2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專(zhuān)題第23講《數(shù)列的新定義問(wèn)題》（解析版）

1、第23講 數(shù)列的新定義問(wèn)題 一、單選題1（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在詳解九章算法和算法通變本末中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（ ）A99B131C139D141【答案】D【分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減

2、去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D2（2021北京東直門(mén)中學(xué)高二月考）在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的乘積都同為一個(gè)常數(shù)（有限數(shù)列最后一項(xiàng)除外），則稱(chēng)該數(shù)列為等積數(shù)列.是等積數(shù)列，且，公積為，則的值是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)等積數(shù)列定義可推導(dǎo)得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，由此可求得結(jié)果.【詳解】由等積數(shù)列定義可知：，又，由此推導(dǎo)可得：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為；設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由得：，共有項(xiàng)，.故選：D.3（2021江蘇蘇州高三月考）若數(shù)列中不超過(guò)的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱(chēng)相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)

3、和，若，則的值為（ ）A9B11C12D14【答案】B【分析】根據(jù)生成數(shù)列的定義，先求出，然后分為偶數(shù)和奇數(shù)討論即可求解.【詳解】解：由題意可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，則，所以，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，因?yàn)?，所以無(wú)解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以，因?yàn)?，所以，故選：B.4（2021寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高二月考（理）對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱(chēng)值”.已知數(shù)列的“勻稱(chēng)值”為，則該數(shù)列中的等于（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知得，由此推導(dǎo)出，從而能求出.【詳解】解：，數(shù)列的“勻稱(chēng)值”為，時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故選：D5（2021湖北黃石高三開(kāi)學(xué)考試）普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)有趣的數(shù)列

4、并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項(xiàng)由前一項(xiàng)的外觀產(chǎn)生以1為首項(xiàng)的“外觀數(shù)列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，即第一項(xiàng)為1，外觀上看是1個(gè)1，因此第二項(xiàng)為11；第二項(xiàng)外觀上看是2個(gè)1，因此第三項(xiàng)為21；第三項(xiàng)外觀上看是1個(gè)2，1個(gè)1，因此第四項(xiàng)為1211，按照相同的規(guī)則可得其它項(xiàng)，例如為3，13，1113，3113，132113，若的第n項(xiàng)記作，的第n項(xiàng)記作，其中i，若，則的前n項(xiàng)和為（ ）ABCD【答案】C【分析】列出、的前四項(xiàng)，觀察規(guī)律，即得.【詳解】由題得， 由遞推可知，隨著的增大，和每一項(xiàng)除了最后一位不同外，其余各位數(shù)都相同，所以，的前n項(xiàng)和為.故選：C.6（202

5、1貴州威寧高一期末）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“美值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“美值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】由，可得進(jìn)而求得，所以可得是等差數(shù)列，由可得，即可求解【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，兩式相減可得：，所以，顯然滿足時(shí)，所以，所以，可得數(shù)列是等差數(shù)列，由對(duì)任意的恒成立，可得：，即可求解，即且，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C7（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文）對(duì)任一實(shí)數(shù)列，定義，若，則（ ）A1000B2000C2003D4006【答案】D【分析】根據(jù)定義，可求出的通項(xiàng)，從而可得，利用累加法可得，再由求出及，即可求出.【詳

6、解】由題意知，所以是公差為的等差數(shù)列， 所以，所以，當(dāng)時(shí)，,將以上各式兩邊對(duì)應(yīng)相加，得，所以，由，得，解得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于讀懂題目，準(zhǔn)確把握“”的定義.8（2021江蘇高二單元測(cè)試）對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有，則稱(chēng)數(shù)列為有界數(shù)列.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列B若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列C若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列D若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則數(shù)列也是有界數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)有界數(shù)列的定義，利用不等式放縮，可判斷A、C正確；設(shè)，可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列和數(shù)列的有界性，用和來(lái)控制，即可選項(xiàng)D

7、.【詳解】解：對(duì)A:設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為，則，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列，故A正確；對(duì)B: 事實(shí)上，設(shè)，則，易知數(shù)列是有界數(shù)列，而此時(shí)，所以，由的任意性，知數(shù)列不是有界數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)閿?shù)列是有界數(shù)列，所以存正數(shù)，對(duì)任意有，即，于是，所以數(shù)列是有界數(shù)列，故C正確；對(duì)D：若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則存在正數(shù)，使得對(duì)任意，有；，又因?yàn)橥恚傻?，所以，所以，?shù)列也是有界數(shù)列，故D正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于讀懂題目，準(zhǔn)確把握“有界數(shù)列”的定義.9（2021湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高二期中）對(duì)任一實(shí)數(shù)序列，定義序列，它的第項(xiàng)為.假定序列的所有項(xiàng)都為1，且，

8、則（ ）A1000B2000C2003D4006【答案】D【分析】是公差為的等差數(shù)列，可先設(shè)出的首項(xiàng)，然后表示出的通項(xiàng)，再用累加法表示出序列的通項(xiàng)，再結(jié)合求出的首項(xiàng)和的首項(xiàng)，從而求出序列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而獲解.【詳解】依題意知是公差為的等差數(shù)列,設(shè)其首項(xiàng)為,通項(xiàng)為，則，于是由于,即,解得.故.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式.題目定義的數(shù)列為二階等差數(shù)列.高階等差數(shù)列的定義是這樣的：對(duì)于對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列的一階差數(shù)列，如果常數(shù)，則為二階等差數(shù)列，可用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.10（20

9、20江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)高二期中）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）A95B105C115D125【答案】A【分析】將數(shù)列按行排列，第行和為，前和為，把第N個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為，前N和則為，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】將數(shù)列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8第行為： ，第

10、行和為，前行共有行個(gè)數(shù)，前和為第行第個(gè)數(shù)共有N個(gè)數(shù)，則前N和為，若和為2的整數(shù)冪，則有，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)整數(shù)解當(dāng)時(shí)，此時(shí)故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將數(shù)列按行排列，把第N個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為，前N和則為，進(jìn)而問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.本題考查了運(yùn)算求解和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，邏輯推理能力，屬于難題.11（2021山東嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法已知數(shù)列滿足，則（ ）ABCD【答案】B【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【詳解】依題意，記，則，又，兩式相加可得，則.故選：B二、多選題1

11、2（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若（，p為常數(shù)），則稱(chēng)為“等方差數(shù)列”.下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）A若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列B若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C數(shù)列是等方差數(shù)列D若是等方差數(shù)列，則（，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用等方差的定義和等差數(shù)列的定義依次判斷即得【詳解】對(duì)于A，是等方差數(shù)列，可得（，p為常數(shù)），即有是首項(xiàng)為，公差為p的等差數(shù)列，故A正確.對(duì)于B，例如：數(shù)列是等方差數(shù)列，但是數(shù)列不是等方差數(shù)列，所以B不正確.對(duì)于C，數(shù)列中，（，），所以數(shù)列是等方差數(shù)列，故C正確對(duì)于D，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，因?yàn)?，所?/p>

12、，即，所以數(shù)列是等方差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.13（2021江蘇蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則稱(chēng)為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有（ ）A常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”B為“和諧數(shù)列”C為“和諧數(shù)列”D若公差為的等差數(shù)列滿足：為“和諧數(shù)列”，則的最小值為-2【答案】BD【分析】根據(jù)給定“和諧數(shù)列”的定義，對(duì)各選項(xiàng)中的數(shù)列逐一分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，數(shù)列中，令(c為常數(shù))，當(dāng)c0時(shí)，此時(shí)的常數(shù)數(shù)列不為“和諧數(shù)列”，A不正確；對(duì)于B，數(shù)列中，令，則，即成立，B正確；對(duì)于C，數(shù)列中，令，不是“和諧數(shù)列”，C不正確；對(duì)于D，令，則，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的

13、等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，因是“和諧數(shù)列”，于是有，即有，從而得，又，即對(duì)恒成立，若，則有對(duì)恒成立，必有，即，因此，若，則對(duì)應(yīng)的是開(kāi)口向下的拋物線在x取正整數(shù)時(shí)的函數(shù)值，由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)正整數(shù)n足夠大時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，不成立，從而只有，且，的最小值為-2，D正確.故選：BD14（2021全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”則以下數(shù)列為“數(shù)列”的是（ ）A是等差數(shù)列，且，公差B是等比數(shù)列，且公比滿足CD，【答案】BC【分析】求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后判斷對(duì)，有無(wú)正實(shí)數(shù)，使得成立.【詳解】A中，若是等差數(shù)列，公差，則，是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于

14、任意的，不存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，所以數(shù)列不是“數(shù)列” B中，若是等比數(shù)列，且公比滿足，則，所以數(shù)列是“數(shù)列”C中，所以，則數(shù)列是“數(shù)列”D中，在數(shù)列中，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成常數(shù)列，且各項(xiàng)均為1；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，即任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)和為0，則對(duì)于任意的，不存在實(shí)數(shù)，使得恒成立所以數(shù)列不是“數(shù)列”故選：BC15（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“和有界數(shù)列”下列說(shuō)法正確的是（ ）A若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”B若數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公差C若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”D若數(shù)列是

15、等比數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公比滿足【答案】BC【分析】利用給定定義結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)選項(xiàng)A，B并借助一次、二次函數(shù)性質(zhì)分析判斷；結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)選項(xiàng)C并借助即可推理判斷，舉特例判斷選項(xiàng)D作答.【詳解】若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，若，則，是的一次函數(shù)，不存在符合題意的，A錯(cuò)誤；數(shù)列是“和有界數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，是的二次函數(shù)，不存在符合題意的，當(dāng)，時(shí)，存在符合題意的，B正確；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則，因滿足，則，即，則存在符合題意的實(shí)數(shù)，即數(shù)列是“和有界數(shù)列”，C正確；若等比數(shù)列是“和有界數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)，則，即，從而存在符合題意的實(shí)數(shù)，D錯(cuò)誤.故選

16、：BC16（2021廣東天河高三月考）在數(shù)列中，若（，為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為“開(kāi)方差數(shù)列”，則下列判斷正確的是（ ）A是開(kāi)方差數(shù)列B若是開(kāi)方差數(shù)列，則是等差數(shù)列C若是開(kāi)方差數(shù)列，則也是開(kāi)方差數(shù)列（，為常數(shù)）D若既是開(kāi)方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列【答案】CD【分析】根據(jù)開(kāi)方差數(shù)列、等差數(shù)列的定義判斷、是否為常數(shù)即可判斷A、B正誤；C由，應(yīng)用累加法求得，即可知正誤；D令，m為常數(shù)，易得，結(jié)合開(kāi)方差數(shù)列定義求證是否為常數(shù)列.【詳解】A：，故不是開(kāi)方差數(shù)列，錯(cuò)誤；B：不一定為常數(shù)，錯(cuò)誤；C：，所以為常數(shù)，即為開(kāi)方差數(shù)列，正確；D：由題意，且，m為常數(shù)，則，所以時(shí)為常數(shù)，則為常數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則也

17、為常數(shù)列，正確.故選：CD17（2021江蘇高二專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱(chēng)為“等差比數(shù)列”下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷正確的是（ ）A不可能為0；B等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；C等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；D通項(xiàng)公式為的數(shù)列一定是等差比數(shù)列【答案】AD【分析】A選項(xiàng)利用反正法即可判斷，B、C選項(xiàng)舉出反例即可判斷，D選項(xiàng)按照新定義證明即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：若，則數(shù)列是常數(shù)列，所以分母為0，因?yàn)椴豢赡転?，故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時(shí)，分母等于0，不成立，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列是常數(shù)列時(shí)，分母等于0，不成立，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，為常?shù)，是等差比數(shù)列，故

18、D正確，故選：AD.18（2021江蘇高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列an中，若為常數(shù)），則an稱(chēng)為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）A若an是等方差數(shù)列，則an2是等差數(shù)列B若an是等方差數(shù)列，則an2是等方差數(shù)列C（1）n是等方差數(shù)列D若an是等方差數(shù)列，則akn（kN*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用等方差的定義和等差數(shù)列的定義逐個(gè)進(jìn)行演算，能夠推出B不正確，其余的都正確【詳解】對(duì)于A中，數(shù)列an是等方差數(shù)列，可得為常數(shù)），即有是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B中，例如：數(shù)列是等方差數(shù)列，但是數(shù)列不是等方差數(shù)列，所以B不正確；對(duì)于C中，數(shù)列

19、中，所以數(shù)列是等方差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D中，數(shù)列an中的項(xiàng)列舉出來(lái)是：，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，因?yàn)椋╝k+12ak2）（ak+22ak+12）a2k2a2k12p所以（ak+12ak2）+（ak+22ak+12）+（a2k2a2k12）kp所以akn+12akn2kp，所以，數(shù)列akn是等方差數(shù)列，故D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：1、通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的

20、特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.三、雙空題19（2021全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）定義：記滿足下列兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為n階“期待數(shù)列”.；.試寫(xiě)出一個(gè)3階“期待數(shù)列”_；若2021階“期待數(shù)列”是遞增的等差數(shù)列，則_.【答案】，0，（答案不唯一） 【分析】（1）根據(jù)新定義直接寫(xiě)出答案即可；（2）設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合新定義得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解即可.【詳解】（1）寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列即可，如，0，或，（答案不唯一）；（2）解法一：設(shè)等差數(shù)列為階“期待數(shù)列”，公差為d（），即，（等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用）， ，（根據(jù)數(shù)列遞增及而得）， ，

21、即，由得，即，令，解得，故.解法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，即.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得.因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，將代入，解得，所以.故答案為：，0，（答案不唯一）；20（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若任意，都有（為常數(shù)）成立，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則的最大值為_(kāi)；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】6 【分析】（1）設(shè)，可得對(duì)任意 恒成立，即是單調(diào)遞增數(shù)列，由恒成立可求；（2）由題得恒成立，即可求出.【詳解】（1）由題可得對(duì)任意恒成立不妨令，則，即對(duì)任意恒成立令，則對(duì)任意恒成立，即的最大值為6（2）由題得對(duì)任意恒成

22、立，即，故的取值范圍為故答案為：6；.21（2021湖北漢陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)）牛頓選代法又稱(chēng)牛頓拉夫遜方法，它是牛頓在世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱(chēng)為的次近似值；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱(chēng)為的次近似值一般的，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱(chēng)為的次近似值設(shè)的零點(diǎn)為，取，則的次近似值為_(kāi)；設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為若任意恒成立，則整數(shù)的最小值為_(kāi)【答案】 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依次求出切點(diǎn)、斜率、斜線方程，即可得出結(jié)果.（2）由（1）可得，進(jìn)而可得，即可得出

23、結(jié)果.【詳解】（1），所以當(dāng)，所以當(dāng)（2）因?yàn)樗?，為整?shù)， 故答案為：；2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由和，觀察得出是本題的關(guān)鍵.本題考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.22（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則_，_【答案】 【分析】根據(jù)列出等式，以代得到另一個(gè)等式，兩式作差可求得時(shí)的，再驗(yàn)證即可；利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解出即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，兩式作差可得：，所以，當(dāng)時(shí)，所以，符合的情況，所以；因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故答案為：；.四、填空題23（2020江蘇江陰市成化高級(jí)中學(xué)高二月考）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定

24、為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi).【答案】【分析】根據(jù)階差分?jǐn)?shù)列的定義，結(jié)合已知條件等式可得，寫(xiě)出的通項(xiàng)，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式.【詳解】由題設(shè)，知：，即為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即.故答案為：.24（2021河南三門(mén)峽高三月考（理）在數(shù)列中，如果對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為比等差數(shù)列，稱(chēng)為比公差.則下列結(jié)論：等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列；等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；若，則是比等差數(shù)列，且比公差為；若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定不是比等差數(shù)列.其中正確的有_.（填序號(hào)）【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義，由

25、比等差數(shù)列的定義：對(duì)任意，都有（為常數(shù)），對(duì)各個(gè)命題逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，所以等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，故正確；對(duì)于，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則，則此等差數(shù)列為比等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于，則，所以，所以是比等差數(shù)列，且比公差為，故正確；對(duì)于，設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則，則因?yàn)椴皇嵌ㄖ担詳?shù)列一定不是比等差數(shù)列，故正確.故答案為：.25（2021江蘇高二單元測(cè)試）取出數(shù)列的任意連續(xù)四項(xiàng)，若其中奇數(shù)項(xiàng)之和，偶數(shù)項(xiàng)之和均為同一個(gè)常數(shù)（如連續(xù)四項(xiàng)，滿足），則稱(chēng)數(shù)列為錯(cuò)位等和數(shù)列，其中常數(shù)是公和.若表示的前項(xiàng)和，有如下命題：（1）若一個(gè)等差數(shù)列是錯(cuò)

26、位等和數(shù)列，則；（2）若一個(gè)等比數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則；（3）若，則錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列；（4）在錯(cuò)位等和數(shù)列中，且，若是偶數(shù)，則；其中，真命題的序號(hào)是_【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】在（1）（2）中根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)即可知為常數(shù)數(shù)列，即可判斷正誤；由有，結(jié)合已知即可判斷正誤；由（3）的結(jié)論及已知得、即可得，進(jìn)而可知正誤.【詳解】（1）由得，即為常數(shù)數(shù)列，所以正確；（2）由得，所以為常數(shù)數(shù)列，所以，正確；（3）任取四項(xiàng)，則，且，即有，同理，又，所以錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列，正確；（4）由（3）及，得，又，即，所以，且，而錯(cuò)位等和數(shù)列一定是

27、最小正周期為4的周期數(shù)列，所以.故答案為：（1）（2）（3）（4）【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義，綜合應(yīng)用了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的周期性，屬于中檔題.26（2021廣東東莞市光明中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）若有窮數(shù)列，（m為正整數(shù)）滿足條件：，則稱(chēng)其為“對(duì)稱(chēng)”數(shù)列例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，4，8都是“對(duì)稱(chēng)”數(shù)列已知在21項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)”數(shù)列中，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則_【答案】19【分析】根據(jù)“對(duì)稱(chēng)”數(shù)列可知，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.故答案為：19【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的新定義

28、，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.五、解答題27（2021江蘇高二單元測(cè)試）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，其中如果對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列為差分增數(shù)列（1）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，且，若，求非零自然數(shù)k的最大值；（3）已知項(xiàng)數(shù)為2k的數(shù)列（）是差分增數(shù)列，且所有項(xiàng)的和等于k，證明：【答案】（1）；（2）65；（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用差分增數(shù)列的定義可得關(guān)于的不等式組，即可求解；（2）根據(jù)，可得，從而可得，即可求解；（3）利用反證法推出矛盾，即可得證【詳解】（1）數(shù)列1，2，4，16，24的差分?jǐn)?shù)列為1，2，8，由題意可得，解得，故實(shí)數(shù)

29、的取值范圍是（2）由題意，因?yàn)閿?shù)列為差分增數(shù)列，所以對(duì)任意的，都有，所以，同理，所以當(dāng)時(shí)，所以，解得，所以非零自然數(shù)的最大值為65（3）證明：假設(shè)，由題意知，2，3，因?yàn)轫?xiàng)數(shù)為的數(shù)列所有項(xiàng)的和等于，所以，即，所以，因?yàn)閿?shù)列，2，3，是差分增數(shù)列，所以，所以，因此，所以對(duì)任意的，都有，即，所以，所以與矛盾，故假設(shè)不成立，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列的新定義的題，解題的關(guān)鍵是理解清楚題意，熟練掌握數(shù)列中常見(jiàn)的解題方法.28（2020江蘇模擬預(yù)測(cè)）對(duì)數(shù)列an，規(guī)定an為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中anan+1an（nN*），規(guī)定2an為an的二階差分?jǐn)?shù)列，其中2anan+1an（nN*）.（1）數(shù)

30、列an的通項(xiàng)公式（nN*），試判斷an，2an是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？（2）數(shù)列bn是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列，且q2，對(duì)于任意的nN*，都存在mN*，使得2bnbm，求q所有可能的取值構(gòu)成的集合；（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，且2cn0，對(duì)滿足m+n2k，mn的任意正整數(shù)m、n、k，都有cmcn，且不等式Sm+SntSk恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值.【答案】（1）是，是；理由見(jiàn)解析；（2），；（3）2.【分析】（1）推導(dǎo)出，從而，由此得到是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，由，得到是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列（2）推導(dǎo)出，根據(jù)，進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出所有可能的取值構(gòu)成的集合（3）推

31、導(dǎo)出，從而是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，從而，推導(dǎo)出，則當(dāng)時(shí)，不等式都成立；當(dāng)時(shí)，令，則，進(jìn)而得到，由此推導(dǎo)出的最大值為2【詳解】（1），是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列（2）數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都存在，使得，若，則，解得（舍，或，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有若，則，解得（舍，或，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有若，則，對(duì)任意的，不存在，使得綜上所述，所有可能的取值構(gòu)成的集合為，（3），是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，當(dāng)時(shí)，與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，故，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，則當(dāng)時(shí)，不等式都成立，另一方面，當(dāng)時(shí)，令，則，則，當(dāng)時(shí)，即，綜上，的最大值為2【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的判斷，考查實(shí)數(shù)的取值范圍、實(shí)數(shù)的最大值求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題29（2020黑龍江哈師大附中高二開(kāi)學(xué)考試（理）若數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列中，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使 的的最小值【答案】