生存分析概念

1、一、生存分析的概念: 將事件的結(jié)果和出現(xiàn)此結(jié)果所經(jīng)歷的時(shí)間結(jié)合 起來分析的統(tǒng)計(jì)分析方法。研究生存現(xiàn)象和響應(yīng)時(shí)間數(shù)據(jù)及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的 一門學(xué)科。對(duì)一個(gè)或多個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量（生存時(shí)間）進(jìn)行統(tǒng) 計(jì)分析研究。對(duì)生存時(shí)間進(jìn)行分析和推斷，研究生存時(shí)間和結(jié) 局與眾多影響因素間關(guān)系及其程度的統(tǒng)計(jì)分析 方法。在綜合考慮相關(guān)因素（內(nèi)因和外因）的基礎(chǔ)上， 對(duì)涉及生物學(xué)、醫(yī)學(xué)（臨床、流行?。⒐こ蹋?靠性）、保險(xiǎn)精算學(xué)、公共衛(wèi)生學(xué)、社會(huì)學(xué)和人 口學(xué)（老齡問題、犯罪、婚姻）、經(jīng)濟(jì)學(xué)（市場 學(xué)）等領(lǐng)域中，與事件（死亡，疾病發(fā)生、發(fā)展 和緩解，失效，狀態(tài)持續(xù)）發(fā)生的時(shí)間（也叫壽 命、存活時(shí)間或失效時(shí)間，統(tǒng)稱生存時(shí)間）有關(guān) 的

2、問題提供相關(guān)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的分析與推斷方法 的學(xué)科。二、“生存時(shí)間”（Survival Time）的概念 生存時(shí)間也叫壽命、存活時(shí)間、失效時(shí)間等等。醫(yī)學(xué)：疾病發(fā)生時(shí)間、治療后疾病復(fù)發(fā)時(shí)間 可靠性工程系：元件或系統(tǒng)失效時(shí)間 犯罪學(xué)：重罪犯人的假釋時(shí)間 社會(huì)學(xué)：首次婚姻持續(xù)時(shí)間 人口學(xué)：母乳喂養(yǎng)新生兒斷奶時(shí)間 經(jīng)濟(jì)學(xué)：經(jīng)濟(jì)危機(jī)爆發(fā)時(shí)間、發(fā)行債券的違約時(shí) 保險(xiǎn)精算學(xué)：保險(xiǎn)人的索賠時(shí)間、保險(xiǎn)公司某一 索賠中所付保費(fèi)汽車工業(yè)：汽車車輪轉(zhuǎn)數(shù)市場學(xué)中：報(bào)紙和雜志的篇幅和訂閱費(fèi)三、生存分析的應(yīng)用領(lǐng)域：社會(huì)學(xué)，保險(xiǎn)學(xué)，醫(yī) 學(xué)，生物學(xué)，人口學(xué)，醫(yī)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，可靠性工 程學(xué)等 六、生存分析研究的目的1、描述生存過程：估

3、計(jì)不同時(shí)間的總體生存率，計(jì)算中位生存期，繪制生存函數(shù)曲線。統(tǒng)計(jì)方法包括Kaplan-Meier（K-M）法、壽命表法。2、比較：比較不同處理組的生存率，如比較不同療法治療腦瘤的生存率，以了解哪種治療方案 較優(yōu)。統(tǒng)計(jì)方法log-rank檢驗(yàn)等。3、影響因素分析：研究某個(gè)或某些因素對(duì)生存率或生存時(shí)間的影響作用。如為改善腦瘤病人的 預(yù)后，應(yīng)了解影響病人預(yù)后的主要因素，包括病 人的年齡、性別、病程、腫瘤分期、治療方案等。統(tǒng)計(jì)方法Cox比例風(fēng)險(xiǎn)回歸模型等。4、預(yù)測：建立Cox回歸預(yù)測模型。主要研究內(nèi)容描述生存過程：研究人群生存狀態(tài)的規(guī)律，研究 生存率曲線的變動(dòng)趨勢(shì)，是人壽保險(xiǎn)業(yè)的基礎(chǔ)。 生存過程影響因素

4、分析及結(jié)局預(yù)測：識(shí)別與反 應(yīng)、生存及疾病等相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)因素，預(yù)測生存結(jié)局， 在臨床中應(yīng)用的非常廣泛。七、主要分析方法1、參數(shù)法方法：首先要求觀察的生存時(shí)間t服 從某一特定的分布，采用估計(jì)分布中參數(shù)的方法 獲得生存率的估計(jì)值。生存時(shí)間的分布可能為指 數(shù)分布、Weibull分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等，這些 分布曲線都有相應(yīng)的生存率函數(shù)形式。只需求得 相應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值，即可獲得生存率的估計(jì)值和 生存曲線。2、非參數(shù)方法：實(shí)際工作中，多數(shù)生存時(shí)間的 分布不符合上述所指的分布，就不宜用參數(shù)法進(jìn) 行分析，應(yīng)當(dāng)用非參數(shù)法。這類方法的檢驗(yàn)假設(shè) 與以往所學(xué)的非參數(shù)法一樣，假設(shè)兩組或多組的 總體生存率曲線分布相同，而不論總

5、體的分布形 式和參數(shù)如何。非參數(shù)法是隨訪資料的常用分析 方法。3、半?yún)?shù)方法：只規(guī)定了影響因素和生存狀況 間的關(guān)系，但是沒有對(duì)時(shí)間(和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù))的分 布情況加以限定。這種方法主要用于分析生存率 的影響因素，屬多因素分析方法，其典型方法是 Cox比例風(fēng)險(xiǎn)模型。4、幾種常用的統(tǒng)計(jì)軟件：SAS，SPSS，Stata， Excel，R第二章數(shù)據(jù)類型一、完全數(shù)據(jù)(Complete data)每個(gè)個(gè)體確切的生產(chǎn)時(shí)間都是知道的。這樣的數(shù) 據(jù)稱為完全數(shù)據(jù)(Complete data)。但在實(shí)際的生存分析中，數(shù)據(jù)在很多情況下是很難完全觀察 到的。III二、刪失(Censoring)生存數(shù)據(jù)一個(gè)重要的特點(diǎn)是：在研

6、究結(jié)束時(shí)，無 法獲得某些個(gè)體確切的生存時(shí)間。例如：失去聯(lián) 系(病人搬走，電話號(hào)碼改變)，無法觀察到結(jié)局(死于其他原因)，研究截止，個(gè)體仍然存 活在這些情況下獲得的數(shù)據(jù)就是刪失數(shù)據(jù)III(Censored data)。對(duì)存在刪失的個(gè)體，只知道 刪失時(shí)間(Censoring time)。IIIIIIIIIIIIJJ刪失分為右刪失(Right censoring)、左刪失(Left censoring)和區(qū)間刪失(Interval censoring)1、右刪失(Right censoring)o在進(jìn)行觀察或調(diào)查時(shí)，一個(gè)個(gè)體的確切生存時(shí)間 不知道，而只知道其生存時(shí)間大于時(shí)間L,則稱 該個(gè)體的生存時(shí)間

7、在L上是右刪失的，并稱L 為右刪失數(shù)據(jù)(Right-censored data)。右刪失有三種類型(按結(jié)束時(shí)間差別)：I型刪失(Type I censoring )、II 型刪失(Type II censoring)和 III 型刪失(Type III censoring)o(1) I型刪失(Type I censoring):對(duì)所有個(gè)體 的觀察停止在一個(gè)固定的時(shí)間，這種刪失即為I 型刪失(或定時(shí)刪失)。例如：動(dòng)物研究通常是 以有固定數(shù)目的動(dòng)物接受一種或多種處理開始， 由于時(shí)間和費(fèi)用的限制，研究者常常不能等到所 有動(dòng)物死亡。一種選擇就是在一個(gè)固定時(shí)間周期 內(nèi)觀察，在截止時(shí)間之后仍可能有些動(dòng)物活

8、著， 但不繼續(xù)觀察了。這些動(dòng)物的生存時(shí)間是不知道的，只知其不小于研究周期時(shí)間。I型刪失的刪IIIIII失時(shí)間是固定的。固圖表1曜刪失示例（2）II 型刪失（Type II censoring）：同時(shí)對(duì) n 個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀察，一直到有一固定數(shù)目（r n） 的個(gè)體死亡（失效）為止，這種刪失即為II型 刪失。II型刪失的刪失時(shí)間是隨機(jī)的。IIIIII（3）III型刪失injj(Type III censoring)：所有個(gè)體在不同時(shí)間進(jìn)入研究，某些個(gè)體在研究結(jié)束之 前死亡，他們的確切生存時(shí)間是知道的，其他個(gè) 體在研究結(jié)束之前退出研究而不被跟蹤觀察或 在研究結(jié)束時(shí)仍然活著。進(jìn)入研究的時(shí)間可能不 同，刪失

9、時(shí)間也可能不同，這種刪失叫做m型 刪失，又稱為隨機(jī)刪失(Random censoring)。IIIJJIIIJJIIIIIIin圖表3 III型刪失示例2、左刪失(Left censoring)研究對(duì)象在時(shí)刻C開始接受觀察，而在此之前我 l們感興趣的時(shí)間已經(jīng)發(fā)生，這就是左刪失。例如：“您初次吸食大麻是在什么時(shí)候？ ”有一 種回答：“我吸食過，但我不記得吸食的具體時(shí) 間了?！边@些回答的吸食時(shí)間數(shù)據(jù)就是左刪失。 通過測試確定兒童學(xué)會(huì)完成特定任務(wù)的年齡，有 些兒童在進(jìn)入研究前就已經(jīng)可以完成某項(xiàng)特定IIIIIIIII任務(wù)，這些兒童的事件發(fā)生時(shí)間也是左刪失。 出現(xiàn)左刪失同時(shí)，也可能出現(xiàn)右刪失，稱為雙刪

10、失(Double censoring)o例如:對(duì)吸食大麻的問 卷還有一種回答：“我從來沒有吸食過”，這樣的 數(shù)據(jù)就是右刪失。3、區(qū)間刪失(Interval censoring)：若個(gè)體的確 切生存時(shí)間不知道，只知道其生存時(shí)間在兩個(gè)觀 察時(shí)間L和R之間(LR)，則稱該個(gè)體的生存 時(shí)間在L,R上是區(qū)間刪失的。實(shí)際工作中，凡 是不能或者不愿作連續(xù)監(jiān)測時(shí)就會(huì)遇到這樣的 區(qū)間刪失。區(qū)間刪失分兩種：第一類區(qū)間刪失( Case I Interval censoring )和第二類區(qū)間刪失(Case II Interval censoring )。當(dāng)對(duì)個(gè)體只進(jìn)行一次觀察，且個(gè)體的確切生存時(shí) 間不知道，只知道其

11、生存時(shí)間是否大于觀察時(shí)間 (即乙?；騌 8)，這種刪失稱為第一類區(qū)間刪失， L U R WIIIIIIIII也稱為現(xiàn)實(shí)狀況數(shù)據(jù)(Current data)。當(dāng)對(duì)個(gè)體 進(jìn)行次觀察，其觀察時(shí)間L和R滿足0LRs 時(shí)，這種刪失稱為第二類區(qū)間刪失，也稱為一般 區(qū)間刪失。如果初始時(shí)間(如艾滋病感染時(shí)間)和發(fā)生時(shí)間均為區(qū)間刪失，則稱生存時(shí)間為雙重區(qū)間刪失IIIIIIJJ(Double interval censoring )o三、截?cái)?Truncation) 在研究或者觀測中，淘汰了一些對(duì)象(樣本)， 使得研究者“意識(shí)不到他們的存在”。對(duì)截?cái)鄶?shù)據(jù) 的分析構(gòu)造似然采用條件分布。截?cái)喟▋煞N：左截?cái)?Left

12、 truncation)和右截?cái)?Right truncation ) o1、左截?cái)?Left Truncation):只有個(gè)體經(jīng)歷某種初始事件以后才能觀察到其生存時(shí)間，稱為左 截?cái)?Left truncation),此時(shí)獲得的數(shù)據(jù)稱為左截?cái)鄶?shù)據(jù)(Left-truncated data)例如:暴露于某疾病、發(fā)生死亡前的中間事件等。退休中心老年居民死亡時(shí)間(沒到年齡沒有進(jìn)入 觀測) 左截?cái)嗯c左刪失的區(qū)別：在左截?cái)嗟难芯恐校?本沒有考慮那些在進(jìn)入研究之前已經(jīng)經(jīng)歷了感in興趣時(shí)間的個(gè)體，而在左刪失的研究中，我們能 獲得這些個(gè)體的部分信息。in即有左截?cái)嘤执嬖谟覄h失的情況，稱為左截?cái)嘤覄h失( Lef

13、t-truncation and right-censoring )2、右截?cái)?Right Truncation)生存分析課程總結(jié)只有經(jīng)歷了某種終止事件才能觀察到生存時(shí)間 (將要經(jīng)歷該事件的個(gè)體不包含在實(shí)驗(yàn)樣本中)，稱為右截?cái)?Right truncation)，此時(shí)獲得 的數(shù)據(jù)稱為右截?cái)鄶?shù)據(jù)(Right-truncated data)。例如：對(duì)艾滋病感染和發(fā)病時(shí)間觀測數(shù)據(jù)，有些 個(gè)體感染病毒但尚未發(fā)病，這樣的個(gè)體不在樣本 范圍之內(nèi)。3、截?cái)嗟臄?shù)學(xué)表示l=J設(shè)Y是一個(gè)非負(fù)的表示生存時(shí)間的隨機(jī)變量；T 是另外一個(gè)表示截?cái)鄷r(shí)間的隨機(jī)變量。在左截?cái)嘞?，只有?dāng)y2T時(shí)，才能觀察到T和Y； 在左截?cái)嘞拢?/p>

14、只有當(dāng)yT時(shí)，才能觀察到T和Y。第三章基本函數(shù)和模型一、生存函數(shù)(Survival Function)描述生存時(shí)間統(tǒng)計(jì)特征的基本函數(shù)，也叫生存率 (Survival Rate):設(shè)T表示生存時(shí)間，F(xiàn)(t)為T 分布函數(shù)，生存函數(shù)定義為：附=叩“)=1_皿0 T t) = 1 -F(t) = j f (u)dutf (t) = - S (t)=-華dt生存函數(shù)S (t)的圖像叫做生存曲線(SurvivalCurve),如下圖：陡峭的生存曲線表示較低的生產(chǎn)率或較短的生 存時(shí)間；平緩的生存曲線表示較高的生存率或較 長的生存時(shí)間。離散生存時(shí)間產(chǎn)生于舍入操作將失效（或死亡） 時(shí)間分組從區(qū)間和壽命用整數(shù)計(jì)

15、量等。離散時(shí)間生存函數(shù)是非增的階梯函數(shù)，當(dāng)T取值為,日回八 a a ta tii1.0 T.8.6 .40.0離散時(shí)間生存函數(shù)是非增的階梯函數(shù)二、危險(xiǎn)率函數(shù)(Hazard Function)：危險(xiǎn)率函數(shù)：描述觀察個(gè)體在某時(shí)刻存活條件下，在以后的單位時(shí)間內(nèi)死亡的(條件)概率:limh T0+當(dāng) T 連續(xù)=f(t) =_dlnS(t)；麗dt當(dāng)T離散，取值為 A，Mm，a a a )=坎)ii i S (a )i-1S (a ) - S (a )S (a ) . 1Q .ii = 1 1 , I = 1,2, AS a 1)S a 1)s (t)=osm =n (1x)S (a )ia. ti1a

16、, t危險(xiǎn)率函數(shù)在工程上叫做失效率函數(shù)或損壞函數(shù)，在生存分析和醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中又稱為風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù) 或瞬時(shí)死亡率(Simultaneous death rate)、或死亡 強(qiáng)度(Death intensity)、或條件死亡率生存分析課程總結(jié)(Conditional death rate)、或年齡死亡率(Age death rate)等。常見風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)曲線謎增：自燃走化、 磨損說減；輟少見q死 亡發(fā)生輟早時(shí)浴盆：最常見：人 口死亡率駝晦：手術(shù)成攻I后 生存建模三、累積風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(Cumulative Hazard Function)累積危險(xiǎn)率函數(shù)：a。)兒扁/ 人(u )du L 0當(dāng)T連續(xù)， 私)=expL

17、 A(t)= expA( )=-InS Q當(dāng)T離散時(shí)，危險(xiǎn)率函數(shù)有兩種定義形式:A()=當(dāng)氐)=& ln(1 X)ia t)= 4sO r (0)為平均壽命。五、常用的參數(shù)模型生存時(shí)間的分布一般不呈正態(tài)分布。常用的分布有：指數(shù)分布、威布爾（Weibull）分布、伽瑪（Gamma）分布、對(duì)數(shù)羅吉斯蒂（logistic）分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布。1、指數(shù)分布生存函數(shù)形式為：q=好場o,t0密度函數(shù)為：八）=心（頃）危險(xiǎn)率函數(shù)為：江）=入指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)：無記憶性（某事件的發(fā)生時(shí)間與歷史記錄無關(guān)），即P（T t + hT t）= P（T t）2、威布爾（Weibull）分布生存函數(shù)形式為：G= ex

18、p dtH 0心0其中、是尺度參數(shù)，a是形狀參數(shù)，a=1時(shí)為指數(shù)分布。危險(xiǎn)率函數(shù)為：餌玖而）.適用于危險(xiǎn)率遞增（取a 1）、遞減（取a 1）和為常數(shù)（取a J等各種情形。 a = 13、伽瑪（Gamma）分布生存函數(shù):贏:j u P-i expQ uuTtpO其中g(shù)uP-iexp(-uk稱為伽瑪函數(shù)。0第四章生存數(shù)據(jù)基本特征的非參數(shù)估計(jì)一、生存函數(shù)的估計(jì)假設(shè)事件發(fā)生在D個(gè)嚴(yán)格區(qū)分的時(shí)間點(diǎn)上:t t A t tt PTt tt A p(t Tzt 勿Tt tt )ii ii-1 i-1221 1存在右刪失下：出.Y - d.*D PT t T t =i, i = 1,2, A , DiY :時(shí)刻

19、t,面臨危險(xiǎn)的個(gè)體數(shù)；烏:時(shí)刻t,失效個(gè)體數(shù)三、乘積限(product-limit)估計(jì)乘積限估計(jì)又稱Kaplan-Meier估計(jì)階梯函數(shù)，在觀察時(shí)間點(diǎn)上發(fā)生跳躍；跳躍的高度t與上發(fā)生的事件數(shù)和t前刪失數(shù)有ii關(guān)；超出觀測上限的時(shí)間沒有給出很好的估計(jì)。四、乘積限估計(jì)尾部修正Efron（1967）建議最大觀察時(shí)間點(diǎn)以后的生存 函數(shù)等于0，即等價(jià)于假定最大時(shí)間點(diǎn)上的生存 者馬上就會(huì)死亡。（負(fù)偏估計(jì)）Gill（1980）建議最大觀察時(shí)間點(diǎn)以后的生存函 數(shù)S或G），即假設(shè)最大時(shí)間點(diǎn)上的生存者永遠(yuǎn)-max不會(huì)死。（正偏估計(jì)）Brown、Hollander 和 Kowar（1974）建議尾部估計(jì)為一條指數(shù)

20、曲線，即S（t ）= exphnS（t 山 tmax max五、乘積限估計(jì)的方差dY（Y -d ） ti ti i iGreenwood 估計(jì)式：。2（t）“況（t）U以s六、生存函數(shù)點(diǎn)估計(jì)的置信區(qū)間 利用漸進(jìn)正態(tài)性的線性置信區(qū)間：C（t）-Z b （t）S（t）+ Z b （t）a Sa S11其他變換形式的非線性置信區(qū)間對(duì)數(shù)變換反正弦平方根IIIJJ七、累積死亡率的估計(jì) 無刪失條件下危險(xiǎn)率函數(shù)的估計(jì)：）（）_在時(shí)間t開始的區(qū)間中死亡的個(gè)數(shù)in-在時(shí)間t存活著的個(gè)體數(shù)x區(qū)間寬度有刪失條件下累計(jì)死亡率估計(jì)：直接利用累積死亡率與生存函數(shù)的關(guān)系氐）=Ink （t）方差為:Nelson-Aalen

21、估計(jì)為()_z0,勺 t t、心Y1具有更好的小樣本性質(zhì)Nelson-Aalen估計(jì)的應(yīng)用1）用于選擇事件發(fā)生時(shí)間的參數(shù)模型2）為危險(xiǎn)率提供粗估計(jì)（對(duì)估計(jì)進(jìn)行核平滑后 計(jì)算斜率）八、累積死亡力函數(shù)的置信區(qū)間線性置信區(qū)間：（遍z b QM）+ z。）1 % Ha H1122其他變換形式的非線性置信區(qū)間對(duì)數(shù)變換區(qū)間反正弦平方根變化區(qū)間注：1、乘積限估計(jì)和Nelson-Aalen估計(jì)都是建立在非信息刪失（non-informative censoring ）假設(shè)下2、乘積限估計(jì)的尾部估計(jì)：a）取0； b）取最大觀測點(diǎn)的值；c）構(gòu)造指數(shù)曲線S（t ）=expt lnG ）/t ） max maxIII

22、JJ3、無刪失時(shí)，乘積限估計(jì)即為經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)九、生命時(shí)間均值的估計(jì)平均生存時(shí)間：.fstk估計(jì)式為:0d =fs （t tT0方差為：vaTS（t）dt 丫土） i=1i i iIII十、左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)生存函數(shù)的估計(jì)只有生存到某時(shí)刻之后才能進(jìn)入觀察乘積限估計(jì)（獨(dú)立截?cái)嘞率亲畲笏迫还烙?jì)）雙）=珂一弓（為條件估計(jì)） Yt. Vt L iY :在時(shí)刻t之前進(jìn)入?yún)^(qū)研究，且至少被研究到t的個(gè)體數(shù)；iiidi:在時(shí)刻t,時(shí)死亡的個(gè)體數(shù)。Lai和Ying（1991）修正乘積限估計(jì)：（當(dāng)風(fēng) 險(xiǎn)集較小時(shí)忽略此處的死亡）S（）nh d,Y 待I為指數(shù)函數(shù)；n為樣本大??； s 1 I / cnaY it Vt 1

23、 ic 0,0 51為常數(shù)。in十一、左刪失數(shù)據(jù)生存函數(shù)估計(jì)利用“時(shí)間倒轉(zhuǎn)法”：即不是從原點(diǎn)處測量時(shí)間，而是從很大的一個(gè)時(shí)間T倒著從相反的方向測量，用時(shí)間減去原始時(shí)間，得到右刪失數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，利用乘積 限估計(jì)式估計(jì)PG - X t）= P（X T -t）純粹左刪失情況很少見。十二、同時(shí)存在左、右刪失情況設(shè)0=t t At為觀察時(shí)間點(diǎn)，d表示t時(shí)的死亡12mjj數(shù)，,表示t時(shí)的右刪失數(shù)，c表示t時(shí)的左刪失數(shù)，則生存函數(shù)的迭代估計(jì)步驟為：in步驟0：忽略左刪失獲得乘積限估計(jì)作為S （）的0 j初始估計(jì)；s （） 5、（）K 1 - S 5），盤 i）K jp = Pt x t X tijj-1j i步

24、驟（K+1）1：使用S的當(dāng)前估計(jì)值通過估計(jì) i步驟（K+1）2：使用上一步驟的結(jié)果，估計(jì)在,j時(shí)發(fā)生的事件數(shù)為d = d 4pj j i i=j步驟（K+1）3：使用上一步修正后的右刪失數(shù) 據(jù)，仍然忽略左刪失計(jì)算乘積限估計(jì)。如果這一估計(jì)在所有，處都有s G）接近S Q，則停止迭代， 否則繼續(xù)步醵1。 心 K 十三、右截?cái)鄶?shù)據(jù)生成函數(shù)的估計(jì)傳染病的研究中比較常見。設(shè)廣代表第個(gè)個(gè)體被 Ti傳染的時(shí)間，X是從感染到發(fā)病的時(shí)間。研究樣X i本包含從0到,期間病人的觀測值T,X）.（只有在 時(shí)間T之前發(fā)病的人才進(jìn)入研究）。1 1 V利用顛倒時(shí)間軸法：令.K,X則變?yōu)?左截?cái)嗟模?x XR便可構(gòu)造貳小.0

25、）= M 5 .）的乘積限估計(jì)式。十四、生命表中生存函數(shù)的估計(jì)生命表（也稱壽命表，life table）方法是測定死亡=j率和描述群體生存現(xiàn)象的最古老的技術(shù)之一。主要用于保險(xiǎn)精算、人口學(xué)、醫(yī)學(xué)等方面。一組（大規(guī)模）個(gè)體在整個(gè)考察時(shí)間上被連續(xù)觀S 1個(gè)相鄰但不重疊的區(qū)間內(nèi)K十1a, a )(j = 1,A , k +1)察，它們的事件發(fā)生時(shí)間或刪失時(shí)間被記入j1 j根據(jù)生命表方法應(yīng)用的范圍不同，可分為人口生 命表和臨床生命表，分析方法相似。生命表方法數(shù)據(jù)假設(shè) 失和退出）與它們?nèi)绻恢北挥^察到事件發(fā)生所 得到的死亡時(shí)間是獨(dú)立的。（1）獨(dú)立刪失：假定刪失的事件時(shí)間（包括損IIIIII（2）假定刪失時(shí)

26、間和死亡時(shí)間是均勻分布在每in個(gè)區(qū)間上的。（3）假定死亡力在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)。生命表的構(gòu)造方法第一列給出相鄰但不重疊的固定區(qū)間/A ,a）（j =盤,k + 1）,a = 0,a =8事件發(fā)生時(shí)間和刪失時(shí)i j -1 j0k +1間將落入且只落入其中的一個(gè)區(qū)間。第二列給出進(jìn)入第j個(gè)區(qū)間的對(duì)象數(shù)仃這些個(gè)體還沒有經(jīng)歷觀察事件的發(fā)生。j第三列給出在第j個(gè)區(qū)間中失去蹤跡（死亡）或活著退出觀察（遷出）的個(gè)體數(shù)w第四列給出在第j個(gè)區(qū)間中，面臨觀察事件風(fēng)險(xiǎn)的暴露數(shù)y的一個(gè)估計(jì)值，假設(shè)刪失時(shí)間在區(qū)間上是均勻分布的，則_, w/2Y Y W / 2第五列是在第j個(gè)區(qū)尚申發(fā)里觀察事件（如死亡）的個(gè)體數(shù)第六列給出在第j

27、個(gè)區(qū)間起點(diǎn)處的生存函數(shù)的估計(jì)北）對(duì)于第一個(gè)區(qū)間）= 1，且jj -1d / Y頊(-d / Yj10jjjji1生命表分析的主要任務(wù)就是估計(jì)S （），基本思想: 乘積限方法。j第七列給出估計(jì)的第.個(gè)區(qū)間中點(diǎn)處的概率 密度函數(shù)f a )，其中1 * )/2它表示在第j個(gè)區(qū) 間上單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生觀束事件的概率，即 f a 其一 S C 此 一 a ) TOC o 1-5 h z mjj -1j jj-1第八列給出在第j個(gè)區(qū)間中點(diǎn)處估計(jì)的危險(xiǎn)率 Ja)，由 *G)=f(/)/S0有4 )j( )()()() D( ) ( )1 ( )C()()3)= f (a)/S(a)=f (a)/S(a)+ S、

28、)-S(月2史 2f (a)/(a)- S(a)mjmjmjmjjj - 1jmjj - 1j也可以定義為每個(gè)個(gè)體單位時(shí)間的時(shí)間發(fā)生率J (a )= d /k - a )(-d Smj j j j -1 j j:后一個(gè)區(qū)間在理論上是無限的，所以 沒有任何危險(xiǎn)或概率密度函數(shù)的估計(jì)。第九列是第j個(gè)區(qū)間起點(diǎn)生存函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，Greenwood(1976)將其定義為：S ():丈-1 d /Y Y - d)Xj j-1 i i i iL i=1祥。其中SE的估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0 其形式與乘積限估計(jì)式的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)第十列給出在第j個(gè)區(qū)間中點(diǎn)處概率密度函 數(shù)標(biāo)注差的估計(jì)值，它近似等于(j-j悻1 q/(Y

29、p)+Yp, (a - a1 i i i i i其中 q, =d /y ,p, = 1 -q,.生命表的最后一列給出了第 個(gè)區(qū)間中點(diǎn)處j仇(。)Kmqj j危險(xiǎn)率函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，它近似等于1 一仄(a )(a a)/22i/2 TOC o 1-5 h z mj jj1第五章 相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)回歸模型一、Cox相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型設(shè)氐;X)= lim P(t T t, x)/ h = X (t) r(t, x) hT0+0t 0 x)成為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)。M)為基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。x為協(xié)，0變量。二、相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)回歸模型(Cox模型)取 r(t, x )= expt (t )P 唧得 C0X m0del&x)=M)expt伽

30、】其中：Z(r)=t(r)A ,t (j為協(xié)變量x和t的函級(jí)1X (t)= X(t|x)= (0,A ,0)p=U p)為未知的回歸參數(shù)Relative risk model(Cox model)e沖11)，偽參數(shù)部分P=(3，A )為未知參數(shù)B )為非參數(shù)部分，未如基準(zhǔn)函數(shù)，因此，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型為半?yún)?shù)模型。在Cox模型下：生存時(shí)間的分布函數(shù)為S(t; x) = P(T 11 x)=exp-/ 人(u)expZ(u) Pdu0密度函數(shù)為：f (t； x) = X(t; x) F (t; x)三、幾個(gè)簡單示例最簡單模型:X(t; x)=k (t)exp( xp), x = 0,1 o0 : control group1: treatment groupP: