數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班－線性代數(shù)講義

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班網(wǎng)絡(luò)課程電子版教材線性代數(shù)部分前 言 1復(fù)習(xí)線性代數(shù)應(yīng)該著重于概念部分 線性代數(shù)的特點(diǎn)：概念性強(qiáng)，它的許多概念和性質(zhì)比較復(fù)雜和抽象，而計算題型不多，它們雖然計算量大，但是方法初等，技巧性差。 另一方面，考研命題的特點(diǎn)是綜合，多變，追求新穎，因此題目的典型性淡化了，靈活性增加了。這個特點(diǎn)尤其在線性代數(shù)上反映得最明顯。于是，在理論上提高自己，加深對概念的理解，拓寬解題思路，增強(qiáng)應(yīng)變能力才是應(yīng)對這樣的考題的有效途徑。 為此，我認(rèn)為對線性代數(shù)的考前準(zhǔn)備，自始至終都應(yīng)該把加深理論的理解放在最重要的位置上。在現(xiàn)在的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段更加應(yīng)該這樣做。重點(diǎn)放在幫助大家在理論上打好基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上改進(jìn)解題

2、方法。 2怎樣來復(fù)習(xí)概念？梳理，溝通，充實(shí)提高。 梳理：條理化，給出一個系統(tǒng)的，有內(nèi)在有機(jī)結(jié)構(gòu)的理論體系。 溝通：突出各部分內(nèi)容間的聯(lián)系。 充實(shí)提高：圍繞考試要求，介紹一些一般教材上沒有的結(jié)果，教給大家常見問題的實(shí)用而簡捷的方法。 大家要有這樣的思想準(zhǔn)備：發(fā)現(xiàn)我的講解在體系上和你以前學(xué)習(xí)的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你對它們了解了，掌握了，會提高你的解題能力的。 3對大家學(xué)習(xí)的建議 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要自己動腦，動手。我們的課程比學(xué)校的課程是大大濃縮的，強(qiáng)度很大。要想收到好的效果不能只聽，自己要花很大努力。 （1）有預(yù)習(xí)，最好先把過去學(xué)這門課時的教材和筆記看看。 （2）聽課時著重

3、于理解，不要只顧記筆記。在所發(fā)的講義中，重要的內(nèi)容都會寫出的。 （3）最好能同步的復(fù)習(xí)，消化，做題。為此在相鄰的兩次課之間留有足夠的時間。第一講 基本知識 一線性方程組的基本概念 與不一定相等。 兩個研究目標(biāo)： （1）討論解的情況 （） 唯一解，無窮多解，無解 （2）求解，無窮多解時求通解。 齊次線性方程組：。 零解（）。 唯一解：即只有零解。 無窮多解：有非零解。 二矩陣和向量 1什么是矩陣和向量 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 ， 2線性運(yùn)算與轉(zhuǎn)置 加（減）法 數(shù)乘 或。 向量組的線性組合 ， 。轉(zhuǎn)置 的轉(zhuǎn)置（或） ， 。 3階矩陣 行、列的矩陣。 對角線，其上元素的行標(biāo)、列標(biāo)相等 對角矩陣 數(shù)量矩陣

4、 單位矩陣 上（下）三角矩陣 對稱矩陣。 反對稱矩陣。 三矩陣的初等變換，階梯形矩陣 初等變換分 三類初等行變換 交換兩行的上下位置 用非零常數(shù)乘某一行。 把一行的倍數(shù)加到另一行上（倍加變換） 階梯形矩陣 如果有零行，則都在下面。 各非零行的第一個非元素的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)上升。 或各行左邊連續(xù)出現(xiàn)的的個數(shù)自上而下嚴(yán)格單調(diào)上升，直到全為。 臺角：各非零行第一個非元素所在位置。 簡單階梯形矩陣： 3臺角位置的元素都為1 4臺角正上方的元素都為0。 每個矩陣都可用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣。 如果是一個階矩陣 是階梯形矩陣是上三角矩陣，反之不一定，如 是上三角，但非階梯形 四線性方

5、程組的矩陣消元法 用同解變換化簡方程再求解 三種同解變換： 交換兩個方程的上下位置。 用一個非數(shù)乘某一個方程。 把某一方程的倍數(shù)加到另一個方程上去，它在反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換。 ，。 矩陣消元法： 寫出增廣矩陣，用初等行變換化為階梯形矩陣。 用判別解的情況。 i）如果最下面的非零行為，則無解，否則有解。 ii）如果有解，記是的非零行數(shù)，則 時唯一解。 時無窮多解。 iii）唯一解求解的方法（初等變換法） 去掉的零行，得，它是矩陣，是階梯形矩陣，從而是上三角矩陣。 則都不為。 于是把化出的簡單階梯形矩陣應(yīng)為 其方程為 即就是解。第二講 行列式 一形式與意義 A是階矩陣，表示相應(yīng)的行列

6、式。 二定義（完全展開式） 一個階行列式的值： 是項的代數(shù)和 每一項是個元素的乘積，它們共有項 其中是的一個全排列。 前面乘的應(yīng)為 的逆序數(shù) ， 例1 例2 例3 求中的和的系數(shù) 三計算（化零降階法） 余子式和代數(shù)余子式 稱為的余子式。 定理：一個行列式的值等于它的某一行（列），各元素與各自代數(shù)余子式乘積之和。 命題：第三類初等變換保持行列式的值 化零降階法 例4求行列式的第四行各元素的余子式之和。 四行列式的其它性質(zhì) 1轉(zhuǎn)置值不變 2用一個數(shù)乘某一行（列）的各元素值乘 3行列式和求某一行（列）分解 ，3階矩陣 4第一類初等變換使值變號 5如果一個行列式某一行（列）的元素全為或者有兩行（列）的

7、元素成比例關(guān)系，則行列式的值為。 6一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)余子式之和為。 7 8范德蒙行列 個 例5設(shè)4階矩陣， 已知，求。 例6 ， 即 五元素有規(guī)律的行列式的計算 例7 解： 例8 例9，求的條件 例10 六克萊姆法則 克萊姆法則：設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣是階矩陣（即方程個數(shù)未知數(shù)個數(shù)），則 時，方程組唯一解，此解為 是的第列用代替后所得階行列式： 時，解如何？ 即唯一解？ 改進(jìn)：唯一解 證明： 若，則,，故唯一解。 若唯一解，則有個非零行，且最下面的非零行不是于是，從而每。 求解方法： 就是解。 對于齊次方程組只有零解。 問題：若齊次方程組的方程數(shù)，有無非零解？ 例

8、如 增加方程 例 ， 例 （1）有唯一解的充要條件是什么 （2）求解 第三講 矩陣 一矩陣的乘法 1定義與規(guī)律 定義：設(shè)與是兩個矩陣 如果的列數(shù)等于的行數(shù)，則可以乘，乘積也是一個矩陣，記作。 當(dāng)是矩陣，是矩陣時，是矩陣。 的位元素是的第行和的第列對應(yīng)元素乘積之和。 遵循的規(guī)律 線性性質(zhì) ， 結(jié)合律 與數(shù)的乘法的不同之處 無交換律 例如， 則， 無消去律 當(dāng)時或 由和 由時（無左消去律） 2階矩陣的方冪與多項式 任何兩個階矩陣與可乘，并且仍是階矩陣。 行列式性質(zhì)： 是階矩陣 ， 但是不一定成立！ 設(shè)， 是階矩陣，規(guī)定 問題：數(shù)的乘法公式，因式分解等對矩陣是否仍成立？ ？ ？ 障礙是交換性 當(dāng)時，

9、 一個矩陣的每個多項式可以因式分解，例如 3乘積矩陣的列向量與行向量 （1）設(shè)矩陣，維列向量，則 應(yīng)用于方程組 記是系數(shù)矩陣，設(shè)， 則， 方程組的矩陣形式 ， 方程組的向量形式 （2）設(shè)， 記， 則 或 于是 即的第個列向量是的列向量組的線性組合，組合系數(shù)是的第個列向量的各分量。 類似地：的第個行向量是的行向量組的線性組合，組合系數(shù)是的第個行向量的各分量。 例1 對角矩陣從右側(cè)乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各列向量。 對角矩陣從左側(cè)乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各行向量。 于是， ， 兩個對角矩陣相乘只須把對角線上對應(yīng)元素相乘 對角矩陣的次方冪只須把每個對角線上元素作次方冪。 4初

10、等矩陣及其在乘法中的作用 對單位矩陣作一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。 共有3種初等矩陣 （1）：交換的第兩行或交換的第兩列 ， （2）：用數(shù)乘的第行或第列 ， （3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。 ， 命題：初等矩陣從左（右）側(cè)乘一個矩陣等同于對作一次相當(dāng)?shù)某醯刃校校┳儞Q。 5矩陣分解 例2（05考題）3階矩陣， ，求 當(dāng)矩陣的每個列向量都是的列向量的線性組合時，可把分解為與一個矩陣的乘積。 例3（05考題）設(shè)是3階矩陣，是3個3維列向量。 ， 求作矩陣，使得 6乘法的分塊法則 一般法則：在計算兩個矩陣和的乘積時，可以先把和用縱橫線分割成若干小矩陣來進(jìn)行，要求的

11、縱向分割與的橫向分割一致。 兩種常用的情況 （1）都分成4塊 ， 其中的列數(shù)和的行數(shù)相等，的列數(shù)和的行數(shù)相關(guān)。 （2）準(zhǔn)對角矩陣 例4，。，求。 對一個階矩陣，規(guī)定為的對角線上元素之和稱為的跡數(shù)。 于是 例5（03）設(shè)維列向量，。規(guī)定，。已知，求。 例6（03）已知，求 例7，求 例8（99）設(shè)，求 二矩陣方程與可逆矩陣 1兩類基本的矩陣方程 若知道和，中的一個，求另一個，這是乘法的逆運(yùn)算。 兩類基本矩陣方程 都需求是方陣，且 例9已知，求，使得。 等式可恒等變形為 ， 如果上有一列，記作，則是線性方程組。 現(xiàn)在有兩列，則也應(yīng)有兩列，設(shè) ， 則 得 ， ，它們都是唯一解，從而唯一解。 （I）的

12、解法： （II）的解法，先化為。 。 例10求，使得，。 2可逆矩陣及其逆矩陣 當(dāng)時，。 對兩邊乘，得。 定義與意義 設(shè)是階矩陣，如果存在階矩陣，使得，且，則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，證作。 設(shè)可逆，則有消去律。 左消去律：。 右消去律：。 可逆性的判別，逆矩陣的計算 定理：階矩陣可逆 證明：“” 。 不為0，（且）。 “”要找，既是的解，又是的解。 ，有唯一解，記作，也有唯一解，記作，則，。 可逆，即的解。 求的方程（初等變換法） 推論 設(shè)，是兩個階矩陣，則 例11設(shè)，都是階矩陣，滿足 證明（1），都可逆，（2）求，。 解：（1） ，都不為0，因此，都可逆。 （2）， ，即，。 可逆矩陣的

13、性質(zhì) i）當(dāng)可逆時， 也可逆，且。 也可逆，且。 數(shù)，也可逆，。 。 ii）設(shè)，是兩個階可逆矩陣，則也可逆，且。 當(dāng)，都是階矩陣時 ，都可逆可逆 命題：初等矩陣都可逆，且 。 命題：準(zhǔn)對角矩陣可逆 每個都可逆，記 3伴隨矩陣 每個階矩陣都有伴隨矩陣，證作。 伴隨矩陣的基本性質(zhì)： 當(dāng)可逆時， 得， 求逆矩陣的伴隨矩陣法 當(dāng)時：， 則 要證 得 伴隨矩陣的其他性質(zhì) , , ， 。 時， 關(guān)于矩陣右上肩記號：，* i) 任何兩個的次序可交換， 如， 等 ii) ， （但不一定成立?。?例12，求 例13（00）己知，求矩陣，使得. 例14己知 ，,滿足，求. 例15（05）三階矩陣滿足，并且，求 例

14、16（05） 設(shè)是階可逆矩陣，是交換的第1，2兩行所得的矩陣，則 （A）交換的第1，2兩行得。 （B）交換的第1，2兩列得。 （C）交換的第1，2兩行得。 （D）交換的第1，2兩列得。 例17（01）是3階矩陣，是3維列向量，使得可逆，并且。 （1）求作矩陣，使得 （2）求 例18階矩陣滿足 （1）證明可逆，并求。 （2）證明對任何有理數(shù)，可逆。 例19設(shè)是兩個階對稱矩陣，使得可逆，證明也是對稱矩陣。 例20設(shè)階矩陣和滿足等式，, 證明：（1）和都可逆 （2）可逆可逆 （3） 小結(jié)： 1乘法的定義，與數(shù)的乘法的區(qū)別 2在特殊情形下怎么快捷地求乘積矩陣 3矩陣分解的概念 4矩陣方程的初等變換法

15、5可逆矩陣 ，第四講 向量組的線性關(guān)系和秩 一線性表示 1可以用線性表示，即可以表示為的線性組合，也就是存在使得 記號： 例如 有解 有解 有解，即可用A的列向量組表示。 2，即每個 如果， 則。 如果，則存在矩陣，使得 例如，則 線性表示關(guān)系有傳遞性，即當(dāng) ， 則。 3等價關(guān)系：如果與互相可表示 就稱它們等價，記作。 二線性相關(guān)性 1定義與意義 考察的內(nèi)在線性表示關(guān)系 ， 線性相關(guān)：存在向量可用其它向量線性表示。 線性無關(guān)：每個向量都不能用其它向量線性表示 定義：如果存在不全為的，使得， 則稱線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。 例如，則， 。 線性無關(guān)，即當(dāng)時必存。 線性相（無）關(guān)有（無）非零解有（

16、無）非零解 ，即單個向量， 相關(guān) ，相關(guān)對應(yīng)分量成比例， 相關(guān) 2性質(zhì) 如果向量個數(shù)二維數(shù)，則線性相（無）關(guān) ，有非零解 如果，則一定相關(guān)。 的方程個數(shù)未知數(shù)個數(shù) 如果無關(guān)，則它的每一個部分組都無關(guān)。 例如若無關(guān)，則一定無關(guān)。 如果無關(guān)，而相關(guān)，則 設(shè)不全為0，使得 則其中，否則不全為0，與條件無關(guān)矛盾。于是。 當(dāng)時，表示方式唯一無關(guān)， （表示方式不唯一相關(guān)） 若，并且，則一定線性相關(guān)。 記，則存在矩陣，使得 。 有個方程，個未知數(shù)，有非零解，。 則，即也是的非零解，從而線性相關(guān)。 各性質(zhì)的逆否形式 如果無關(guān)，則。 如果有相關(guān)的部分組，則它自己一定也相關(guān)。 如果無關(guān)，而，則無關(guān)。 如果，無關(guān)，

17、則。 推論：若兩個無關(guān)向量組與等價，則。 例1（05）已知，線性相關(guān)，并且，求。 例2設(shè)線性無關(guān)，而線性相關(guān)。 則 （A）線性相關(guān)。 （B）線性無關(guān)。 （C）線性相關(guān)。 （D）線性無關(guān)。 三極大無關(guān)組和秩 可以有多大的線性無關(guān)的部分組？ ， ， 1定義 的一個部分組稱為它的一個極大無關(guān)組，如果滿足： i）線性無關(guān)。 ii）再擴(kuò)大就相關(guān)。 規(guī)定的秩。如果每個元素都是零向量，則規(guī)定其秩為。 討論： 設(shè) 相關(guān)無關(guān)？相關(guān)無關(guān)？結(jié)論：一個線性無關(guān)部分組，若等于秩，就一定是極大無關(guān)組。 2性質(zhì)（應(yīng)用） 無關(guān)。 取的一個極大無關(guān)組 也是的極大無關(guān)組相關(guān)。 相關(guān)。 可用唯一表示 向量組的秩的計算方法： 階梯形

18、矩陣 的非零行數(shù)。 例3（95）已知，求. 例4已知。證明：（1）; （2）. 例5設(shè) （1）為何值時，可用唯一表示？ （2）為何值時，可用表示，且表示方式不唯一？ （3）為何值時，不可用表示？ 解：比較和 （1）時，唯一表示。 （2）時，無窮多表示。 （3）時，不可表示。 例5（05）。 。 求，使得，但是。 例6（00）， 已知，求。 3有相同線性關(guān)系的向量組 兩個向量若有相同個數(shù)的向量：，并且向量方程 與同解，則稱它們有相同的線性關(guān)系。 對應(yīng)的部分組有一致的相關(guān)性。 的對應(yīng)部分組， 若相關(guān)，有不全為的使得 ， 即是的解， 從而也是的解，則有 ， 也相關(guān)。 極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等。

19、有一致的內(nèi)在線表示關(guān)系。 如。 設(shè)：，則 即 ， 即 。 與有相同的線性關(guān)系即與同解。 反之，當(dāng)與同解時，和的列向量組有相同的線性關(guān)系。 例7設(shè)，。 （1）求，找出一個極大無關(guān)組，并把其它向量用此極大無關(guān)組線性表示。 （2）判斷下列部分組中哪幾個是極大無關(guān)組 四矩陣的秩 1定義 是矩陣 定理：矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩。 規(guī)定行（列）向量組的秩。 的行秩=的行秩 的列秩=的列秩 的計算：用初等變換化為階梯形矩陣，則的非零行數(shù)即。 命題：的非零子式階數(shù)的最大值。 2矩陣的秩的簡單性質(zhì) 行滿秩： 列滿秩： 階矩陣滿秩： 滿秩的行（列）向量組線性無關(guān) 可逆 只有零解，唯一解。 3矩陣在運(yùn)算中秩

20、的變化 初等變換保持矩陣的秩 時， 可逆時， 可逆時， ， 若，則（的列數(shù)，的行數(shù)） 列滿秩時 行滿秩時 例8設(shè)是矩陣，證明： 存在非零向量和，使得。 例9是階矩陣, 證： 例10階矩陣，求。 例11，求滿足的條件。 例123階矩陣，求和。 例13設(shè)，無關(guān)，則（ ）也線性無關(guān)。 （A），。 （B），。 （C），。 （D），。 例15（04）是兩個非零矩陣，則 （A）的列向量組線性相關(guān)，的行向量組線性相關(guān)。 （B）的列向量組線性相關(guān)，的列向量組線性相關(guān)。 （C）的行向量組線性相關(guān)，的行向量組線性相關(guān)。 （D）的行向量組線性相關(guān)，的列向量組線性相關(guān)。 例16證明：維向量組的秩為任何維向量都可用線性

21、表示。 例17證明. 例18證明. 第五講 線性方程組 一方程組的表達(dá)形式 1 2 是解 3 有解 二解的性質(zhì) 1的解的性質(zhì)。 如果是一組解，則它們的任意線性組合一定也是解。 2 如果是的一組解，則 也是的解 是的解 當(dāng)是的兩個解時，是的解 如果是的解，則維向量也是的解是的解。 三解的情況判別 ，即 有解 無解 唯一解 無窮多解 方程個數(shù)： 當(dāng)時，有解 當(dāng)時，不會是唯一解 對于齊次線性方程組， 只有零解（即列滿秩） （有非零解） 推論1 如果列滿秩，則有左消去律，即 證：記，則，即對每個，即是的解。只有零解，故。 ，。 推論2 如果列滿秩，則 證：下面證與同解。 是的解 是的解 例1（01）已

22、知有無窮多解，求。 例2是矩陣，是矩陣，則 （A）時僅有零解 （B）時必有非零解 （C）時僅有零解 （D）時必有非零解 四基礎(chǔ)解系和通解 1有非零解時的基礎(chǔ)解系 記是的全部解的集合。 稱的極大無關(guān)組為的基礎(chǔ)解系。 是的基礎(chǔ)解系的條件： 每個都是的解 線性無關(guān) 的每個解 定理： 階梯形矩陣 的非零行數(shù) 有個方程（除去），因此有個自由未知量。 于是是的基礎(chǔ)解系的條件可換為 / 例3（92）當(dāng)_時，和構(gòu)成的基礎(chǔ)解系。 （A） （B） （C） （D） 例4的一個基礎(chǔ)解系為 （A） （B）， （C）， （D）， 例5，構(gòu)成的基礎(chǔ)解系 求， 證明：當(dāng)時，. 證：記 每個都是的解 2通解 如果是的一個基礎(chǔ)解

23、系，則的通解為 ，任意 如果是的一個解，是的基礎(chǔ)解系，則的通解為 ，任意 例6求的通解 解：用初等行變換把系數(shù)矩陣化為簡單階梯形矩陣 確定自由未知量寫出同解方程組 對自由未知量賦值，求出基礎(chǔ)解系 ， 寫出通解為 ，任意 例7求的通解 例8（96）方程組的增廣矩陣 討論，的取值與解的情況的關(guān)系，有無窮多解時求通解。 關(guān)于求通解的一組例題 例9（04）已知是方程組 的一個解。 （1）用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示此方程組的通解。 （2）寫出滿足的全部解。 解：把代入第1個方程（或第3個方程）得出。 （1）特解已有，只用求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系。 當(dāng)時 求出的基礎(chǔ)解系 ， 通解為 ， ，任意 若，則 是的基礎(chǔ)解系

24、 通解為：，任意。 （2）時，通解中， 于是當(dāng)取時，。 滿足的通解為 ，任意 即 ，任意。 時，通解中，。 此時只有一個解： 例10（02）設(shè)的系數(shù)矩陣，其中線性無關(guān)，求通解。 例11已知，都是方程組的解，求通解 例12（05）設(shè)是階矩陣，第一個行向量為，它不為零向量。 ，已知，求的通解。 關(guān)于兩個方程組的關(guān)系的一組例題 例13（I）和（II）是兩個4元齊次方程組。 （I）： （II）有基礎(chǔ)解系，。 求（I）與（II）的全部公共解 例14兩個4元齊次方程組（I），（II）分別有基礎(chǔ)解系 （I）：， （II）：， 求（I）與（II）的公共解。 例15（05）齊次方程組 （I）與（II）同解。 求

25、。 第六講 特征向量與特征值，相似與對角化 一特征向量與特征值 設(shè)是階矩陣，是維非零列向量，與是否相關(guān)？ 例如：， ， 1定義：如果，并且與線性相關(guān)，則稱是的一個特征向量。此時，有數(shù)，使得，稱為的特征值。 設(shè)是數(shù)量矩陣，則對每個維列向量，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。 例1設(shè)，滿足什么條件時是的特征向量？ 答：而，特征值為1； 或，特征值為2。 例2（97）已知是的特征向量，求和的特征值。 例3（97）已知，都是3階矩陣的特征向量，特征值依次為1，2，3，求。 解：， 當(dāng)是的特征值時，常常說是屬于的特征向量。 特征值有限 特征向量無窮多 若， 每個特征向量有唯一特征值，而有許

26、多特征向量有相同的特征值。 計算時先求特征值，后求特征向量。 2計算 階矩陣，求的特征向量與特征值 是的非零解 命題：是的特征值 是屬于的特征向量是的非零解 稱多項式為的特征多項式。 是的特征值是的特征多項式的根。 的重數(shù)：作為的根的重數(shù)。 階矩陣的特征值有個：，可能其中有的不是實(shí)數(shù)，有的是多重的。 計算步驟： 求出特征多項式。 求的根，得特征值。 對每個特征值，求的非零解，得屬于的特征向量。 復(fù)雜，困難，不作一般的要求。 兩種特殊情形： （1）是上（下）三角矩陣，對角矩陣時，特征值即對角線上的元素。 （2）時：的特征值為 3特征值的性質(zhì) 命題：階矩陣的特征值的重數(shù) 命題：設(shè)的特征值為，則 比

27、較兩邊的常數(shù)項部分得 比較兩邊的的系數(shù)得：右邊為左邊會的項且有，其系數(shù)為 例4：設(shè)，求的特征值的特征向量 4與相關(guān)的矩陣的特征向量與特征值 命題：設(shè)是的特征向量，特征值為，即，則 對于的每個多項式， 例如： 當(dāng)可逆時， 。 命題：設(shè)的特征值為，則 的特征值為 可逆時，的特征值為 的特征值為 的特征值也是 。 例5階矩陣 求的特征值。 例6求和的特征值。 5特征值的應(yīng)用 求行列式 判別可逆性 是的特征值不可逆 可逆不是的特征值。 當(dāng)時，如果，則可逆 若是的特征值，則是的特征值。 不是的特征值可逆。 例7，取何值時。 例8，求。 例9階矩陣滿足。證明 （1）可逆。 （2）可逆。 二n階矩陣的相似關(guān)

28、系 設(shè)，是兩個階矩陣。如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似，記作。 當(dāng)時，而時，。 相似關(guān)系有i）對稱性： ，則 ii）有傳遞性：，則 ，則 命題 當(dāng)時，和有許多相同的性質(zhì) ，的特征多項式相同，從而特征值完全一致。 與的特征向量的關(guān)系：是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量。 例10（03） ，。求的特征值與特征向量。 解：（1）先求特征值 的特征值為 的特征值為 的特征值為 的特征值為 的特征向量和的特征向量的關(guān)系： 是的屬于1的特征向量，即 是的屬于9的特征向量 的屬于的特征向量是的非零解，求出的基礎(chǔ)解系，則 的屬于1的全部特征向量的集合 記，則的屬于9的全部特征向量的集合為。 的屬于7的特

29、征向量的集合=，。 記，則的屬于3的特征向量為。 ，的計算：用矩陣方程求解： ， 三n階矩陣的對角化 是否相似于一個對角矩陣？ 不是每個矩陣都相似于對角矩陣的，例如。若，則，則。 基本問題 判別階矩陣是否相似于對角矩陣（可對角化） 實(shí)現(xiàn)問題，構(gòu)造可逆矩陣，使是對角矩陣 基本定理 可對角化有個線性無關(guān)的特征向量。 設(shè)可逆矩陣，則 ， 判別法則 可對角化對于的每個特征值，的重數(shù)。 當(dāng)是一重特征值時，重數(shù)一定成立。只須對重數(shù)的特征值檢查。 推論：如果有個不同的特征值，則一定可對角化。對角化的實(shí)現(xiàn)（可逆矩陣的構(gòu)造）： 對每個特征值，求出的一個基礎(chǔ)解系，把它們合在一起，得到個線性無關(guān)的特征向量，。令，則

30、 ，其中為的特征值。 例如：是6階矩陣，有3個特征值（二重），（三重），（一重），求出是的基礎(chǔ)解系。 是的基礎(chǔ)解系。 是的基礎(chǔ)解系。 例11（04）有一個二重特征值，求，并判斷可否對角化。 例12（05）是3階矩陣，是線性無關(guān)的3維列向量組， ， （1）求作，使得 （2）求的特征值。 （3）作可逆矩陣，使得是對角矩陣。 第七講 二次型（實(shí)二次型） 一基本概念 1二次型及其矩陣 二次型是多個變量的二次齊次多項式函數(shù)。如 是一個三元二次型，它的每一項都是二次，或是一個變量的平方，稱為平方項或是兩個不同變量的乘積，稱為交叉項。 一個元二次型的一般形式為 只有平方項的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)二次型。 形如：的元

31、二次型稱為規(guī)范二次型。 對每個階實(shí)矩陣，記，則是一個二次型。 例如時，則 其中平方項的系數(shù)都是的對角線上的元素，而交叉項的系數(shù)是。 我們可利用矩陣的形式來寫出一個二次型，如把 寫成的形式，的對角線上的元素是確定的，依次為，但對角線外的元素不是唯一確定的，只要滿足。 ，就可以。 我們要求是一個對稱矩陣，則它就是唯一確定的了。 稱這個實(shí)對稱矩陣為該二次型的矩陣。 稱的秩為這個二次型的秩。 標(biāo)準(zhǔn)二次型的矩陣是對角矩陣。 規(guī)范二次型的矩陣是規(guī)范對角矩陣。 2可逆線性變量替換 橢圓方程 設(shè)有一個元二次型，引進(jìn)新的一組變量，并把用它們表示。 （并要求矩陣是可逆矩陣） 代入，得到的一個二次型這樣的操作稱為對

32、作了一次可逆線性變量替換。 設(shè)，則上面的變換式可寫成 則 于是的矩陣為 3實(shí)對稱矩陣的合同 兩個階實(shí)對稱矩陣和，如果存在階實(shí)可逆矩陣，值得。稱與合同，記作。 命題：二次型可用可逆線性變換替換化為 二二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化 1每個二次型都可以用可逆線性變量替換化為標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型。 也就是每個實(shí)對稱矩陣都會同于對角矩陣和規(guī)范對角矩陣。 設(shè)是一個實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得是對角矩陣。 ， 2標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的方法 正交變換法 例1（03），它的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為。 （1）求。 （2）求作正交變換，把化為標(biāo)準(zhǔn)二次型 解：（1） ， ， （2）求的特征值 的特征值為2（二重）

33、和（一重） 求屬于2的單位正交特征向量組，即的單位正交基礎(chǔ)解為 的一個基礎(chǔ)解系 正交化 求屬于的單位特征向量 單位化 作 則 作正交變換，則它把化為。 用正交變換法一般只能把二次型標(biāo)準(zhǔn)化，因為的對角線上元素就是的特征值，它一般不是規(guī)范對角矩陣。 配方法 例2作可逆線性變量替換，化下列二次型為規(guī)范二次型 （1） （2） 3慣性定理與慣性指數(shù) 定理 一個二次型用可逆線性變換替換化出的標(biāo)準(zhǔn)形的各個平方項的系數(shù)中，大于0的個數(shù)和小于0的個數(shù)是由原二次型所決定的，分別稱為原二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)。 一個二次型化出的規(guī)范二次型在形式上是唯一的，也即相應(yīng)的規(guī)范對角矩陣是唯一的。 用矩陣的語言來說：一個實(shí)對稱

34、矩陣會同于唯一規(guī)范對角矩陣。 二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)在可逆線性變量替換下不變；兩個二次型可互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們的正、負(fù)慣性指數(shù)相等。 實(shí)對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)就等于正（負(fù)）特征值的個數(shù)。 例3（01）設(shè)是可逆實(shí)對稱矩陣，記是它的經(jīng)元素的代數(shù)余子式，二次型 （1）求出的矩陣。 （2）的規(guī)范形與的規(guī)范形是否相同？ 例4（01），則 （A）與即會同又相似 （B）與會同但不相似 （C）與不會同但相似 （D）與既不會同，又不相似 例5（05）已知二次型的秩為2。 （1）求。 （2）求作正交變換，把化為標(biāo)準(zhǔn)形。 （3）求的解。 解：（1）寫出的矩陣 由，求出， （2）求出的特征值。 求屬于2的特征

35、向量： ，是屬于2的兩個特征向量，它們已經(jīng)是正交的。單位化得 求出屬于0的特征向量 ， 單位化 作， 則 于是作正交變換，可把化為 （3） 則 求出通解為：，任意。 例6（96）已知3是的特征值。 （1）求。 （2）求作可逆矩陣，使得是對角矩陣。 三正定二次型與正定矩陣 1定義 一個二次型稱為正定二次型，如果當(dāng)不全為0時，。 例如，標(biāo)準(zhǔn)二次型正定， （必要性“”，取，此時同樣可證每個） 實(shí)對稱矩陣正定即二次型正定，也就是：當(dāng)時，。 例如實(shí)對角矩陣正定， 2性質(zhì)與判別 可逆線性變換替換保持正定性。 變?yōu)?，則它們同時正定或同時不正定。 ，則，同時正定，同時不正定。 例如。如果正定，則對每個 （可逆

36、，?。?我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì)。 正定 存在實(shí)可逆矩陣，。 的正慣性指數(shù)。 的特征值全大于。 的每個順序主子式全大于。 設(shè)是一個階矩陣，記是的西北角的階小方陣，稱為的第個順序主子式（或階順序主子式）。 判斷正定的三種方法： 順序主子式法。 特征值法。 定義法。 例7二次型在滿足什么條件時正定？ 例8（98），。 （1）求作對角矩陣，使得。 （2）滿足什么條件時正定？ 例9（02）已知階矩陣是實(shí)對稱矩陣，滿足，并且。 （1）求的特征值。 （2）滿足什么條件時正定？ 例10設(shè)，是兩個階正定矩陣，證明也正定。 例11設(shè)是階正定矩陣，是實(shí)矩陣，證明是正定矩陣。 。 例12（00）二次型 滿足什么條

37、件時二次型正定？ 例13（05）設(shè)是正定矩陣，其中，分別是，階矩陣，記 （1）求。 （2）判斷：是否正定？ 附錄一 內(nèi)積，正交矩陣，實(shí)對稱矩陣的對角化 以下談到的向量，矩陣都是在實(shí)數(shù)的范圍中心，而向量的分量都是實(shí)數(shù)，矩陣的元素也都是實(shí)數(shù)。 一向量的內(nèi)積 1定義 兩個維實(shí)向量的內(nèi)積是一個數(shù)，記作，規(guī)定為它們對應(yīng)分量乘積之和。 設(shè)，則 2性質(zhì) 對稱性： 雙線性性質(zhì)： 正交性：，且 3長度與正交 向量的長度 單位向量：長度為的向量 ， 若，則是單位向量，稱為的單位化。 兩個向量如果內(nèi)積為0：，稱它們是正交的。 如果維向量組兩兩正交，并且每個都是單位向量，則稱為單位正交向量組。 例1如果向量組兩兩正交，并且每個向量都不為零向量，則它們線性無關(guān)。 證：記，則 則即。 例2若是一個實(shí)的矩陣，則。 二正交矩陣 一個實(shí)階矩陣如果滿足，就稱為正