相似三角形中常見基本模型及訓(xùn)練

1、 / 9萬能解題模型基本模型1A字型及其變形1. （2019遵義）如圖，已知。的半徑為1, AB5 1連接 OA, OC.若 AD2=AB DC,則 OD= .AC是。O的兩條弦，且AB =AC,延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D,(2019婁底)如圖，點(diǎn) D在以AB為直徑的。O上，AD平分/ BAC , DCXAC ,過點(diǎn)B作。的切線交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：(1)直線CD是。O的切線；(2)CD BE = AD DE.證明：(1)連接OD. AD 平分/ BAC , ./ CAD =Z BAD. OA=OD, . BAD =/ADO./ CAD = / ADO. AC / OD. CDXAC,CD

2、XOD.又 OD為。O的半徑，直線CD是。O的切線.(2)連接BD. BE是。O的切線，AB為。O的直徑, ./ ABE = Z BDE = 90. CDXAC,C=Z BDE = 90./ CAD =Z BAE =Z DBE.ACD sx BDE. CD- = AD DE BE .CD- BE = AD- DE.基本模型2 X字型及其變形（2018 巴中）如圖，O O 的兩弦 AB , CD 相交于點(diǎn) P,連接 AC , BD ,得 Saacp ： Sadbp= 16 : 9,則 AC : BD =4 ： 3.（2018揚(yáng)州）如圖，點(diǎn) A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰 RtAABC和等腰R

3、tAADE , CD與BE , AE分 別交于點(diǎn) P, M.對(duì)于下列結(jié)論：4 BAEscad；MP MD = MA ME;2CB2 = CPCM.其中正確的是（A）A.B. C.D.基本*II型3雙垂直型相關(guān)結(jié)論： ACDAABC cACBD , CD2= BD AD, BC2= BD AB, AC2=AD- AB.（2019宜賓）如圖，已知 RtAABC中，CD是斜邊 AB上的高，AC = 4, BC=3,則AD= 5（2018安順）如圖，點(diǎn)Pl,P2,P3,P4均在坐標(biāo)軸上，且P1P21P2P3,P2P3，P3P4.若點(diǎn)Pl ,P2的坐標(biāo)分別為（0 ,-1）, （-2, 0）,則點(diǎn) P4

4、的坐標(biāo)為（8, 0）.（2019南充）如圖，在 ABC中，以AC為直徑的。交AB于點(diǎn)D,連接CD, / BCD = / A. 求證：BC是。的切線；（2）若BC = 5, BD=3,求點(diǎn)。到CD的距離.解：證明：AC是。的直徑, ADC = 90.A + / ACD =90. / BCD = Z A,./ ACD +Z BCD = 90./ ACB = 90.又OC是。O的半徑，BC是OO的切線.(2)過點(diǎn)O作OH CD于點(diǎn)H./ ACB = / BDC = 90, Z B = Z B,ACBA CDB.BC AB . 5_ AB - _ . TOC o 1-5 h z BD BC. 35 .

5、，AB = 25,.AD= 3 .3 .OH CD, CH = DH.- AO=OC, OH = 1AD =8. 23點(diǎn)O到CD的距離是8.3基本模型4 一線三等角型(1)如圖1, ACAPs PBD(此圖又叫做 “三垂圖”)；(2)如圖2、圖3,有以下結(jié)論：CD CAPA PBD;連接CD,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)， ACAPAPBDACPD. 1.一 . （2019涼山州）如圖，在正萬形 ABCD中，AB = 12, AE=AB,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B, C重合），過點(diǎn) P作PQXEP,交CD于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為4.如圖，在邊長(zhǎng)為 9的等邊 ABC中，BD=3, / ADE = 60,求

6、AE的長(zhǎng).解： ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，b = Z 0=60, AB=BC = AC = 9./ BAD +Z ADB =120. / ADE = 60,./ CDE + Z ADB = 120./ BAD =Z CDE.ABDA DCE.,AB BD9_ 3_ DC=CE，即 9_3=CE.,CE=2.,-.AE= 9-2=7.【變式】點(diǎn)D, E分別變到CB, AC的延長(zhǎng)線上.如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn) D, E分別在 CB, AC的延長(zhǎng)線上，/ ADE = 60.求證： ABD DCE.證明：. ABC是等邊三角形，./ ABC = Z ACB =60./ ABD =Z DCE

7、= 120. /ABC = / DAB +/BDA , Z ADE = Z EDC+Z BDA , Z ABC = Z ADE = 60, ./ DAB =Z EDC.ABDA DCE.10.如圖，在矩形紙片 ABCD中，將 AMP和 BPQ分別沿PM和PQ折疊(APAM),點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E 重合；再將 CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處.(1)判斷 AMP , ABPQ, ACQb和4FDM中有哪幾對(duì)相似三角形？(不需說明理由)(2)如果 AM = 1, sin/DMF=3，求 AB 的長(zhǎng).5解：(1)有三對(duì)相似三角形： AMP BPQACQD.(2)設(shè) AP = x,由折疊的性質(zhì)，得 BP = AP=EP=x. .-.AB = DC = 2x.由 AMPs BPQ,得由AMPsCQD,得AM APBP BQ，AP AMBQ = x2.CD CQ CQ = 2.AD = BC = BQ + CQ = x2 + 2, MD =AD AM =x2+2-1 = x2+1.在 RtAFDM 中，sinZ DMF =3, DF = DC