二次根式知識點總結(jié)和典型例題

1、數(shù)學九年級上冊(人教版)知識點總結(jié)第二十一章二次根式21.1二次根式二次根式30)是非負數(shù)(石=a (a 0)- a a 0)二次根式的 化簡與運苴二次根式的加巡二次根式的乘除.二次根式：式子 石(a0)叫做二次根式。當a0時，表示a的算數(shù)平方根，其中，0=0注意：(1)若a之0這個條件不成立，則 va不是二次根式；(2)引后是一個重要的非負數(shù)，即；0.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如浦 不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如項 1/二：.都不是最簡色店二次根

2、式，而 , 而，5柚,都是最簡二次根式。.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如1就是同類二次根式，因為 =2,館=3垃,它們與啟的被開方數(shù)均為2。.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如石與石，a+后與a-加，出- m與出+質(zhì),互為有理化因式。二次根式的性質(zhì)：. (a 0)是一個非負數(shù)，即 可0;.非負數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù)，即： ()2=a(a0);3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即1=|a|=a(a0)-a(a 0,b 0)。5.非負數(shù)的商

3、的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根,而(a0,b0 )。二次根式比較大小的方法：（1）利用近似值比大??；（2）把二次根式的系數(shù)移入二次根號內(nèi)，然后比大小;（3）分別平方，然后比大小2二次根式的乘除.二次根式的乘法兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即二標例 zb *。說明：（1）法則中口、8可以是單項式，也可以是多項式， 要注意它們的取值范圍,都是非負數(shù);（2）石 J彳二向（口 0, b 0）可以推廣為 幽At店二他瘋0）；人二:一一3 0,方 0, C 0, d 0)。（3）等式=（d 0, b 0）也可以倒過來使用，即 y!ab = a-4b （。0, b 0

4、）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對一些二次根式進行化簡。.二次根式的除法說明：（1）法則中Q、b兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即 ,一 可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍,0, 3在分母中，因此方0；(2)43 A0, b 0）可以推廣為3 0,力 0, R w0)；6_ b而(3)等式柩 V6 (Q 0, b 0)也可以倒過來使用，即 vi 狗 (fl 0, b 0)。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對一些二次根式進行化簡。.最簡二次根式(1)滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式， 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是

5、整式，被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式；(2)最簡二次根式中，被開方數(shù)不能含有小數(shù)、分數(shù)，字母因式次數(shù)低于2,且不含分母；(3)化簡二次根式時，往往需要把被開方數(shù)先分解因數(shù)或分解因式；(4)二次根式計算的最后結(jié)果必須化為最簡二次根式說明：(1)這兩個條件必須同時滿足，才是最簡二次根式；(2)被開方數(shù)若是多項式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進行化簡；(3)二次根式化簡到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3二次根式的加減.同類二次根式(1)定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根 式叫同類二次根式。注：判斷幾個二次根式是否為同類二次

6、根式，關(guān)鍵是先把二次根式準確地化成最簡 二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。(2)合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號及被開方數(shù)不變。.二次根式的加減(1)二次根式的加減， 先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。(2)二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎(chǔ)上去括號再合并同類二次根式，同類二次根式相當于同類項。一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進行：)將每一個二次根式都化簡成最簡二次根式)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組)合并同類二次根式次根式的混合運算(1)二次根式的

7、混合運算可以說是二次根式乘法、除法、力口、減法則的綜合應用，以前學過的，在有理數(shù)范圍內(nèi)的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用；(2)二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合 并；除法運算有時轉(zhuǎn)化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等(3)在進行二次根式的混合運算時應注意以下幾點：1)觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數(shù)的運算順序 一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)的。2)在運算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”。3)觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算

8、性質(zhì)，在實數(shù)和整式中的運算 律和運算性質(zhì)，在二次根式的運算中都可以應用。母有理化(1)我們在前面的學習中研究了分母形如感 形式的分式的分母有理化綜合起來，常見的有理化因式有：石 的有理化因式為 而,隹業(yè) 的有理化因式為 柩，。土柩的有理化因式為 。干柩，土禰的有理化因式為 石干新， 如A土卜后的有理化因式為次后鉞(2)分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，將分母化為整式 .混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理 化而進行的。1例1 .下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：亞、我、x、4 (x0)、 1而、氏、-五、x+y、Jx +

9、y (x0, y?0).解：二次根式有： 石、& (x0)、而、-石、正(x0, y0);不是_1_1二次根式的有：我、x、叼、x + y.例2.當x是多少時，辰二1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-10, ?反二1才能有意義.1解：由 3x-1 0,得：x 3當x3時，后二1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. ,例3.當x是多少時，hx +3 +- 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?1分析：要使 瘍短+二在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足，2x+3中的10 和 x+1 中的 x+1 W0.2x 3-0解：依題意，得x 1一03由得：x- 2由得：xw-13當x-2且xW

10、-1時，瘍而+ x+1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.x例 4(1)已知 y=2-x + x-2+5,求 y 的值.(答案:0.4)(2)若出歷 十 3口=。，求 a2004+b2004的值.(答案:2)21.1 二次根式(2)第二課時.金(a0)是一個非負數(shù)；.(石)2=a (a0).、0a2 =a (a0).例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3答案1) x 3 x - 3 ;2) x2 2 x % 2 x - x 2 ;3) . 2x ,3、2x - . 3二次根式(3)掌握r2a(a -0)a a = a = *-a(1)(x - 2)1、6=42、，(-

11、1.5)2= 1.53、)；(x-1)2= x-1(3-二)2; (2) x2 6x 9(x 3)./4、= J-35、x -4x 4 = x-2(4)如果 盾產(chǎn)=2-x那么x取值范圍是(A )A 、x 02 B. x 2 D. x 2(5)實數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示：,0_ 1 P 2化簡：(1一( 2 p)2=p-1+2-p=1一、選擇題、(2；)2 . (-2了1.、333 的值是(c ).22,0 B , 3 C . 43 D ,以上都不對2 .確的是a0時，匠、J(-a)2、-,比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正(A ).4a = J(-a)2 -Va2 b ,1 ha)2 -值 /

12、0,判斷1995-a?的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值)由已知得 a-?2000?0, ?a?2000所以 a-1995+ a -2000 =a, a -2000 =1995, a-2000=19952,所以 a-19952=2000.3,若-3Wx&2 時，試化簡 1 x-2 1 + J(x + 3)2 +Jx2-10 x + 25。答案(10-x)第三講二次根式的乘法教學目標：使學生能掌握并能運用二次根式的乘法法則ab =448=匯自手0TbbO)并進行 相關(guān)計算；同時掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)： 疝= Va7b (a2QC0)；能熟 練應用。利用二次根式的乘法法則，化簡二次根式，使被開方數(shù)中

13、不含能開得盡方的因數(shù) 或因式。(最簡二次根式)二次根式相乘，實際上就是把被開方數(shù)相乘，而根號不變.例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1)J(Y)M(-9)=。乂。4121212(2) V 25 x 后=4X 25 x &5=4丫 25 x 后=4阮=8向解：(1)不正確.改正：(一4) (-9) = 4 9= ；X 9=2X 3=6(2)不正確.1472叵 ,12.25改正：25 x 225=15 x 225=55=布2 =而5=46一、選擇題.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為 屈cm和 屈cm, ?那么此直角三 角形斜邊長是（B ）.A . 3 2 cm B . 33 cm

14、 C . 9cm D . 27cm71.化簡a a的結(jié)果是（C ）.A.-aB. ,aC. - - D.- a.等式Jx *1Jx - 1 = Jx2 - 1成立的條件是（A ）A. x1B. x-1C. -1 x1或 x0-1,下列各等式成立的是（D ）.A. 4X2遙=8 代 B . 5向 X4亞=20后C. 4囪X3后=7而 D . 5由X4&=20n二、填空題1. 1014 =13,612 .自由落體的公式為S=2 gt2 （g為重力加速度，它的值為10m/s2）,若物 體下落的高度為720m則下落白時間是 12s.第四講二次根式除法一、教學目標：上aaa 、a1、7b =Vb（a0,

15、 b0）,反過來 舊=而（a0, b0）及利用它們進行計算 和化簡.教學目標2、二次根式運算的結(jié)果必須是最簡二次根式，理解最簡二次根式必須滿足的條例2.化簡：T64b29x5x（1）、64（2） 19a2（3） 屈 （4） VWa a分析：直接利用b = v/b （a0, b0）就可以達到化簡之目的.22 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document A. 7 岔 B , 7 C.V2D2、化去分母中的根號：、31_5b_(1)而(2)而(3)后(a，b 之 ),27例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根11 ( .2 -1

16、),2 -1質(zhì) +1 = (72+1)(72-1) - 2-1 二亞.1 ,11 (.3 - .2)3 - 2.3 .2 =( ,35)(石-二) 3-2 = 3. .21同理可得：=-由，從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算(&+1 + &+V2+ +而 + J2002 +J2001)( J2002 +1)的值.分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理 化后就可以達到化簡的目的.解：原式=(五-1+向-亞+”-點+V2002.疝而)x(V2002+1)=(2002 -1)(2002+1)=2002-1=2001第五講二次根式的加減法(1)教學目標：(1) 使學生

17、了解同類二次根式的概念，掌握判斷同類二次根式的方法。使學生能正確合并同類二次根式，進行二次根式的加減運算。首先要對二次根式進行化簡，然后考察根號下的被開方數(shù)：被開方數(shù)相同的就是 同類二次根式；被開方數(shù)不同的就不是同類二次根式。1、在二次根式： 阮 炎3匕；行和書是同類二次根式的是（C）A .和B .和C .和D .和2、下列說法正確的是（C ）A、被開方數(shù)不同的兩個二次根式一定不是同類二次根式；B、再 與3向不是同類二次根式；1C、a與不是同類二次根式；D被開方數(shù)完全相同的二次根式是同 類二次根式。 TOC o 1-5 h z 3、兩個正方形的面積分別為2和8.則這兩個正方形邊長和為342 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 八=菟 35a2 1 十7c25、已知最簡二次根式2 和-M7a -1是同類二次根式：1、6求a的值求它們合并后的結(jié)果（a=1或-1,合并后結(jié)果為2）多項式的乘法法則和乘法公式同樣適用于二次根式的多項式乘法(a-b)(1)( . a . b)( . a - . b) (a - 0,b - 0)例1 .計算：（1）