2020-2021學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第4章數(shù)列1數(shù)列的概念第2課時(shí)含解析選修2

1、PAGE PAGE 11數(shù)列的概念(第2課時(shí))素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是否為某個(gè)數(shù)列的項(xiàng)2掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(重點(diǎn)、難點(diǎn))3理解Sn與an的關(guān)系，能運(yùn)用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題(重點(diǎn))1.數(shù)學(xué)運(yùn)算；2邏輯推理情境導(dǎo)學(xué)中央電視臺(tái)某節(jié)目中曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)這樣的一道題目：觀(guān)察以下幾個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，按照其中的規(guī)律說(shuō)出括號(hào)里的數(shù)是幾2,5,10,17，()，37，ann211數(shù)列的遞推公式與前n項(xiàng)和公式遞推公式一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式前n項(xiàng)和定義數(shù)列an從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sna1a2an前n

2、項(xiàng)和公式數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2數(shù)列中an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2).判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法()(2)所有數(shù)列都有遞推公式()(3)anSnSn1成立的條件是nN*.()1(多選)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an92n，則下列各數(shù)中是an的項(xiàng)的是()A7 B0 C3 D5ACD解析：對(duì)于A(yíng),792n，解得n1，故A滿(mǎn)足；對(duì)于B,092n，解得neq f(9,2)N*，故B不滿(mǎn)足；

3、對(duì)于C,392n，解得n3，故C滿(mǎn)足；對(duì)于D,592n，解得n2，故D滿(mǎn)足故選ACD2下表是用列表法定義的函數(shù)f(x)在數(shù)列an中，an1f(an)(nN*)，且a12，則a3等于()x123456f(x)346215A1 B2 C3 D4B解析：a2f(a1)f(2)4，a3f(a2)f(4)2.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn22n2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,2n3，n2)解析：aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，)而S11221，當(dāng)n2時(shí)，SnSn1n2(n1)222n3，當(dāng)n1時(shí)，不滿(mǎn)足上式

4、，故aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,2n3，n2.)4已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a11，以后的各項(xiàng)由公式an1eq f(2an,an2)給出，試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)解：a11，an1eq f(2an,an2)，a2eq f(2a1,a12)eq f(2,3)，a3eq f(2a2,a22)eq f(2f(2,3),f(2,3)2)eq f(1,2)，a4eq f(2a3,a32)eq f(2f(1,2),f(1,2)2)eq f(2,5)，a5eq f(2a4,a42)eq f(2f(2,5),f(2,5)2)eq f(1,3).故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1，eq f(2,3)，eq

5、 f(1,2)，eq f(2,5)，eq f(1,3).【例1】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n228n.(1)寫(xiě)出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)(2)49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)根據(jù)an3n228n，得a434228464，a636228660.(2)令3n228n49，即3n228n490，解得n7或neq f(7,3)(舍)，49是該數(shù)列的第7項(xiàng)令3n228n68，即3n228n680，解得n2或neq f(34,3)，均不是正整數(shù)，68不是該數(shù)列的項(xiàng)【例2】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann27n8.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)為負(fù)數(shù)？(2)數(shù)列an是否有最小項(xiàng)？若

6、有，求出其最小項(xiàng)解：(1)令an0，即n27n80，得1n1)，寫(xiě)出數(shù)列an的前5項(xiàng)解：由題意，得a23a1eq f(12,2)，而a11，所以a231eq f(12,2)eq f(7,2).同理a33a2eq f(13,2)10，a43a3eq f(14,2)eq f(61,2)，a53a4eq f(15,2)91.根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可另外，解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)還需注意：若已知首項(xiàng)，通常將所給遞推公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式；若已知末項(xiàng)，通常將所給遞推公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式已知數(shù)列an，a12，an12an，寫(xiě)出數(shù)列的

7、前5項(xiàng)，并猜想通項(xiàng)公式解：由a12，an12an，得a22a122422，a32a224823，a42a3281624，a52a42163225，猜想an2n(nN*)【例4】(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn5n1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq f(n1,n)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S15114.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(5n1)(5n11)5n5n145n1.由于a14也適合an45n1，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an45n1.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S1eq f(11,1)2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1eq f(n1,n)eq f(n,n1)eq

8、f(1,nn1).由于a12不適合aneq f(1,nn1)，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式是aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,f(1,nn1)，n2.)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式的步驟：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1.(2)當(dāng)n2時(shí)，根據(jù)Sn寫(xiě)出Sn1，化簡(jiǎn)anSnSn1.(3)如果a1也滿(mǎn)足當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1的式子，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anSnSn1；如果a1不滿(mǎn)足當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1的式子，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式要分段表示為aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則an_.eq

9、 blcrc (avs4alco1(2，n1，,6n5，n2)解析：Sn3n22n1，Sn13(n1)22(n1)13n28n6.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n22n1)(3n28n6)6n5.又當(dāng)n1時(shí)，a1S12不適合上式，aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,6n5，n2.)1在數(shù)列1,2，eq r(7)，eq r(10)，eq r(13)，中，2eq r(19)是這個(gè)數(shù)列的()A第16項(xiàng) B第24項(xiàng)C第26項(xiàng) D第28項(xiàng)C解析： 數(shù)列可化為eq r(1)，eq r(311)，eq r(321)，eq r(331)，eq r(341)，所以aneq r(3n11)eq

10、r(3n2)，令eq r(3n2)2eq r(19)eq r(76)，解得n26，所以2eq r(19)是這個(gè)數(shù)列的第26項(xiàng)故選C2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則a1a3()A6 B7 C8 D9B解析：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，所以S1a12，S2a1a25，S3a1a2a310，所以a23，a35，所以a1a37.故選B 3已知數(shù)列an中，an3n4，若an13，則n等于()A3 B4 C5 D6A解析：由an3n413，解得n3.故選A4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足Sn2n11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：Sn2n11，當(dāng)n1時(shí)，a1S121113；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n

11、11)(2n1)2n.由于a13不適合an2n.故aneq blcrc (avs4alco1(3，n1，,2n，n2.)5已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n30.(1)求數(shù)列的前三項(xiàng)，60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)n為何值時(shí)，an0，an0，an0，解得n6或n6(nN*)時(shí)，an0.令n2n300，解得0n6.當(dāng)0n6(nN*)時(shí)，an0.1判斷給定的項(xiàng)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，實(shí)質(zhì)就是一個(gè)解方程的過(guò)程若解得的n是正整數(shù)，則該項(xiàng)是此數(shù)列中的項(xiàng)；否則，就不是此數(shù)列中的項(xiàng)2求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法：(1)先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)；(2)設(shè)ak是最大(小)項(xiàng)，則eq blcrc (

12、avs4alco1(akak1，,akak1)對(duì)任意的kN*，且k2都成立，解不等式組即可3an與Sn的關(guān)系：aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)課時(shí)分層作業(yè)(二)數(shù)列的概念(第2課時(shí))(40分鐘80分)eq f(基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的遞推公式1(5分)數(shù)列eq f(1,2)，eq f(1,4)，eq f(1,8)，eq f(1,16)，的遞推公式可以是()Aaneq f(1,2n1)(nN*)Baneq f(1,2n)(nN*)Can1eq f(1,2)an(nN*)Dan12an(nN*)C解析：后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的eq f(1,

13、2)，an1eq f(1,2)an.2(5分)已知數(shù)列an對(duì)任意m，nN*，滿(mǎn)足amnaman，且a38，則a1()A2 B1 C2 Deq f(1,2)A解析：令mn1，則a2a1a1aeq oal(2,1).令m1，n2，則a3a1a2aeq oal(3,1)8，a12.知識(shí)點(diǎn)2an與Sn的關(guān)系3(5分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2，則an等于()An Bn2C2n1 D2n1D解析：Snn2，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.當(dāng)n1時(shí)，S1a11適合上式，an2n1.4(5分)某數(shù)列的前n項(xiàng)和為Snn32n1，則a1()A0 B1 C2 D3C解析：Snn32n1，當(dāng)n1

14、時(shí)，a11212.故選C知識(shí)點(diǎn)3通項(xiàng)公式的應(yīng)用5(5分)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann28n15，則3()A不是數(shù)列an中的項(xiàng)B只是數(shù)列an中的第2項(xiàng)C只是數(shù)列an中的第6項(xiàng)D是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)D解析：由n28n153得n28n120，n2或n6.3是an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)6(5分)數(shù)列eq r(2)，eq r(5)，2eq r(2)，eq r(11)，則2eq r(5)是該數(shù)列的()A第6項(xiàng) B第7項(xiàng)C第10項(xiàng) D第11項(xiàng)B解析：由aneq r(3n1)2eq r(5)，解得n7.7(5分)(多選)設(shè)an3n215n18，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和的最大值為(ABC)AS1 BS2 CS3

15、DS4eq f(能力提升練,能力考點(diǎn)拓展提升)8.(5分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn25n，若它的第k項(xiàng)滿(mǎn)足3ak7，則k()A4或5 B5或6C6或7 D7或8B解析：當(dāng)n1時(shí)，S14，即a14；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n25n)(n1)25(n1)2n6.令32k67，解得eq f(9,2)k1)，則a4等于()Aeq f(4,5) Beq f(1,4)Ceq f(1,4) Deq f(1,5)C解析：a21eq f(1,a1)5，a31eq f(1,a2)eq f(4,5)，a41eq f(1,a3)eq f(1,4).11(5分)設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和

16、最大()A第10項(xiàng) B第11項(xiàng)C第10項(xiàng)或第11項(xiàng) D第12項(xiàng)C解析：由ann210n110得(n1)(n11)0，解得1n11.故數(shù)列前11項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，且a110，故從首項(xiàng)到第10項(xiàng)或11項(xiàng)的和最大故選C12.(5分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2n1，則a3a4a5_.152解析：a3a4a5S5S2(5251)(2221)152.13.(10分)在數(shù)列an中，aneq f(n2,n21).(1)求數(shù)列的第7項(xiàng)；(2)求證：此數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(3)區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)內(nèi)有沒(méi)有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？(1)解：a7eq f(72,721)eq f(49,50).(2)證明：aneq f(n2,n21)1eq f(1,n21)，0an1，故數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)(3)解：有令eq f(1,3)eq f(n2,n21)eq f(2,3)，則eq f(1,2)n22，nN*，故n1，即在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)內(nèi)有且只有1項(xiàng)，為a1.14.(10分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,7)n，試求數(shù)列a