混沌與分形模型初步匯總課件

1、第二部分 基于過程的動力學模型與應用 第五章 混沌與分形模型初步5.1動力學系統(tǒng)與混沌5.1.1 混沌(chaos)的發(fā)現洛侖茲關于大氣對流的模型圖5.2 洛侖茲方程在相平面的投影軌跡洛侖茲 Lorenz 方程 式中x、y和z分別與對流強弱、對流引起的水平溫差和垂直溫差有關的變量，、r和b分別與流體力學中的普蘭多數（Prandtl） 、瑞利數和區(qū)域大小有關的參量。變量上面的“”表示該變量對時間t的一階導數。 蝴蝶效應 1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。他的演講和結論給人們留下了極其深刻的印象。從此以

2、后，所謂“蝴蝶效應”之說就不脛而走，名聲遠揚了。 “蝴蝶效應”之所以令人著迷、令人激動、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩，更在于其深刻的科學內涵和內在的哲學魅力。 從科學的角度來看，“蝴蝶效應”反映了混沌運動的一個重要特征：系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感依賴性。 一則西方寓言：丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵； 壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬； 馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”。折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。 傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗； 什么是混沌呢

3、？ 混沌學的任務就是尋求混沌現象的規(guī)律，加以處理和應用。 60年代混沌學的研究熱悄然興起，滲透到物理學、化學、生物學、生態(tài)學、力學、氣象學、經濟學、社會學等諸多領域，成為一門新興學科。 它的原意是指無序和混亂的狀態(tài)（混沌譯自英文Chaos）。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預測的現象，實際上有它自己的規(guī)律。 混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現為不確定性-不可重復、不可預測，這就是混沌現象?？茖W家給混沌下的定義是：1）、對初始條件的敏感依賴性這是混沌系統(tǒng)的典型特征。初始條件的微小差別在最后的現象中產生極大的差別;或者說，起初小的誤差引起災難性后果

4、。洛倫茲在他的玩具天氣模型中發(fā)現了這一特性。 在生活中，人們知道一串事件往往具有一個臨界點，那里小小的變化會放大. 然而混沌意味著這種臨界點比比皆是。它們無孔不入，無時不在。在天氣這樣的系統(tǒng)中，對初始條件的敏感依賴性乃是各種大小尺度的運動互相糾纏所不能逃避的后果，因此，洛倫茲斷言：長期預報注定要失敗。信息從小尺度傳向大尺度，把初始的隨機性放大。 2）、極為有限的可預測性 當系統(tǒng)進入混沌過程后，系統(tǒng)或表現為整體的不可預言，或表現為局部的不可預言?；煦缪芯空邆冊谧匀唤绾蜕鐣邪l(fā)現了大量混沌現象，如湍流中的旋渦，閃電的分支路徑，流行病的消脹、股市的升降、心臟的纖顫、精神病行為、城鎮(zhèn)空間分布及規(guī)模與數

5、量等級等等。 信息論認為，信息是對事物不確定性的一種量度。信息量大，消除不確定性的程度就大。我們擁有的關于某物的信息越多，對該事物的預測就會更準確。但是，當系統(tǒng)變得混沌以后，它成了一架產生信息的機器，成了連續(xù)的信息源，收集更多的信息變得毫無意義。 3）、混沌的內部存在著超載的有序 混沌內部的有序是指混沌內部有結構，而且在不同層次上其結構具有相似性，即所謂的自相似性。 混沌內部的有序還表現為不同系統(tǒng)之間跨尺度的相似性，即所謂普適性。費根鮑姆通過兩種完全不同的反饋函數Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代計算，即取一個數作輸入，產生另一個數作輸出，再將前次的輸出作輸入，如此反復

6、迭代計算。當 r 值較小時，結果趨向一個定數，當 r 超過某值時，其軌跡出現分岔。 5.1.2 生態(tài)系統(tǒng)中的振蕩與混沌 令xn和xn+1分別表示親代和子代的種群數量。很容易看出，xn+1應與xn有關：子代數量xn+1與親代數量xn的關系應為 相當于二次函數 迭代由f(x) 所實現的映射稱為邏輯斯蒂（logistic）映射。 當 時，參數變化時，長時間xn演化的形態(tài)可以有好多種。時，xn0時，xn周期2，即在兩個值上跳動xn周期4，即在四個值上來回跳動 3.57 = xn混沌吸引子5.1.3 混沌的其它例子滴水水龍頭混沌的特征 1、對初始條件的敏感依賴性。 3、混沌的內部存在著超載的有序。 2、

7、極為有限的可預測性。5.1.4 混沌判斷-李雅普諾夫指數穩(wěn)定幾種混沌圖片（1）幾種混沌圖片（2）幾種混沌圖片（3）幾種混沌圖片（4）5.2 分形（fractal）現象與分形維數(Mandelprot)曾說過： “浮云不呈球形，山峰不呈錐體，海岸線不是圓圈，樹干不是光溜溜的，閃電永不會沿直線行進” Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. How

8、long is the coast of Britain? (Science, 1967)The true answer is: it depends! It depends on the scale at which you measure it. Benot Mandelbrot122869定義：部分以某種形式與整體相似的形狀叫做分形 。特點：自相似性；無標度。英國的海岸線有多長？5.2.1 自然界分形現象的幾個實例1. 菜花形狀的特征2. Cantor集合Cantor 集合 中點數不可數（比有理數還多?。?，但其區(qū)間長度為零！3.Weierstrass函數其中 1s2 且 ，W(x) 是處

9、處連續(xù)、處處不可微的函數。對應 s=1.4, 的圖象是4. Van Koch 雪花曲線5.（兩種不同的雪花結晶照片，由于晶體結晶的起始位置（晶種）具有一定的隨機性，和規(guī)則的分形結構相比這兩個雪花有些“瑕疵”。）大自然的不規(guī)則性： 樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不 規(guī)則的。晶體的生長，分子的運動軌跡等也是不規(guī)則的。如何用幾何來描述它？ B. Mandelbrot 觀察到英國海岸線與Van Koch 曲線的關系，提出了一門描述大自 然的幾何形態(tài)的學科-分形(Fractal) 5.2.2 隨機分形的幾個例子 二維土壤切片的數字化圖像，白色代表孔隙,黑色代表土壤。（二維逾滲模型(percolation)相應的每個格點被孔隙占有的概率為 p=0.63，黑色代表孔隙,白色代表土壤）（計算機38 000步模擬之后生成的DLA（Diffusion Limit Aggregation）結構） 分形的特性 1、具有無限精細的結構 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓撲維數，并且它大于對應的 拓撲維數 4、具有隨機性 5、在大多數情況下，分形可以用非常 簡單的方法確定，可能由迭代產生。 5.2.3 分形與分形維數的定義 分形的維數 1、相似維數：設分形 F 是自相似的，即 F 由 m 個子集構成，每個子集放大 c 倍后同 F一樣，則定義 F 的維數為 對于Cantor集，對于Van Koch雪花曲