全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽B題

1、個人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),勿作商業(yè)用途2018年全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽B題 華為公司合作命題)功率放大器非線性特性及預(yù)失真建模一、背景介紹.問題引入信號的功率放大是電子通信系統(tǒng)的關(guān)鍵功能之一，其實(shí)現(xiàn)模塊稱為功率 放大器PA, Power Amplifier ),簡稱功放。功放的輸出信號相對于輸入信 號可能產(chǎn)生非線性變形，這將帶來無益的干擾信號，影響信信息的正確傳遞 和接收，此現(xiàn)象稱為非線性失真。傳統(tǒng)電路設(shè)計(jì)上，可通過降低輸出功率的 方式減輕非線性失真效應(yīng)。b5E2RGbCAP功放非線性屬于有源電子器件的固有特性，研究其機(jī)理并采取措施改善， 具有重要意義。目前已提出了各種技術(shù)來克服改善功放

2、的非線性失真，其中 預(yù)失真技術(shù)是被研究和應(yīng)用較多的一項(xiàng)新技術(shù)，具最新的研究成果已經(jīng)被用 于實(shí)際的產(chǎn)品 如無線通信系統(tǒng)等)，但在新算法、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度、計(jì)算速度、 效果精度等方面仍有相當(dāng)?shù)难芯績r值。p1EanqFDPw本題從數(shù)學(xué)建模的角度進(jìn)行探索。若記輸入信號 x(t),輸出信號為z，t 為時間變量，則功放非線性在數(shù)學(xué)上可表示為 z=G(x)，其中g(shù)為非線性 函數(shù)。預(yù)失真的基本原理是：在功放前設(shè)置一個預(yù)失真處理模塊，這兩個模 塊的合成總效果使整體輸入-輸出特性線性化，輸出功率得到充分利用。原 理框圖如圖1所示。DXDiTa9E3d圖1預(yù)失真技術(shù)的原理框圖示意個人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),勿作商業(yè)用

3、途其中X和Z的含義如前所述，y為預(yù)失真器的輸出。設(shè)功放輸入-輸出傳 輸特性為G(),預(yù)失真器特性為F(),那么預(yù)失真處理原理可表示為 RTCrpUDGiTz(t) =G(y(t) =G(F(x(t) =G F(x(t) = L(x(t)1G-F =L表示為G(相F()的復(fù)合函數(shù)等于L(線性化則要求z(t) = L(x(t) = g x(t)2)式中常數(shù)g是功放的理想“幅度放大倍數(shù)”1)。因此，若功放特性G()已知，則預(yù)失真技術(shù)的核心是尋找預(yù)失真器的特性F(),使得它們復(fù)合后能滿足 5PCzVD7HxA(G F)(x(t) =L(x(t) =g x(t)3)如果測得功放的輸入和輸出信號值，就能擬

4、合功放的特性函數(shù)G(然后利用3)式，可以求得F( I.功放的非線性模型由于各類功放的固有特性不同，特性函數(shù) G(嗟異較大，即使同一功放, 由于輸入信號類型、環(huán)境溫度等的改變，其非線性特性也會發(fā)生變化。根據(jù) 函數(shù)逼近的 Weierstrass定理，對解讀函數(shù)G(x)總可以用一個次數(shù)充分大的 多項(xiàng)式逼近到任意程度，故可采用計(jì)算簡單的多項(xiàng)式表示非線性函數(shù)。 jLBHrnAILg如果某一時刻的輸出僅與此時刻的輸入相關(guān)，稱為無記憶功放，其特性 可用多項(xiàng)式表水為K4z(t) =、 hk xk k 土個人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),勿作商業(yè)用途式中K表示非線性的階數(shù) 即多項(xiàng)式次數(shù))，諸 鼠為各次哥的系數(shù)。在

5、函數(shù)逼 近理論中，z(t)是用函數(shù)組 x0，x，x2,x3,|, xK生成的K+1維空間里的這組基的線 性組合表示，用函數(shù)空間的一組正交函數(shù)基軌(x)域的線性組合表示則性能 更佳、計(jì)算更方便，故4)亦可用正交基等其它方式表示。xHAQX74J0X如果對功放輸入x(t)/輸出z進(jìn)行離散采樣后值為分別為x(n) / z(n)采樣 過程符合Nyquist采樣定理要求)，則4)可用離散多項(xiàng)式表示如下 LDAYtRyKfEKz(n)- hkxk(n) =hx(n) h2x2(n) | hKxK(n)9n=0,12川，N。5)如果功放的某一時刻輸出不僅與此時刻輸入有關(guān)，而且與此前某一時間段的輸入有關(guān)，則稱

6、為有記憶功放。對 5)式增加記憶效應(yīng)，可以寫為：Zzz6ZB2LtkK Mz(n) = 、 hkmxk (n - m) = h/n) hhx(n -1)h x(n - M ) k m&h2x2(n) h21x2(n T)h2Mx2(n -M)+ + . . .hK0 xK (n) hxK (n T) . hKM xK (n。M )n =0,1,2,I,N6)式中M表示記憶深度，諸 小為系數(shù)。具有記憶效應(yīng)的功放模型也可以用更一 般的Volterra級數(shù)12表示，由于Volterra級數(shù)太復(fù)雜，簡化模型有 Wiener、Hammersteint等34。由于常用復(fù)值輸入-輸出信號，6)也可 表示為便

7、于計(jì)算的“和記憶多項(xiàng)式”模型 dvzfvkwMI1K M是一類特殊的函數(shù)方程，求 解的理論方法因具體問題而定，而工程上常采取數(shù)值計(jì)算，用最小化目標(biāo)誤 差函數(shù)的方法，求得近似的F(目標(biāo)誤差函數(shù)的選取和判斷準(zhǔn)則因建模方 法而異，總體原則是使預(yù)失真和功放的聯(lián)合模型呈線性后誤差最小。rqyn14ZNXI本題探索中，預(yù)失真處理建模還需考慮以下 2個約束條件：預(yù)失真處理的“輸出幅度限制”。由于功放的輸入幅度需保持在一定范 圍，過大的值會導(dǎo)致飽和溢出，因此，本題的建模中限定預(yù)失真處理的輸出 幅度不大于所給出的功放輸入幅度最大值。 EmxvxOtOco預(yù)失真處理加載后，盡可能使功放的輸出“功率最大化”。為了充

8、分發(fā)揮功放的作用，預(yù)失真處理模型的建立必需考慮盡可能使功放的信號平均輸 出功率最大，因此預(yù)失真處理后的輸出幅度 來表征 計(jì)算精度，其表達(dá)式為6ewMyirQFLNAv |z(n) -z(n) |2NMSE =1010glo2 I z(n) |2n 1定義為誤差矢量信號平均功率的均方根和參照信號平均功率的均方根的比值，以百分?jǐn)?shù)形式表示。 如果用X表示理想的信號輸出值，e表示理想輸出與整體模型輸出信號的誤 差，可用EVM置量整體模型對信號的幅度失真程度。y6v3ALoS899)二、請研究的幾個問題：在上述提供的背景材料以及自行查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，請你們的 團(tuán)隊(duì)研究下列問題。要求寫出計(jì)算的過程、注明所用的優(yōu)化方法、解釋選擇 中間參數(shù)的理由、并附上所用的程序 :1433- 1440lzq7IGf02ERaviv Raich,et al. Orthogonal Polynomials for Power AmplifierModeling and Predistorter Design. IEEE Trans. Vehicular technology, 2004,53(5:1468-1479zvpgeqJ1hkDennis R.Morgan et al.A Generalized Memory Polynomial Model for Digital Predistor