3.1 數(shù)系的擴(kuò)充1

1、 PAGE 3八校聯(lián)合教研活動(dòng)選修2-2 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充 江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué) 周伯明教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系的擴(kuò)充的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件教學(xué)過程：一、引入投影：選修2-2 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充教師：同學(xué)們，很高興有機(jī)會(huì)和大家一起來學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充這一節(jié)知識(shí).當(dāng)你看到本節(jié)課的課題時(shí)，你的第一感覺是本節(jié)課要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？學(xué)生：應(yīng)該是和數(shù)、數(shù)集有關(guān)系，數(shù)集的擴(kuò)充吧教師：你的直觀感覺很正確，那我們先一起來回顧一下以前我們所學(xué)習(xí)過的數(shù)集？學(xué)生：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了自然數(shù)集（N）、整數(shù)集(Z)、有理數(shù)集(Q)、實(shí)數(shù)集(

2、R)等集合教師：很好！那你能理出它們之間的關(guān)系嗎？學(xué)生： 教師：很好！在上述包含關(guān)系中，能把包含符號(hào)改寫成真包含符號(hào)嗎？為什么呢？數(shù)集是怎樣一步步擴(kuò)充的呢？學(xué)生：可以！從整數(shù)集中除了自然數(shù)，還有負(fù)整數(shù)；有理數(shù)集中除了整數(shù)，還有分?jǐn)?shù)；實(shí)數(shù)集中除了有理數(shù)還有無理數(shù).二、了解數(shù)集擴(kuò)充的必要性教師：很好！那么同學(xué)們知道為什么以上數(shù)集要一步步擴(kuò)充呢？ 具體的說？教師：人類因?yàn)橛?jì)數(shù)的需要才產(chǎn)生了自然數(shù)，形成了自然數(shù)集.但是僅有自然數(shù)是不夠用的，生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要也推動(dòng)了數(shù)的不斷發(fā)展，這里我們不妨大致回顧一下數(shù)的發(fā)展簡(jiǎn)史.首先從社會(huì)生活的角度來看數(shù)的發(fā)展.教師：這一切在今天看起來是那么的自然，然而在數(shù)學(xué)史

3、上，每一步的跨出都充滿了艱難與曲折比如，“0”這個(gè)自然數(shù)的出現(xiàn)就比其他自然數(shù)遲了很多年；又如，在無理數(shù)誕生之前，人們發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)既不能用整數(shù)來表示，又不能用兩個(gè)整數(shù)的比來表示，從而引發(fā)了一次數(shù)學(xué)危機(jī)，甚至有人為之獻(xiàn)出了寶貴的生命.有興趣的同學(xué)，課后可以查閱相關(guān)的資料. 教師：我們常說數(shù)學(xué)來源于生活，但是又高于生活，這句話給我們什么啟發(fā)呢？所以我們?cè)購臄?shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部來看看數(shù)集為何要進(jìn)行擴(kuò)充.請(qǐng)同學(xué)們解以下方程：x+6=5；3x-2=0;x2-2=0.學(xué)生：-1； ； .教師：嚴(yán)格的說，上述答案不夠準(zhǔn)確，因?yàn)槭孪葲]有規(guī)定在哪個(gè)數(shù)集內(nèi)解這些方程.在自然數(shù)集里，方程其實(shí)是無解的在自然

4、數(shù)集中，任意兩個(gè)數(shù)做加法和乘法是沒有問題的，但是在做減法的時(shí)候較小的數(shù)是不能減去較大的數(shù)的，所以為了滿足數(shù)的運(yùn)算的需要，我們引入了負(fù)數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集同理，如果在整數(shù)集中，方程也是無解的在整數(shù)集中，加法、減法和乘法總可以實(shí)施，但是，除法只能解決整除的問題，為此引入分?jǐn)?shù)，數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集.根據(jù)以上的分析，你知道在有理數(shù)集中方程為什么會(huì)無解嗎？要想有解，該怎么辦？學(xué)生：在有理數(shù)集中，加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不為0）總可以實(shí)施.但是，開方的結(jié)果可能不是有理數(shù)，所以方程無解為此引入無理數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集教師：那么在實(shí)數(shù)集中所有的運(yùn)算都能實(shí)行了嗎？學(xué)生：四則運(yùn)算都能實(shí)行，開方只能對(duì)非負(fù)數(shù).三、

5、總結(jié)數(shù)集擴(kuò)充的規(guī)律教師：現(xiàn)在我們回頭反思一下數(shù)的發(fā)展歷程，看看能不能從中獲得一些啟示：（1）每一次對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充時(shí)，是如何解決矛盾的？學(xué)生：新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的（2）數(shù)集擴(kuò)充之后，有沒有影響到原有的運(yùn)算及性質(zhì)？學(xué)生：沒有.教師：對(duì)，具體得說，將自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集的時(shí)候，我們添加了負(fù)數(shù)，那么新引進(jìn)的負(fù)數(shù)可以與原來的自然數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，而且原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立；將整數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集時(shí)，新引進(jìn)的分?jǐn)?shù)可以與原來的整數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，而且加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.那么，將有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的時(shí)候，你們能類似的表述一下嗎？學(xué)生：新引進(jìn)的無理數(shù)可以與原來的有

6、理數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，而且原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立教師：為什么不提減法和除法的運(yùn)算性質(zhì)？學(xué)生：因?yàn)闇p法、除法可以分別轉(zhuǎn)化為加法和乘法.教師：很好！也就是說，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，新添加的數(shù)可以與原來的數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.簡(jiǎn)單概括，即“運(yùn)算照舊”. 教師：綜上所述，“引進(jìn)新數(shù)”和“運(yùn)算照舊”可以看成是數(shù)集擴(kuò)充時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)基本原則.四、擴(kuò)充數(shù)系教師：回到剛才解方程的話題，數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，是不是所有的方程都有解了呢？學(xué)生：不對(duì)教師：在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常遇到一元二次方程無解的情況，其中最簡(jiǎn)單的一個(gè)無解的一元二次方程是x2+1=0. 教師：新的矛盾出現(xiàn)了，回

7、頭看實(shí)數(shù)集中的運(yùn)算，其實(shí)只是部分解決了開方運(yùn)算，說明實(shí)數(shù)集也不夠用了，如何解決？學(xué)生：再對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充（引進(jìn)新數(shù)）教師：（也即進(jìn)行數(shù)系的擴(kuò)充）那么如何再對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行合理地?cái)U(kuò)充呢？這是我們這節(jié)課要研究的核心問題. 在剛才的分析過程中我們發(fā)現(xiàn)研究數(shù)集常常和相應(yīng)運(yùn)算聯(lián)系在一起，所以我們把一個(gè)數(shù)集連同相應(yīng)的運(yùn)算及結(jié)構(gòu)叫做一個(gè)數(shù)系，所以，我們今天研究的課題是數(shù)系的擴(kuò)充（板書課題）教師：現(xiàn)在我們把目光再聚焦在這個(gè)一元二次方程上x2+1=0類似無解的一元二次方程還有很多，比如x2+2=0, x2+3=0等等.教師：要想這些方程有解，關(guān)鍵是負(fù)數(shù)有平方根就行了可是有很多負(fù)數(shù)，怎么辦？教師：我們發(fā)現(xiàn)一般的-a

8、= a （-1），（a 0），所以，關(guān)鍵還是方程x2 = -1有解，你打算怎么辦？學(xué)生:引進(jìn)一個(gè)新數(shù)教師：很好！大數(shù)學(xué)家歐拉也是這么想的，他把這個(gè)數(shù)記為i，該字母源于英文單詞“imaginary”的第一個(gè)字母，是“假想的、虛構(gòu)的”意思，在數(shù)學(xué)里，我們稱之為虛數(shù)單位教師：根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原則，你認(rèn)為應(yīng)該給i做哪些合理的規(guī)定? 先個(gè)人思考，然后再相互交流學(xué)生：為解決矛盾，應(yīng)規(guī)定：i2 = -1；為了“運(yùn)算照舊”，應(yīng)規(guī)定：實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，而且進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.教師：板書虛數(shù)單位及規(guī)定.引入虛數(shù)單位“i”，并規(guī)定：（1）i2=-1（2）實(shí)數(shù)可以和i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)

9、行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.教師：引進(jìn)新數(shù)i后方程x2=-1的解是什么呢？學(xué)生：i.教師：既然實(shí)數(shù)可以和i進(jìn)行四則運(yùn)算，3可以加i嗎？可以減嗎？可以乘嗎？即有3+i , 3i等數(shù).你還能寫出其他含有的i數(shù)嗎？（學(xué)生討論，交流）教師：你能寫出一個(gè)統(tǒng)一形式，把剛才寫出來的數(shù)都包含在內(nèi)嗎？學(xué)生：a+bi（a，bR）教師：很好！這些數(shù)都由兩個(gè)部分復(fù)合而成，一部分是實(shí)數(shù)，另一部分是實(shí)數(shù)與虛數(shù)單位的乘積，所以我們給它們?nèi)∫粋€(gè)很形象的名字復(fù)數(shù)我們就把a(bǔ)+bi（a，bR）稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.由所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集，用C表示，該字母來源于英文單詞complex.教師：a+bi（a，bR

10、）能表示實(shí)數(shù)嗎？學(xué)生：若虛部為零，此時(shí)它就是實(shí)數(shù)；若虛部不為零，就把a(bǔ)+bi（a，bR）稱為虛數(shù).板書：當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，z是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b0時(shí)，z叫做虛數(shù)，特別地，當(dāng)a =0且b0時(shí)，z =bi叫做純虛數(shù).問題：引進(jìn)復(fù)數(shù)后，復(fù)數(shù)集C與實(shí)數(shù)集R之間的關(guān)系是什么？學(xué)生： 教師：現(xiàn)在已知復(fù)數(shù).若，則復(fù)數(shù)為何關(guān)系？反之成立嗎？板書：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等.五、反饋練習(xí)教師：學(xué)以致用，下面我們通過幾條題目來鞏固一下今天學(xué)習(xí)的知識(shí)概念鞏固判別下列復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？如果是虛數(shù)，則判斷它們是否為純虛數(shù)，并說明其實(shí)部和虛部.，.追問1：有沒有可能和前面的某個(gè)復(fù)數(shù)相等？為什么？追問2：能否和相等？若能，你能求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)a的值嗎？備用練習(xí)練習(xí)1 實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù)？ (2)虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？練習(xí)2 已知，求實(shí)數(shù)x，y的值.六、課堂小結(jié)教師：下面請(qǐng)同學(xué)回憶歸納一下今天這節(jié)課所學(xué)到的知識(shí)學(xué)生：（1）數(shù)系的擴(kuò)充過程、擴(kuò)充的必要性和擴(kuò)充的規(guī)則；（2）復(fù)數(shù)的基本概念；（3）復(fù)數(shù)相等的條件.教師：今天，我們一節(jié)課就已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的