平新喬課后習題詳解(第6講-生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報酬)

1、平新喬微觀經(jīng)濟學十八講第6講 生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報酬1生產(chǎn)函數(shù)為，工人工資為，產(chǎn)品價格為。計算：（1）短期內(nèi)，最優(yōu)勞動投入是多少？（2）最大平均產(chǎn)量的勞動投入為多少？此時的最大平均產(chǎn)量是多少？解：（1）在短期內(nèi)，則廠商的生產(chǎn)函數(shù)為，則可得廠商的利潤函數(shù)為：利潤最大化的一階條件為：解得，此即為短期內(nèi)的最優(yōu)勞動投入量。（2）由生產(chǎn)函數(shù)，可得平均產(chǎn)量函數(shù)為：平均產(chǎn)量最大化的一階條件為：解得：（負值舍去）。故最大平均產(chǎn)量的勞動投入為3。此時的最大平均產(chǎn)量為。2確定下列函數(shù)是不是齊次函數(shù)，如果是，規(guī)模報酬情況如何？（1）（2）（3）答：若函數(shù)滿足，則稱函數(shù)為次齊次函數(shù)。同時由規(guī)模報酬的定義可知，若，則為規(guī)模

2、報酬不變；若，則為規(guī)模報酬遞增；若，則為規(guī)模報酬遞減。（1）不是齊次函數(shù)。因為。（2）是齊次函數(shù)，且規(guī)模報酬不變，因為。（3）是齊次函數(shù)，且規(guī)模報酬遞減，因為：3設某省有一個村莊，該村既生產(chǎn)糧食又會織布。其產(chǎn)品既可用來自己消費，也可以出賣，糧食與布也可以從外邊買入來滿足消費。如果村外的市場價格比率是一擔糧食能換回的布少于1/2米，則該村民們會不再種糧食；如果一擔糧可以換回1/2米的布，則該村將提供24擔糧食；如果一擔糧可以換回1米布，則該村將提供30擔糧食；最后，如一擔糧可以換回4米布，則該村會提供38擔糧食。但是，該村的勞動力與土地如用來產(chǎn)棉織布，也是有機會成本的。當織布的產(chǎn)量從零增加到32

3、米這一階段，糧食產(chǎn)量會從38擔下降到30擔；如布的產(chǎn)量要從32米上升到38米，則糧食產(chǎn)量會從30擔進一步下降到24擔；如布的產(chǎn)量從38米上升到50米，則糧食產(chǎn)量更會從24擔下降到零。作圖：（1）請以橫軸表示糧食數(shù)量，縱軸表示以布的數(shù)量所代表的糧食的價格，做出該村糧食的供給曲線。（2）請以橫軸表示布的數(shù)量，縱軸表示以糧食數(shù)量所代表的布的價格，做出該村布的供給曲線。答：根據(jù)題目的內(nèi)容，可以得到如表6-1所示的布和糧食之間的關系。表6-1 布的產(chǎn)量和糧食的產(chǎn)量之間的關系（1）以橫軸表示糧食數(shù)量，縱軸表示以布的數(shù)量所代表的糧食的價格，做出的糧食的供給曲線如圖6-1所示（由加粗的線段和點構(gòu)成）。圖6-1

4、 糧食的供給曲線（2）以橫軸表示布的數(shù)量，縱軸表示以糧食的數(shù)量所代表的布的價格，做出的布的供給曲線如圖6-2所示（由加粗的線段和點構(gòu)成）。圖6-2 布的供給曲線4對下面的生產(chǎn)函數(shù)其中，那么：（1）當、滿足什么條件時，該生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報酬不變？（2）證明：在規(guī)模報酬不變的情況下，該函數(shù)呈現(xiàn)出邊際生產(chǎn)力遞減，而且邊際生產(chǎn)力函數(shù)是零次齊次的。答：（1）生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報酬不變是指當所有的生產(chǎn)要素的數(shù)量增加為原來的（）倍時，產(chǎn)出也會同比例增長，即產(chǎn)出也會增加為原來的倍。對本題的生產(chǎn)函數(shù)而言，規(guī)模報酬不變就意味著下式成立：即：解得，由于，所以。即，且、為0到1之間任意數(shù)時，生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的。（

5、2）規(guī)模報酬不變時，邊際生產(chǎn)函數(shù)為和。由，所以遞減；由，所以遞減。此外，所以也是零齊次的；同樣，所以是零次齊次的。5判斷下列結(jié)論是否正確，并說明理由。（1）邊際產(chǎn)出大于零，則總產(chǎn)量將隨著投入的增加而上升；平均產(chǎn)量則不一定上升。（2）如果生產(chǎn)是有效率的，生產(chǎn)的可能性邊界一定是外凸的。答：（1）兩句話都正確。理由如下：因為邊際產(chǎn)出等于總產(chǎn)出曲線的斜率，所以邊際產(chǎn)出大于零就意味著斜率大于零，即總產(chǎn)量隨著投入的增加而上升。假設廠商的生產(chǎn)函數(shù)為，則平均產(chǎn)出，平均產(chǎn)出關于求導，得到：根據(jù)式可知：當時，即平均產(chǎn)量隨著投入的增加而上升；當時，即平均產(chǎn)量隨著投入的增加而下降。由此可見平均產(chǎn)量隨著產(chǎn)量的增加而上升

6、和邊際產(chǎn)出是否大于零（）沒有必然的聯(lián)系，見圖6-3。圖6-3 平均成本和邊際成本之間的關系（2）錯誤。理由如下：以兩種要素生產(chǎn)兩種產(chǎn)品為例，在埃奇沃斯盒子中，當生產(chǎn)的要素組合位于契約線上時，生產(chǎn)是有效率的，即不存在帕累托改進；而在契約線之外的任何點生產(chǎn)都不是帕累托有效的。生產(chǎn)可能性邊界（同書中生產(chǎn)轉(zhuǎn)換曲線）指在技術水平一定時，用一定總量的勞動投入與資本投入可以生產(chǎn)出的兩種產(chǎn)品和的產(chǎn)出組合。通常情況下，生產(chǎn)可能性邊界為外凸的，即為凹形，如圖6-4所示。但是凸向原點的生產(chǎn)可能性曲線也是存在的，例如生產(chǎn)函數(shù)為，；假設資本（）和勞動（）的總量分別為20和10，生產(chǎn)可能性邊界如圖6-5所示。圖6-4 凹

7、的生產(chǎn)可能性集 圖6-5 凸的生產(chǎn)可能性集在生產(chǎn)是有效率時，當要素密集度不同時，遞增的規(guī)模報酬相對應的生產(chǎn)可能性曲線是凸的；當要素密集度相似時，規(guī)模報酬遞增會導致生產(chǎn)可能性曲線為凸的。6假定一家企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)：，產(chǎn)出品價格，工資率，固定資產(chǎn)成本為2。問：（1）最優(yōu)要素投入量。（2）最優(yōu)供給量。（3）計算這家企業(yè)的利潤量。（4）這家企業(yè)應不應關閉？解：（1）由已知可得，對于追求利潤最大化的企業(yè)，最優(yōu)要素投入量應當滿足該要素的邊際產(chǎn)品價值等于要素價格，即：，則有：解得最優(yōu)要素投入量。（2）最優(yōu)供給量。（3）廠商利潤。（4）該企業(yè)不應關閉。因為關閉后，企業(yè)的損失等于固定資產(chǎn)成本2；但是如果堅持經(jīng)營，

8、那么損失只有1，即企業(yè)繼續(xù)經(jīng)營的收益不僅可以彌補可變成本，還可以彌補部分固定成本，所以企業(yè)不應當關閉。7證明：若某家企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為（），如果該企業(yè)的資本支出為一常數(shù)，則：（1）其供給量隨產(chǎn)品價格上升而上升。（2）隨工資率上升而下降。證明：（1）假設該企業(yè)支付的工資率為常數(shù)，企業(yè)的利潤函數(shù)為：利潤最大化的一階條件為：解得，所以企業(yè)的供給函數(shù)為，供給函數(shù)關于產(chǎn)品價格求導，就有：所以供給量隨產(chǎn)品價格上升而上升。（2）供給函數(shù)關于工資率求導，就有：所以隨著工資率上升而下降。8已知一家企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，產(chǎn)品價格為1，工資率為，利率為。固定資本成本為。求：（1）的最優(yōu)比率。（2）與的最優(yōu)量。解：（1）由

9、生產(chǎn)函數(shù)，可得：對于追求利潤最大化的企業(yè)，企業(yè)決定最優(yōu)要素比例的必要條件為：，即：解得，即。（2）把、和的表達式代入中，得。把代入式中，就有：，解得。9某總公司有甲、乙、丙三個分公司，每個分公司都生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品。下面是三個分公司用其全部資源可生產(chǎn)的與的最大產(chǎn)量：表6-2 分公司用其全部資源可生產(chǎn)的與的最大產(chǎn)量請畫出該總公司的生產(chǎn)可能性曲線（以為橫軸，為縱軸）。答：對該公司而言，所有可能的產(chǎn)量組合為如表6-3所示。表6-3 總公司所有可能的產(chǎn)量組合在兩種商品的產(chǎn)量組合圖上，畫出所有的點，可知、四點是最有效率的生產(chǎn)組合（因為它們的右上方?jīng)]有任何的點）。這樣如果再假設生產(chǎn)集是凸的，那么、四點的連線就

10、是生產(chǎn)可能性邊界（嚴格的講，、四點的連線和橫軸與縱軸圍成的區(qū)域只是生產(chǎn)可能性集的內(nèi)界，但由于本題沒有給出其他信息，所以無法準確的作出生產(chǎn)可能性邊界），如圖6-6所示。圖6-6 生產(chǎn)可能性邊界10在落日灣用手挖海蚶只需要勞動投入。每小時可獲得的海蚶總量（），由給出。其中，是每小時的勞動投入。（1）用圖表示出與之間的關系。（2）落日灣中勞動的平均生產(chǎn)力為多少？用圖表示出這一關系，并表明隨著勞動投入的增加下降。（3）證明落日灣的勞動邊際產(chǎn)出為：。用圖表示出這一關系并證明對于所有的值，。請解釋它。解：（1）與之間的關系如圖6-7所示。圖6-7 挖海蚶的生產(chǎn)函數(shù)（2）由生產(chǎn)函數(shù)可得平均生產(chǎn)力為：關于分別

11、求一階和二階導數(shù)得：，所以隨著的上升而下降，且是一個凸函數(shù)，如圖6-8所示。圖6-8 平均產(chǎn)出和邊際產(chǎn)出函數(shù)（3）根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)，可得。由，可知，如圖6-8所示。的原因在于：因為邊際產(chǎn)出遞減，這就意味著額外增加一單位的投入，所多生產(chǎn)的產(chǎn)品比前面任何一個多增加的勞動力所多生產(chǎn)的都少，所以它自然也少于所有勞動力產(chǎn)出量的平均值，即。11某公司使用兩種類型的除草機割草。小型除草機具有24英寸刀片，并適用于具有較多樹木與障礙物的草坪。大型的除草機恰為小型除草機的兩倍大，并適用于操作不太困難的空曠場地。兩種生產(chǎn)函數(shù)的情況如表6-4所示：表6-4 大型除草機和小型除草機的生產(chǎn)函數(shù)（1）對應于第一種生產(chǎn)函數(shù)，圖

12、示出平方英尺的等產(chǎn)量線。如果這些要素沒有浪費地結(jié)合起來，則需使用多少與？（2）對應于第二種函數(shù)回答（1）中的問題。（3）如果4000平方英尺中的一半由第一種生產(chǎn)函數(shù)完成，一半由第二種生產(chǎn)函數(shù)完成，則與應如何無浪費地配合？如果3/4的草坪由第一種生產(chǎn)函數(shù)完成，而1/4的草坪由第二種生產(chǎn)函數(shù)完成，則與應如何配合？（4）在你考慮（3）中問題的基礎上，畫出的聯(lián)合生產(chǎn)函數(shù)的等產(chǎn)量線。解：對于每一種除草機，由于它們需要的資本投入和勞動投入的比例是固定的，所以生產(chǎn)函數(shù)是固定比例型的生產(chǎn)函數(shù)，即：（1）等產(chǎn)量線如圖6-9（a）所示。圖6-9（a） 使用大型除草機的等產(chǎn)量線把代入大型除草機的生產(chǎn)函數(shù)，得：由此可

13、知最優(yōu)投入為，。（2）等產(chǎn)量線如圖6-9（b）所示。圖6-9（b）使用小型除草機的等產(chǎn)量線把代入小型除草機的生產(chǎn)函數(shù)，得：由此可知最優(yōu)投入為，。（3）將，分別代入大型除草機和小型除草機的生產(chǎn)函數(shù)，得到：解得：，；，。從而得到：如果3/4的草坪由第一種生產(chǎn)函數(shù)完成，而1/4的草坪由第二種生產(chǎn)函數(shù)完成，類似于所采用的方法，可得，。（4）假設大型除草機完成4000平方英尺草坪中的份，其余的由小型除草機完成，則：解得：，；。進一步得到：即：，。所以：，即，。如圖6-9（c）所示。圖6-9（c） 同時使用大型除草機和小型除草機的等產(chǎn)量線12假定，。（1）證明，。（2）證明，；，。（3）證明只取決于，而不

14、依賴于生產(chǎn)規(guī)模，而且（對）隨著的增加而遞減。證明：（1）由生產(chǎn)函數(shù)，根據(jù)彈性的定義可得：（2）由生產(chǎn)函數(shù)，可得，；，。（3），所以只取決于，而不依賴于生產(chǎn)規(guī)模，且隨的增加而遞減。13歐拉定理意味著規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)，有運用這一結(jié)論，證明對于這種生產(chǎn)函數(shù)，如果，則必為負數(shù)。這意味著生產(chǎn)應在何處進行呢？一個企業(yè)能夠在遞增的點進行生產(chǎn)嗎？證明：（1）由題意知：，對該式變形得：由于，所以，即為負數(shù)。（2）這意味著企業(yè)應該在，即勞動力的平均產(chǎn)出遞減的產(chǎn)量處生產(chǎn)。（3）由（2）可知，一個企業(yè)不能夠在遞增的點進行生產(chǎn)，因為遞增就意味著，從而為負數(shù)，此時增加資本投入量反而會導致產(chǎn)量下降。14再次運用歐拉定理證明，對于只有兩種投入（與）的一個規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)，必定為正。解釋這一結(jié)論。證明：（1）對于規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)而言，下式恒成立：從式中解得：上式兩邊關于求導得：如果邊際產(chǎn)出遞減的假設成立，那么，即。（2）說明，在規(guī)模報酬不變和邊際產(chǎn)出遞減的假設條件下，任何一種要素的邊際產(chǎn)出都會隨著另一種要素投入的增加而增加。15生產(chǎn)函數(shù)形式如下（1）勞動與資本的平均生產(chǎn)力是多少？（將取決于，而則取決于。）（2）圖示當時的曲線。（3）證明，。運用這一信息，加一個函數(shù)到（2）圖中。這一曲線有何特別的地方？（4）畫出時的等產(chǎn)量線。（5）運用（3）中