用最速下降法求解無約束非線性規(guī)劃問題

1、百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我運(yùn)名:號(hào):專業(yè)班級(jí):xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2 0 1 3年7月0 4日題目：用最速下降法求解無約束非線性規(guī)劃問題摘要:無約束最優(yōu)化問題的求解方法分為解析法和直接法兩大類。解析法需要計(jì) 算函數(shù)的梯度，其中最速下降法就屬于解析法中的一種。對于一個(gè)無約束非線性 規(guī)劃利用最速下降法求解，首先需要確定其優(yōu)化方向，此優(yōu)化方向應(yīng)該選擇為f 在當(dāng)前點(diǎn)處的負(fù)梯度方向，利用一維搜索法找出沿此方向上的最小值及其對應(yīng) 點(diǎn)，此后將該點(diǎn)作為新的出發(fā)點(diǎn)重復(fù)上述過程，直到達(dá)到允許的誤差為止。本文 通過理論的計(jì)算方法，進(jìn)一步分析，最后用C+編程實(shí)現(xiàn)求出

2、允許誤差內(nèi)的最優(yōu) 解。此編程可用于計(jì)算符合下列形式的函數(shù)求最優(yōu)解過程：f(x)=a0 x1*x1+a1x2*x2+a2x1*x2+a3x1+a4x2+a5其 中：ai (i=0,1,2,3,4,5)為 函數(shù)的系數(shù)。本文以“李占利 主編，中國礦業(yè)大學(xué)出版社出版”的最優(yōu)化理論與方 法第五章“無約束最優(yōu)化方法，最速下降法”例51為實(shí)例，首先利用 上述迭代的方法，計(jì)算出各迭代點(diǎn)的函數(shù)值，梯度及其模。然后應(yīng)用C+語言編 程，得到在精度范圍內(nèi)的精確最優(yōu)解。C+編程計(jì)算的最優(yōu)解為L* = %=一0.00823045 ,0.0329218 2 -1即轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)結(jié)果為：* = %=243 4廿 士( II p(

3、3)11= 0.0736154 v 滿足精度要求的模為：10。關(guān)鍵詞：無約束非線性規(guī)劃解析法最速下降法 梯度模最優(yōu)解一、算法思想無約束最優(yōu)化方法中的最速下降法首先需要確定其優(yōu)化方向，此優(yōu)化方向 應(yīng)該選擇為f在當(dāng)前點(diǎn)處的負(fù)梯度方向，利用一維搜索法找出沿此方向上的最小 值及其對應(yīng)點(diǎn)，此后將該點(diǎn)作為新的出發(fā)點(diǎn)重復(fù)上述過程，直到達(dá)到允許的誤差 為止。主要依據(jù)解無約束非線性規(guī)劃問題的最速下降法計(jì)算步驟進(jìn)行設(shè)計(jì)算法。具體步驟如下：第1步 選取初始點(diǎn)戒，給定終止誤差e 0，令k=0；第2步 計(jì)算W3D，若W（x叫&，停止迭代，輸出x，否則進(jìn)行第3 步；第 3 步取 pk =-W（k） ；（xk +人 pk）

4、 = min f （xk +人 pk）第4步 進(jìn)行一維搜索，求，使得k 性，令x+1 = xk+pk，k=k+1。轉(zhuǎn)第 2 步。由以上計(jì)算步驟可知，最速下降法迭代終止時(shí)，求得的是目標(biāo)函數(shù)駐點(diǎn)的一個(gè)近 似點(diǎn)。 依據(jù)以上步驟就可以用C+編程實(shí)現(xiàn)最速下降法求解最優(yōu)解的算法。二、算法流程圖三、程序代碼#include#includedouble lamda(double x2,double p2,double a2)double lam1,lam2;lam1=(pow(a0,3)*x0*x0+pow(a1,3)*x1*x1);lam2=-(pow(a0*x0,2)+pow(a1*x1,2);doubl

5、e s;s=-lam2/(2*lam1);return s;void main()cout”endl;cout最速下降法求解最優(yōu)解程序運(yùn)行結(jié)果endl;cout”endl;coutendl;double lamd,x3,a6;double p2,g2,e,y,m,n;int i=0;cout請輸入精度 ee;cout請輸入初始點(diǎn) x0,x1的值：nm;cinn;x0=m;x1=n;cout函數(shù)通式為 f(x)=a0 x1*x1+a1x2*x2+a2x1*x2+a3x1+a4x2+a5endl;cout請依次輸入函數(shù)的系數(shù)：a0、a1、a2、a3、a4、a5:endl;for(i=0;iai;p

6、0=(2*a0*x0+a2*x1+a3);p1=(2*a1*x1+a2*x0+a4);g0=-p0;g1=-p1;i=0;coute&i=200)lamd=lamda(x,g,a);x0=x0+lamd*g0;x1=x1+lamd*g1;p0=2*a0*x0;p1=2*a1*x1;g0=-p0；g1=-p1；i+；1. _ f f “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 11 一 一 11cout*endl;cout第i”次迭代結(jié)果：endl;coutp 的模為：sq

7、rt(g0*g0+g1*g1)endl;coutx 的值x0 x1endl;1. _ f f “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 11 一 一 11cout*endl;coutendl;y=(a0*x0*x0+a1*x0*x1+a2*x0*x1+a3*x0+a4*x1+a5);cout此時(shí)滿足精度要求的 p 的模為:sqrt(g0*g0+g1*g1)endl; coutendl;cout滿足精度的最優(yōu)近似結(jié)果x1,x2分別為：endl;coutx1=x0endl;

8、coutx2=x1endl;coutendl;cout”滿足進(jìn)度要求所得的最優(yōu)值為：endl;coutminf(x)=yendl;四、例子與結(jié)果例子為“李占利主編，中國礦業(yè)大學(xué)出版社出版”的最優(yōu)化理論與方法 第五章無約束最優(yōu)化方法，最速下降法”例51。用最速下降法求解 min f (x) = 2x2 + x;，初始迭代點(diǎn)x(0) = 1 ，精度為e = 0.1。則體現(xiàn)在程序 中很明顯有：a0=2,a1=1,a2=a3=a4=a5=0;e=； x0=x1=1;則程序運(yùn)行結(jié)果為：1F :七字符串學(xué)習(xí) y u n chouxu 巳 4 Debugyu n4.exe *曲 最速下降法求解最優(yōu)解程序運(yùn)行

9、結(jié)果 職?p?p?e eeeee|青輸入精度e9.1請輸入初始點(diǎn)xtBKxEU的值：1 1函款通式為 f =aE0 Jxl *xl +a El Jx2*x2 +at2 3x1 *x2 *aL3 Jxl +aL41x2 +at5 請儂密輸AfflS的系數(shù)：a0 x MIL a2K a3K aE4K a5：2 10 0 0 0第L性迭代結(jié)果：P 的槌為：0-993808k 的值一 .111111 0.444444第Z性迭代結(jié)果：p 的懣為：0.33126907407410.0740741KKKMIMZMIMZMIMZKKKKKKKKKKKKKJCIMJCIMJCIMXXXXXXXXHXHXHXXX

10、XMZMZMZMZMZMZWXWXWXWXWXWXWJCJCJCJCJCJCJCJCJCJCJCJCJOtXXXXXX第，汽迭代結(jié)臬P 的卷為：0-0736154008 23 0450.0329216此時(shí)滿足精度要求的P的模為=0.0736154滿足精度的最伐近似結(jié)果XEH.XE2 分別為:xEll=-0.00823045xE21=0.0329218茜足進(jìn)度要求所得的最優(yōu)值為：ninfCx)=-0.000135481Piess any key to cont inue即在允許的精度范圍內(nèi)min f (x) = 2xi + x;，初始迭代點(diǎn)x(0) = 1 ，精度為e = 0.1。得到在精度范圍

11、內(nèi)的精確最優(yōu)解為：即 x* = x (3) T即243 4滿足精度要求的模為:II p 11= 0.0736154e=10。x* = x=-0.00823045 ,0.0329218 t五、結(jié)論與總結(jié)最速下降法為最優(yōu)化萬千方法中的一種，要想更好地利用最優(yōu)化方法解決我 們身邊的問題，光靠這一種方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。因此我必須要好好掌握其他的各種方 法。還有通過這次實(shí)習(xí)讓我深深認(rèn)識(shí)到，并不是所有的問題都能夠手工完成的， 我們平常接觸的例題，都非常基礎(chǔ)，那完全可以手工計(jì)算得到答案，但如果問題 比較復(fù)雜時(shí)，我們是沒有辦法用手工完成的。所以我們必須借助計(jì)算機(jī)來解決那 些復(fù)雜的問題。因此這就要求我們必須要熟練掌握編程技巧，要能夠把實(shí)際的復(fù) 雜問題通過編寫程序來解決它。還有此次用最速下降法求解最優(yōu)解的程序，我編 的還不夠完美，還有很多不足之處，只能用于研究二元函數(shù)的最優(yōu)解問題，不能 進(jìn)行其他的更深入的研究，所以還有很多改進(jìn)的地方，以后我還要繼續(xù)努力。對于編程一定要多練、多動(dòng)手操作，通過這次實(shí)習(xí)讓我深深地認(rèn)識(shí)到，光靠 理論知識(shí)是不行的，理論知道再多，如果不動(dòng)手實(shí)踐的話照樣編不出程序，只有 在實(shí)踐中，在編寫程序的過程中我們才能發(fā)現(xiàn)自己的不足，才能知道問題出在