平新喬課后習(xí)題詳解(第6講-生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報(bào)酬)

1、平新喬微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講第6講 生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報(bào)酬1生產(chǎn)函數(shù)為，工人工資為，產(chǎn)品價(jià)格為。計(jì)算：（1）短期內(nèi)，最優(yōu)勞動(dòng)投入是多少？（2）最大平均產(chǎn)量的勞動(dòng)投入為多少？此時(shí)的最大平均產(chǎn)量是多少？解：（1）在短期內(nèi)，則廠商的生產(chǎn)函數(shù)為，則可得廠商的利潤(rùn)函數(shù)為：利潤(rùn)最大化的一階條件為：解得，此即為短期內(nèi)的最優(yōu)勞動(dòng)投入量。（2）由生產(chǎn)函數(shù)，可得平均產(chǎn)量函數(shù)為：平均產(chǎn)量最大化的一階條件為：解得：（負(fù)值舍去）。故最大平均產(chǎn)量的勞動(dòng)投入為3。此時(shí)的最大平均產(chǎn)量為。2確定下列函數(shù)是不是齊次函數(shù)，如果是，規(guī)模報(bào)酬情況如何？（1）（2）（3）答：若函數(shù)滿足，則稱函數(shù)為次齊次函數(shù)。同時(shí)由規(guī)模報(bào)酬的定義可知，若，則為規(guī)模

2、報(bào)酬不變；若，則為規(guī)模報(bào)酬遞增；若，則為規(guī)模報(bào)酬遞減。（1）不是齊次函數(shù)。因?yàn)?。?）是齊次函數(shù)，且規(guī)模報(bào)酬不變，因?yàn)?。?）是齊次函數(shù)，且規(guī)模報(bào)酬遞減，因?yàn)椋?設(shè)某省有一個(gè)村莊，該村既生產(chǎn)糧食又會(huì)織布。其產(chǎn)品既可用來(lái)自己消費(fèi)，也可以出賣，糧食與布也可以從外邊買入來(lái)滿足消費(fèi)。如果村外的市場(chǎng)價(jià)格比率是一擔(dān)糧食能換回的布少于1/2米，則該村民們會(huì)不再種糧食；如果一擔(dān)糧可以換回1/2米的布，則該村將提供24擔(dān)糧食；如果一擔(dān)糧可以換回1米布，則該村將提供30擔(dān)糧食；最后，如一擔(dān)糧可以換回4米布，則該村會(huì)提供38擔(dān)糧食。但是，該村的勞動(dòng)力與土地如用來(lái)產(chǎn)棉織布，也是有機(jī)會(huì)成本的。當(dāng)織布的產(chǎn)量從零增加到32

3、米這一階段，糧食產(chǎn)量會(huì)從38擔(dān)下降到30擔(dān)；如布的產(chǎn)量要從32米上升到38米，則糧食產(chǎn)量會(huì)從30擔(dān)進(jìn)一步下降到24擔(dān)；如布的產(chǎn)量從38米上升到50米，則糧食產(chǎn)量更會(huì)從24擔(dān)下降到零。作圖：（1）請(qǐng)以橫軸表示糧食數(shù)量，縱軸表示以布的數(shù)量所代表的糧食的價(jià)格，做出該村糧食的供給曲線。（2）請(qǐng)以橫軸表示布的數(shù)量，縱軸表示以糧食數(shù)量所代表的布的價(jià)格，做出該村布的供給曲線。答：根據(jù)題目的內(nèi)容，可以得到如表6-1所示的布和糧食之間的關(guān)系。表6-1 布的產(chǎn)量和糧食的產(chǎn)量之間的關(guān)系（1）以橫軸表示糧食數(shù)量，縱軸表示以布的數(shù)量所代表的糧食的價(jià)格，做出的糧食的供給曲線如圖6-1所示（由加粗的線段和點(diǎn)構(gòu)成）。圖6-1

4、 糧食的供給曲線（2）以橫軸表示布的數(shù)量，縱軸表示以糧食的數(shù)量所代表的布的價(jià)格，做出的布的供給曲線如圖6-2所示（由加粗的線段和點(diǎn)構(gòu)成）。圖6-2 布的供給曲線4對(duì)下面的生產(chǎn)函數(shù)其中，那么：（1）當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬不變？（2）證明：在規(guī)模報(bào)酬不變的情況下，該函數(shù)呈現(xiàn)出邊際生產(chǎn)力遞減，而且邊際生產(chǎn)力函數(shù)是零次齊次的。答：（1）生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬不變是指當(dāng)所有的生產(chǎn)要素的數(shù)量增加為原來(lái)的（）倍時(shí)，產(chǎn)出也會(huì)同比例增長(zhǎng)，即產(chǎn)出也會(huì)增加為原來(lái)的倍。對(duì)本題的生產(chǎn)函數(shù)而言，規(guī)模報(bào)酬不變就意味著下式成立：即：解得，由于，所以。即，且、為0到1之間任意數(shù)時(shí)，生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的。（

5、2）規(guī)模報(bào)酬不變時(shí)，邊際生產(chǎn)函數(shù)為和。由，所以遞減；由，所以遞減。此外，所以也是零齊次的；同樣，所以是零次齊次的。5判斷下列結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由。（1）邊際產(chǎn)出大于零，則總產(chǎn)量將隨著投入的增加而上升；平均產(chǎn)量則不一定上升。（2）如果生產(chǎn)是有效率的，生產(chǎn)的可能性邊界一定是外凸的。答：（1）兩句話都正確。理由如下：因?yàn)檫呺H產(chǎn)出等于總產(chǎn)出曲線的斜率，所以邊際產(chǎn)出大于零就意味著斜率大于零，即總產(chǎn)量隨著投入的增加而上升。假設(shè)廠商的生產(chǎn)函數(shù)為，則平均產(chǎn)出，平均產(chǎn)出關(guān)于求導(dǎo)，得到：根據(jù)式可知：當(dāng)時(shí)，即平均產(chǎn)量隨著投入的增加而上升；當(dāng)時(shí)，即平均產(chǎn)量隨著投入的增加而下降。由此可見(jiàn)平均產(chǎn)量隨著產(chǎn)量的增加而上升

6、和邊際產(chǎn)出是否大于零（）沒(méi)有必然的聯(lián)系，見(jiàn)圖6-3。圖6-3 平均成本和邊際成本之間的關(guān)系（2）錯(cuò)誤。理由如下：以兩種要素生產(chǎn)兩種產(chǎn)品為例，在埃奇沃斯盒子中，當(dāng)生產(chǎn)的要素組合位于契約線上時(shí)，生產(chǎn)是有效率的，即不存在帕累托改進(jìn)；而在契約線之外的任何點(diǎn)生產(chǎn)都不是帕累托有效的。生產(chǎn)可能性邊界（同書中生產(chǎn)轉(zhuǎn)換曲線）指在技術(shù)水平一定時(shí)，用一定總量的勞動(dòng)投入與資本投入可以生產(chǎn)出的兩種產(chǎn)品和的產(chǎn)出組合。通常情況下，生產(chǎn)可能性邊界為外凸的，即為凹形，如圖6-4所示。但是凸向原點(diǎn)的生產(chǎn)可能性曲線也是存在的，例如生產(chǎn)函數(shù)為，；假設(shè)資本（）和勞動(dòng)（）的總量分別為20和10，生產(chǎn)可能性邊界如圖6-5所示。圖6-4 凹

7、的生產(chǎn)可能性集 圖6-5 凸的生產(chǎn)可能性集在生產(chǎn)是有效率時(shí)，當(dāng)要素密集度不同時(shí)，遞增的規(guī)模報(bào)酬相對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)可能性曲線是凸的；當(dāng)要素密集度相似時(shí)，規(guī)模報(bào)酬遞增會(huì)導(dǎo)致生產(chǎn)可能性曲線為凸的。6假定一家企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)：，產(chǎn)出品價(jià)格，工資率，固定資產(chǎn)成本為2。問(wèn)：（1）最優(yōu)要素投入量。（2）最優(yōu)供給量。（3）計(jì)算這家企業(yè)的利潤(rùn)量。（4）這家企業(yè)應(yīng)不應(yīng)關(guān)閉？解：（1）由已知可得，對(duì)于追求利潤(rùn)最大化的企業(yè)，最優(yōu)要素投入量應(yīng)當(dāng)滿足該要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值等于要素價(jià)格，即：，則有：解得最優(yōu)要素投入量。（2）最優(yōu)供給量。（3）廠商利潤(rùn)。（4）該企業(yè)不應(yīng)關(guān)閉。因?yàn)殛P(guān)閉后，企業(yè)的損失等于固定資產(chǎn)成本2；但是如果堅(jiān)持經(jīng)營(yíng)，

8、那么損失只有1，即企業(yè)繼續(xù)經(jīng)營(yíng)的收益不僅可以彌補(bǔ)可變成本，還可以彌補(bǔ)部分固定成本，所以企業(yè)不應(yīng)當(dāng)關(guān)閉。7證明：若某家企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為（），如果該企業(yè)的資本支出為一常數(shù)，則：（1）其供給量隨產(chǎn)品價(jià)格上升而上升。（2）隨工資率上升而下降。證明：（1）假設(shè)該企業(yè)支付的工資率為常數(shù)，企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為：利潤(rùn)最大化的一階條件為：解得，所以企業(yè)的供給函數(shù)為，供給函數(shù)關(guān)于產(chǎn)品價(jià)格求導(dǎo)，就有：所以供給量隨產(chǎn)品價(jià)格上升而上升。（2）供給函數(shù)關(guān)于工資率求導(dǎo)，就有：所以隨著工資率上升而下降。8已知一家企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，產(chǎn)品價(jià)格為1，工資率為，利率為。固定資本成本為。求：（1）的最優(yōu)比率。（2）與的最優(yōu)量。解：（1）由

9、生產(chǎn)函數(shù)，可得：對(duì)于追求利潤(rùn)最大化的企業(yè)，企業(yè)決定最優(yōu)要素比例的必要條件為：，即：解得，即。（2）把、和的表達(dá)式代入中，得。把代入式中，就有：，解得。9某總公司有甲、乙、丙三個(gè)分公司，每個(gè)分公司都生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品。下面是三個(gè)分公司用其全部資源可生產(chǎn)的與的最大產(chǎn)量：表6-2 分公司用其全部資源可生產(chǎn)的與的最大產(chǎn)量請(qǐng)畫出該總公司的生產(chǎn)可能性曲線（以為橫軸，為縱軸）。答：對(duì)該公司而言，所有可能的產(chǎn)量組合為如表6-3所示。表6-3 總公司所有可能的產(chǎn)量組合在兩種商品的產(chǎn)量組合圖上，畫出所有的點(diǎn)，可知、四點(diǎn)是最有效率的生產(chǎn)組合（因?yàn)樗鼈兊挠疑戏經(jīng)]有任何的點(diǎn)）。這樣如果再假設(shè)生產(chǎn)集是凸的，那么、四點(diǎn)的連線就

10、是生產(chǎn)可能性邊界（嚴(yán)格的講，、四點(diǎn)的連線和橫軸與縱軸圍成的區(qū)域只是生產(chǎn)可能性集的內(nèi)界，但由于本題沒(méi)有給出其他信息，所以無(wú)法準(zhǔn)確的作出生產(chǎn)可能性邊界），如圖6-6所示。圖6-6 生產(chǎn)可能性邊界10在落日灣用手挖海蚶只需要?jiǎng)趧?dòng)投入。每小時(shí)可獲得的海蚶總量（），由給出。其中，是每小時(shí)的勞動(dòng)投入。（1）用圖表示出與之間的關(guān)系。（2）落日灣中勞動(dòng)的平均生產(chǎn)力為多少？用圖表示出這一關(guān)系，并表明隨著勞動(dòng)投入的增加下降。（3）證明落日灣的勞動(dòng)邊際產(chǎn)出為：。用圖表示出這一關(guān)系并證明對(duì)于所有的值，。請(qǐng)解釋它。解：（1）與之間的關(guān)系如圖6-7所示。圖6-7 挖海蚶的生產(chǎn)函數(shù)（2）由生產(chǎn)函數(shù)可得平均生產(chǎn)力為：關(guān)于分別

11、求一階和二階導(dǎo)數(shù)得：，所以隨著的上升而下降，且是一個(gè)凸函數(shù)，如圖6-8所示。圖6-8 平均產(chǎn)出和邊際產(chǎn)出函數(shù)（3）根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)，可得。由，可知，如圖6-8所示。的原因在于：因?yàn)檫呺H產(chǎn)出遞減，這就意味著額外增加一單位的投入，所多生產(chǎn)的產(chǎn)品比前面任何一個(gè)多增加的勞動(dòng)力所多生產(chǎn)的都少，所以它自然也少于所有勞動(dòng)力產(chǎn)出量的平均值，即。11某公司使用兩種類型的除草機(jī)割草。小型除草機(jī)具有24英寸刀片，并適用于具有較多樹(shù)木與障礙物的草坪。大型的除草機(jī)恰為小型除草機(jī)的兩倍大，并適用于操作不太困難的空曠場(chǎng)地。兩種生產(chǎn)函數(shù)的情況如表6-4所示：表6-4 大型除草機(jī)和小型除草機(jī)的生產(chǎn)函數(shù)（1）對(duì)應(yīng)于第一種生產(chǎn)函數(shù)，圖

12、示出平方英尺的等產(chǎn)量線。如果這些要素沒(méi)有浪費(fèi)地結(jié)合起來(lái)，則需使用多少與？（2）對(duì)應(yīng)于第二種函數(shù)回答（1）中的問(wèn)題。（3）如果4000平方英尺中的一半由第一種生產(chǎn)函數(shù)完成，一半由第二種生產(chǎn)函數(shù)完成，則與應(yīng)如何無(wú)浪費(fèi)地配合？如果3/4的草坪由第一種生產(chǎn)函數(shù)完成，而1/4的草坪由第二種生產(chǎn)函數(shù)完成，則與應(yīng)如何配合？（4）在你考慮（3）中問(wèn)題的基礎(chǔ)上，畫出的聯(lián)合生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線。解：對(duì)于每一種除草機(jī)，由于它們需要的資本投入和勞動(dòng)投入的比例是固定的，所以生產(chǎn)函數(shù)是固定比例型的生產(chǎn)函數(shù)，即：（1）等產(chǎn)量線如圖6-9（a）所示。圖6-9（a） 使用大型除草機(jī)的等產(chǎn)量線把代入大型除草機(jī)的生產(chǎn)函數(shù)，得：由此可

13、知最優(yōu)投入為，。（2）等產(chǎn)量線如圖6-9（b）所示。圖6-9（b）使用小型除草機(jī)的等產(chǎn)量線把代入小型除草機(jī)的生產(chǎn)函數(shù)，得：由此可知最優(yōu)投入為，。（3）將，分別代入大型除草機(jī)和小型除草機(jī)的生產(chǎn)函數(shù)，得到：解得：，；，。從而得到：如果3/4的草坪由第一種生產(chǎn)函數(shù)完成，而1/4的草坪由第二種生產(chǎn)函數(shù)完成，類似于所采用的方法，可得，。（4）假設(shè)大型除草機(jī)完成4000平方英尺草坪中的份，其余的由小型除草機(jī)完成，則：解得：，；。進(jìn)一步得到：即：，。所以：，即，。如圖6-9（c）所示。圖6-9（c） 同時(shí)使用大型除草機(jī)和小型除草機(jī)的等產(chǎn)量線12假定，。（1）證明，。（2）證明，；，。（3）證明只取決于，而不

14、依賴于生產(chǎn)規(guī)模，而且（對(duì)）隨著的增加而遞減。證明：（1）由生產(chǎn)函數(shù)，根據(jù)彈性的定義可得：（2）由生產(chǎn)函數(shù)，可得，；，。（3），所以只取決于，而不依賴于生產(chǎn)規(guī)模，且隨的增加而遞減。13歐拉定理意味著規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)，有運(yùn)用這一結(jié)論，證明對(duì)于這種生產(chǎn)函數(shù)，如果，則必為負(fù)數(shù)。這意味著生產(chǎn)應(yīng)在何處進(jìn)行呢？一個(gè)企業(yè)能夠在遞增的點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)嗎？證明：（1）由題意知：，對(duì)該式變形得：由于，所以，即為負(fù)數(shù)。（2）這意味著企業(yè)應(yīng)該在，即勞動(dòng)力的平均產(chǎn)出遞減的產(chǎn)量處生產(chǎn)。（3）由（2）可知，一個(gè)企業(yè)不能夠在遞增的點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)，因?yàn)檫f增就意味著，從而為負(fù)數(shù)，此時(shí)增加資本投入量反而會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)量下降。14再次運(yùn)用歐拉定理證明，對(duì)于只有兩種投入（與）的一個(gè)規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)，必定為正。解釋這一結(jié)論。證明：（1）對(duì)于規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)而言，下式恒成立：從式中解得：上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：如果邊際產(chǎn)出遞減的假設(shè)成立，那么，即。（2）說(shuō)明，在規(guī)模報(bào)酬不變和邊際產(chǎn)出遞減的假設(shè)條件下，任何一種要素的邊際產(chǎn)出都會(huì)隨著另一種要素投入的增加而增加。15生產(chǎn)函數(shù)形式如下（1）勞動(dòng)與資本的平均生產(chǎn)力是多少？（將取決于，而則取決于。）（2）圖示當(dāng)時(shí)的曲線。（3）證明，。運(yùn)用這一信息，加一個(gè)函數(shù)到（2）圖中。這一曲線有何特別的地方？（4）畫出時(shí)的等產(chǎn)量線。（5）運(yùn)用（3）中