復函數(shù)轉化成幅度響應和相位響應并圖示，計算量大且容易出錯，圖示結果也不一定精確。利用MATLAB數(shù)這些問題都迎刃而解。實例3:利用MATLAB數(shù)計算實例1中離散系統(tǒng)的頻率響應并圖示。由系統(tǒng)函數(shù)繪制頻響曲線的程序如下：N=100; w=0:(N-1)*2*pi/N; %確定頻點z=exp(j*w); %求頻點對應的乙點b=0.3,0.06,0,0; a=1,-1.1,0.55,-0.125;第1頁，共12頁燕山大

11、學課程設計說明書Hz=polyval(b,z)./polyval(a,z); %求各頻點的頻響subplot(2,1,1),plot(w/pi,abs(Hz) %繪制幅頻曲線xlabel(w *pi),ylabel(abs(Hz) %力口標簽grid; title( 幅頻特性);%加網(wǎng)格和標題subplot(2,1,2),plot(w/pi,angle(Hz) %繪制相頻曲線xlabel(w *pi),ylabel(angle(Hz) %加標簽grid,title(相頻特性)；%加網(wǎng)格和標題繪制的頻響曲線如圖3所示，由圖可知系統(tǒng)有低通效果，且通帶內有較好 的線性相位。該程序過程清晰、容易理解，

12、但調用 freqz函數(shù)則更加簡便。b=0.3,0.06,0,0; a=1,-1.1,0.55,-0.125;freqz(b,a); %直接繪出頻響曲線幅頻特性0.511.5w *pi相頻特性0.511.6w Tpi圖3系統(tǒng)的頻響曲線狀態(tài)空間的描述隨著數(shù)字計算機在系統(tǒng)控制中的廣泛應用，離散時間系統(tǒng)(簡稱為離散系統(tǒng))日益顯示出其重要性。t的連續(xù)函數(shù)。在系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)不同，離散系統(tǒng)中各部分的信號不再都是時間變量第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書的一處或多處，其信號呈現(xiàn)斷續(xù)式的脈沖串或數(shù)碼的形式。事實上，大量的連續(xù)系統(tǒng)通常被通過采樣化為時間離散化系統(tǒng)，再來進行分析和控制。離散系統(tǒng)成為控制理論與控制

13、工程中重要的一類系統(tǒng)模型。系統(tǒng)一般可用常微分方程在時域內描述， 對復雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當困難的。經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復頻域內描述系統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入-輸出關系的傳遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù)設計單輸入-單輸出系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零極點分布得出系統(tǒng)定性特性，并 已建立起一整套圖解分析設計法，至今仍得到廣泛應用。 但傳遞函數(shù)對系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處于系統(tǒng)內部的運動變量，因此傳遞函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。由于六十年代以來，控制工程向復雜化、高性能方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、 輸出量、誤差等，還需要利用系統(tǒng)內部的狀態(tài)變化規(guī)律，加之利用數(shù)字計算機技術進行分析

14、設計及實時控制，因而可能處理復雜的時變、非線性、多輸入-多輸出系統(tǒng)的問題，但傳遞函數(shù)法在這新領域的應用受到很大限制。于是需要用新的對系統(tǒng)內部進行描述的新方法一一狀態(tài)空間分析法。狀態(tài)空間分析方法是能全面描述和分析動態(tài)系統(tǒng)的一種動力學分析與綜合的主要 方法，其也適應于離散系統(tǒng)的動力學分析與綜合。與連續(xù)系統(tǒng)類似，為更好地分析、控制離散時間被控對象，引入狀態(tài)空間分析方法。本節(jié)主要研究線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及如何建立狀態(tài)空間模型。下面先討論工程控制系統(tǒng)的計算機實現(xiàn)，然后討論離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述等問題。在經(jīng)典控制理論 中，離散系統(tǒng)通常用差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來描述。SISO線性定常離散系統(tǒng)差分方程的

15、一般形式為y(k+n)+a1y(k+n-1)+ +any(k)=b0u(k+n)+bnu(k)式中,k表木第k次米樣的kT時刻；T為采樣周期；y(k)、u(k)分別為kT時刻的輸出量和輸入量； ai和bi為表征系統(tǒng)特性的常系數(shù)?？紤]初始條件為零時的變換關系Z y(k) Y(z), Z y(k i)ziY(z)對上述差分方程模型兩端取z變換并加以整理可得脈沖傳遞函數(shù)億域傳遞函數(shù))y(z) b0zn 鏟 1 bnG(z) -：u(z) zn azn 1 . an上述描述的離散系統(tǒng)輸入輸出差分方程、傳遞函數(shù)分別與連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出微分方程、傳遞函數(shù)在形式上相同。為進行離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析，需引入離

16、散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。在狀態(tài)空間法中，采用以下的離散狀態(tài)方程和離散輸出方程所組成的線性定常離散系統(tǒng)狀 態(tài)空間模型對離散系統(tǒng)進行描述，即x(k 1)T) G(T)x(kT) H(T)u(kT) y(kT) C(T)x(kT) D(T)u(kT)第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書其中x(kT)、u(kT)和y(kT)分別為n維的狀態(tài)向量、r維的輸入向量和 m維的輸出向 量；G(T)、H(T)、C(T)和D(T)分別為n n維的系統(tǒng)矩陣、nr維的輸入矩陣、m n維的輸出矩陣和mr維的直聯(lián)矩陣。離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的意義：狀態(tài)方程為一階差分方程組，它表示了在(k+1)T采樣時刻的狀態(tài) x(k+1)

17、T)與在kT采樣時刻的狀態(tài)x(kT)和輸入u(kT)之間的關系。描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性，其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。輸出方程為代數(shù)方程組，它表示了在 kT采樣時刻時，系統(tǒng)輸出y(kT)與狀態(tài)x(kT)和輸入 u(kT)之間的關系。描述的是輸出與系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量的關系。線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中的各矩陣的意義與連續(xù)系統(tǒng)一致。LSI系統(tǒng)的求解方法對于離散LSI系統(tǒng)的響應，MATLAB為我們提供了多種求解方法：(1)用conv子函數(shù)進行卷積積分，求任意輸入的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(見實驗5)。(2)用dlsim子函數(shù)求任意輸入的系統(tǒng)零狀態(tài)響應。(3)用filter和filtic子函數(shù)求任意輸入的系統(tǒng)完全響

18、應。用filtic和filter子函數(shù)求LSI系統(tǒng)對任意輸入的響應filtic和filter子函數(shù)采用遞推法進行系統(tǒng)差分方程的求解，可以用于求解離散LSI系統(tǒng)對任意輸入的完全響應。在實驗4中，當輸入信號為單位沖激信號或單位階躍信號時，求得的響應即為系統(tǒng)的單位沖激響應或單位階躍響應。第二章軟件仿真設計2.1狀態(tài)方程已知LSI系統(tǒng):123，一、1 0.8z z 0.8zH (z)12311.7z1.53z0.684 z參數(shù) b=1 0.8 -1 -0.8;a=1 -1.7 1.53 -0.68;用A,B,C,D=tf2ss(b,a)可以求出狀態(tài)空間方第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書程系數(shù)A,

19、B,C,D。A =1.7000-1.53000.68001.00000001.00000B =100C =2.5000-2.5300-0.1200D =X AX Bu1所以系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為丫 =CX + Du輸出方程Y =CX + DuY=2.5000-2.5300-0.1200 X + u第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書單位沖擊響應n=-20:100時的系統(tǒng)單位沖激響應。計算系統(tǒng)單位沖激響應源程序：num=1,0.8,-1,-0.8;den=1,-1.7,1.532,-0.684;n=-20:100;hn=dimpulse(num,den)hn=dimpulse(num,den

20、);stem(hn);title(LSI系統(tǒng)的單位沖激響應)hn =1.ooco2.50001.71S0-1.0254-2. 6652L 73470. 34I.50220. S004-0.7029-0. 74490.38800. S4750. 33680. 4003-0.7 儂-0.28660. 29940.1國9第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書由狀態(tài)空間直接求單位沖擊響應在學習了數(shù)字信號處理這門課程后， 按照基本原理,綜合運用所學的知識，利用Matlab，掌握系統(tǒng)的單位沖激響應內容，由給定的差分方程 求解系統(tǒng)的單位沖激響應h(n).LSI系統(tǒng)的單位沖激響應第1頁，共12頁燕山大學課程設

21、計說明書sys=ss(A,B,C,D);impulse(sys)1/1卬但3 ResponEfi2C 3040Tirus i,scg)第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書第三章仿真結果分析狀態(tài)方程由于線性離散系統(tǒng)與線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、傳遞函數(shù)以及高階微分方程和差分方程之間具有結構形式上的一致性，故建立線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型時可借助于在線性定常連續(xù)系統(tǒng)中運用的方法。狀態(tài)空間描述考慮了 “輸入-狀態(tài)-輸出”這一過程，因此它提示了問題的本質。輸入引起的狀態(tài)變化是一個運動過程，數(shù)學上表現(xiàn)為向量微分方程，即狀態(tài)方程；狀態(tài)決定輸出是一個變換過程，數(shù)學上表現(xiàn)為變換方程，即代數(shù)方程。對于給定

22、系統(tǒng)，狀態(tài) 變量的選擇不是唯一的。一般來說，狀態(tài)變量不一定是物理上可測量或可觀察的量，但從便于控制系統(tǒng)的結構來說，把狀態(tài)變量選為可測量或可觀察更為合適。系統(tǒng)的狀態(tài)變量個數(shù)僅等于系統(tǒng)包含的獨立貯能元件的個數(shù)。輸出方程系統(tǒng)輸出的頻域計算 在頻域上計算離散時間系統(tǒng)的輸出，實際上就是利用Z變換或離散傅里葉變換，將時域的卷積運算變換到頻域的相乘運算，再將頻域運算結果反變換到時域，從而得到最終結果。其中，Z變換法是手工計算的常用方法，特別適合于輸入序列的 Z變換能寫成閉合形式的情形。當輸入序列是不能寫成閉合形式的數(shù)據(jù)時，用Z變換法計算就很不方便，此時可改用離散傅里葉變換實現(xiàn)系統(tǒng)響應的頻域計算。 由于有快速

23、算法，離散傅 里葉變換在工程上得到了廣泛應用。單位沖擊響應單位脈沖響應的計算根據(jù)差分方程求解單位脈沖激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，或將系統(tǒng)函數(shù)進行Z反變換都可算出系統(tǒng)的單位脈沖響應，具體算法可參見參考文獻網(wǎng)。在MATLAB描述系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)都是用系數(shù)向量表示，調用impz函數(shù)就可直接算出系統(tǒng)的單位脈沖響應。如實例1描述的系統(tǒng)，其單位脈沖響應的計算及顯示程序如下b=1,0.8,-1,-0.8; %系數(shù)向量不齊后面補0第1頁，共12頁燕山大學課程設計說明書a=1,-1.7.1.53,-0.684; % hn,n=impz(b,a,16), % stem(n,hn,.); grid; % xlabel(n,);ylabel(,hn,);title(,系數(shù)向量不齊后面補0列向求出16點單位脈沖響應繪制點狀圖并加