內(nèi)積空間精選課件

1、第二章 內(nèi)積空間一、實(shí)內(nèi)積空間的定義1、實(shí)內(nèi)積空間的概念定義1 設(shè) ,如果對 ，存在實(shí)數(shù)（記為 ）與之對應(yīng)，且滿足下列條件 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立。則稱實(shí)數(shù) 為向量 的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為實(shí)內(nèi)積空間，簡稱為內(nèi)積空間。例1 常見幾個(gè)線性空間上內(nèi)積的定義：歐氏空間（有限維實(shí)內(nèi)積空間） ： 上連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成的空間 ： 注：向量的長度 或 正交向量 ： 實(shí)數(shù)域上所有n次多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間 ： 實(shí)數(shù)域上所有n階方陣構(gòu)成的線性空間 ： 性質(zhì)1 （內(nèi)積的性質(zhì)） 定理1 （Cauchy-Schwarz不等式） 設(shè) 是內(nèi)積空間， 是 中任意兩個(gè)向量，則有：當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)等號成立。 上Ca

2、uchy-Schwarz不等式的分量形式： 上Cauchy-Schwarz不等式的積分形式： 例2 設(shè) 是 中的一組向量，證明這組向量線性無關(guān)的充要條件是下列行列式（Gram）證明：設(shè)2、正交基與子空間的正交關(guān)系定義1 （正交組）內(nèi)積空間中兩兩正交的一組非零向量，稱之為正交組。注： 任何一個(gè)正交組都是線性無關(guān)的。定義2 （正交基）在n維歐氏空間中，由正交組構(gòu)成的基，稱之為正交基。如果正交基中每個(gè)基向量的長度均為1，則稱該組正交基為標(biāo)準(zhǔn)（或規(guī)范）正交基，通常記為定理1 （正交基的構(gòu)造） 任一n維歐氏空間 都存在正交基。證明（略）。 證明過程給出了正交基的一種構(gòu)造方法：著名的Schmidt正交化方

3、法（線性代數(shù)學(xué)過）。定義3（正交矩陣）設(shè) ，如果 ，則稱 為正交矩陣。性質(zhì)1 不同標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣為正交矩陣。設(shè)n維歐氏空間的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基為即注：正交矩陣的不同列對應(yīng)元素乘積的和為零；類似地可以證明正交矩陣的不同行對應(yīng)元素乘積的和為零。正交矩陣性質(zhì)（略）定義4（正交子空間）設(shè) 是內(nèi)積空間 的兩個(gè)子空間，如果對 ，均有 ，則稱 與 是正交的子空間，并記為 。性質(zhì)2 設(shè)內(nèi)積空間 的兩個(gè)子空間 與 是正交的，則 是直和。兩種方法說明：交集為零空間； 零元素表示唯一。定義5（正交補(bǔ)空間）設(shè) 是內(nèi)積空間 的兩個(gè)子空間，且滿足 ，則稱 是 的正交補(bǔ)空間，簡稱正交補(bǔ)，記為 。性質(zhì)3 n維歐氏空間

4、的任一子空間 都有唯一的正交補(bǔ)。證明:如果 ，則 是 唯一的正交補(bǔ)。如果 ，在 中選取一組正交基，并將其擴(kuò)充為 的一組正交基則 就是 的正交補(bǔ)。唯一性：證明:如果 ，則 是 唯一的正交補(bǔ)。同理例3 已知 中： ，其中求 。利用Schmidt正交化方法將其化為正交基：將 擴(kuò)充為 的一組基：解：例4 設(shè) ，稱 的子空間為矩陣 的值域，求 。注：一般來說，稱 為矩陣 的零空間。3、內(nèi)積空間的同構(gòu)定義1 （內(nèi)積空間的同構(gòu)） 設(shè) 是兩個(gè)內(nèi)積空間，如果 和 之間存在一個(gè)一一對應(yīng)關(guān)系 ，使得對任意的 滿足 則稱 和 是同構(gòu)的。注：首先作為線性空間是同構(gòu)的，在此同構(gòu)之下保持內(nèi)積不變。定理1 所有n維歐氏空間都

5、同構(gòu)。設(shè) 是n維歐氏空間， 是其一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則有定義容易驗(yàn)證該映射為同構(gòu)映射，且保持內(nèi)積不變，從而 與 同構(gòu)。 設(shè) 是另一n維歐氏空間， 是其一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則有定義從而 與 同構(gòu)。 4、正交變換定義1 （正交變換） 設(shè) 是內(nèi)積空間 的線性變換，如果 對任意的 ，滿足則稱線性變換 為 的一個(gè)正交變換。定理1 （正交變換的等價(jià)定義） 設(shè) 是n維歐氏空間 的一個(gè)線性變換，則下列命題等價(jià)： 是正交變換。 保持向量長度不變，即對 ，均有 。如果 是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 也是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 在 中任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。證明思路： 是正交變換取 是正交變換由2中性質(zhì)1：不同標(biāo)準(zhǔn)正交

6、基之間的過渡矩陣為正交矩陣，因此 為正交矩陣。例5 幾個(gè)正交變換的例子： 的一個(gè)線性變換 ，對則 是正交變換。設(shè) 是內(nèi)積空間 的一個(gè)線性變換，則 是正交變換 。即：保持距離不變的線性變換是正交變換。設(shè) 是內(nèi)積空間 的一個(gè)變換，證明：如果 保持向量的內(nèi)積不變，即對 ，則 一定是線性變換，故是正交變換。5、點(diǎn)到子空間的距離與最小二乘法定義1 （距離） 設(shè) 是歐氏空間， ，稱 為 與 的距離，記為 。性質(zhì)1 （距離的性質(zhì)） ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立。定義2 （點(diǎn)到子空間的距離） 設(shè) 是歐氏空間 的一個(gè)子空間， ，稱 為 到 的距離。問題: 達(dá)到最小距離的 具有什么性質(zhì)？設(shè)如果定義3 最小二乘法問題提法

7、1 （矛盾方程組求解） 設(shè)給定不相容（或矛盾）線性代數(shù)方程組其中尋求近似解 ，滿足故稱之為最小二乘解，相應(yīng)方法稱為最小二乘法。提法2 （數(shù)據(jù)擬合問題） 設(shè)給定一組數(shù)據(jù) ，尋求一個(gè)近似函數(shù) （經(jīng)驗(yàn)函數(shù)）來擬合該組數(shù)據(jù)，使得提法1的求法記問題 相當(dāng)于：對于給定的向量 ，尋求 使得 之間的距離達(dá)到最小。記法（正規(guī)）方程組解：例6：求下列方程組的最小二乘解一、復(fù)內(nèi)積空間的定義6、復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）定義1 設(shè) ,如果對 ，存在復(fù)數(shù)（記為 ）與之對應(yīng)，且滿足下列條件 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立。則稱復(fù)數(shù) 為向量 的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的復(fù)線性空間稱為復(fù)內(nèi)積空間，或稱為酉空間。例7 常見幾個(gè)線性空間上復(fù)內(nèi)積的定義

8、：n維酉空間（有限維復(fù)內(nèi)積空間） ： 實(shí)數(shù)域上所有n次多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間 ： 實(shí)數(shù)域上所有n階方陣構(gòu)成的線性空間 ： 性質(zhì)1 （復(fù)內(nèi)積的性質(zhì)） 定理1 （Cauchy-Schwarz不等式） 設(shè) 是內(nèi)積空間， 是 中任意兩個(gè)向量，則有：當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)等號成立。 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式： 關(guān)于復(fù)向量的長度、正交向量、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念完全類似實(shí)內(nèi)積空間中的定義，這兒不再一一概述。定義2 （酉變換） 設(shè) 是酉空間 的線性變換，如果 對任意的 ，滿足則稱線性變換 為 的酉變換。二、酉變換定義3（酉矩陣）設(shè) ，如果 ，則稱 為酉矩陣。定理2 （酉變換的等價(jià)定義）

9、設(shè) 是n維酉空間 的一個(gè)線性變換，則下列命題等價(jià)： 是酉變換。 保持向量長度不變，即對 ，均有 。如果 是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 也是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 在 中任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣。定理3 所有n維酉空間都是同構(gòu)的。7、正規(guī)矩陣定義1（正規(guī)矩陣）設(shè) ，如果 ，則稱 為正規(guī)矩陣。常見的正規(guī)矩陣：實(shí)對稱矩陣： 實(shí)反對稱矩陣：厄米特矩陣： 反厄米特矩陣：正交矩陣： 酉矩陣：不屬于前述類型的正規(guī)矩陣：引理 （酉矩陣的構(gòu)造）設(shè) 是酉空間 的一個(gè)單位向量，則存在一個(gè)以 為第一個(gè)列向量的酉矩陣 。證明：取 ，且滿足上述關(guān)于變量 的方程組的解空間為n-1維，不妨假設(shè)其線性無關(guān)組為 ，將其正交單位化

10、后得到 ，則 構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而證明：充分性直接利用定義驗(yàn)證易得。定理1 （正規(guī)矩陣的判定條件）設(shè) 為正規(guī)矩陣的充要條件是：存在酉矩陣 ，使得 酉相似于對角矩陣，即必要性：數(shù)學(xué)歸納法證明（對階數(shù)n歸納）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)結(jié)論對n-1階矩陣成立，下證對n階矩陣也成立。設(shè) 是 的一個(gè)特征值， 是相應(yīng)單位特征向量，由引理知，存在以 為列向量的酉矩陣其中 是n-1階矩陣下面易證 矩陣 和 均為正規(guī)矩陣。因?yàn)?是n-1階正規(guī)矩陣，由歸納假設(shè)結(jié)論成立。由歸納假設(shè)，存在n-1階酉矩陣 ，滿足記 ， 仍為酉矩陣， 是矩陣 的n個(gè)特征值。推論1 設(shè) 是n階正規(guī)矩陣，特征值為 是厄米特矩陣 的

11、特征值全為實(shí)數(shù)。 是反厄米特矩陣 的特征值為0或純虛數(shù)。 是酉矩陣 的每個(gè)特征值 的模均為1。推論2 厄米特（Hermite）矩陣 任意兩個(gè)不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的。8、厄米特（Hermite）二次型定義1（厄米特二次型）設(shè) ，為厄米特矩陣，則二次型稱之為厄米特二次型， 的秩為二次型的秩。例如：注意：厄米特二次型與實(shí)二次型的區(qū)別。二次型矩陣厄米特二次型中不含交叉項(xiàng)時(shí)，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，即此時(shí)二次型矩陣為對角形矩陣。定理1 厄米特二次型 經(jīng)滿秩線性變換 后仍為厄米特二次型，且秩不變。定義2（厄米特相合）設(shè)厄米特二次型 經(jīng)滿秩線性變換 化為 ，則稱矩陣 與 是厄米特相合?；蛘哒f，存在可逆

12、矩陣 ，使得 ，則稱 與 厄米特相合。注意：實(shí)二次型時(shí)稱為合同關(guān)系。定理2 每個(gè)厄米特二次型 都可用某個(gè)酉變換 ，使其化為標(biāo)準(zhǔn)型：其中 是 的特征值。例8 化下列厄米特二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：解：該厄米特二次型的矩陣為下面先計(jì)算矩陣的特征值。解：該厄米特二次型的矩陣為下面特征值相應(yīng)的特征向量。解方程組解方程組解方程組將特征向量 利用Schmite方法正交化處理（本題3個(gè)向量已經(jīng)正交：不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交），然后再進(jìn)行單位化。將上述三個(gè)向量按照列排起來的矩陣就是酉矩陣 。所求標(biāo)準(zhǔn)型為：定義3（正（負(fù)）定二次型） 如果對 ，厄米特二次型 恒為正（負(fù)）數(shù)，則稱該二次型是正（負(fù)）定的，此時(shí)厄米特矩陣 稱為正（負(fù)）定的；若 恒不為負(fù)（正）數(shù)，即 ，則稱 為半正（負(fù)）定的，相應(yīng)的矩陣 稱為半正（負(fù)）定的。定理3 厄米特二次型 為正定（或半正定）的充要條件是 的特征值全為正數(shù)（或全為非負(fù)數(shù)）。證明：充分性由定理2易證，必要性