留數(shù)定理及其在積分中的運(yùn)用

1、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文數(shù)定理及其在積分中的運(yùn)用(Residue theorem and the use in the Calculus )姓 名：劉 燕學(xué)號(hào)：0507010122學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息、科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：一指導(dǎo)老師：易才鳳（教授）完成時(shí)間：2009年*月*日數(shù)定理及其在積分中的應(yīng)用【摘要】本文首先在預(yù)備知識(shí)中介紹了復(fù)函數(shù)積分，并介紹了留數(shù)的計(jì)算 方法等。在此基礎(chǔ)上，我們敘述并證明了本文的主要內(nèi)容一留數(shù)定理，并得到留 數(shù)定理的推廣。然后利用留數(shù)定理探討分析學(xué)中的積分計(jì)算問(wèn)題，并利用積分技 巧得到它們的一般計(jì)算方法和公式，進(jìn)而更簡(jiǎn)捷的解決了分析學(xué)中積分的計(jì)算問(wèn) 題.【

2、關(guān)鍵詞】解析孤立奇點(diǎn)留數(shù)留數(shù)定理AbstractResidue theorem and the use in the CalculusThis paper, we first introduce the prior knowledge of complexfunction Calculus, and introduce the method of calculating the residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article-the Residue theorem,an

3、d the promotion of the Residue theorem .This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems.Residue theorem【Key words】

4、Analysis Isolated singular point Residue目錄1引言2預(yù)備知識(shí)2.1復(fù)積分2.2解析函數(shù)極點(diǎn)及留數(shù)2.3留數(shù)的計(jì)算方法3留數(shù)定理3.1留數(shù)定理3.2留數(shù)定理的證明3.3留數(shù)定理的推廣4應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算積分4.1復(fù)積分的計(jì)算4.2實(shí)積分的計(jì)算5參考文獻(xiàn)6致謝1引言眾所周知，在數(shù)學(xué)分析以及實(shí)際應(yīng)用中，往往要計(jì)算一些定積分或反常積分. 而這些積分中被積函數(shù)的原函數(shù)，有時(shí)不能用初等函數(shù)表示出來(lái)，或者即使可以 求出原函數(shù)，如果用數(shù)學(xué)分析中的計(jì)算積分的方法往往十分局限而且繁瑣.因此 需要尋求新的計(jì)算方法.例如，可以考慮把實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)積分，以便利用復(fù)積 分的理論，而留

5、數(shù)定理正是這方面的重要工具.在此我們將重點(diǎn)介紹復(fù)變函數(shù)中運(yùn)用留數(shù)定理計(jì)算積分的方法.其基本思 想是：為了求實(shí)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)軸上的某一段r上的積分，我們?cè)趓上適當(dāng)附加 某一曲線使其構(gòu)成一簡(jiǎn)單閉曲線。，從而將積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的圍線積分，然 后再運(yùn)用留數(shù)定理即可解決.留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的基本概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)出的洛 朗展開(kāi)式，柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系.留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論中的重 要定理，它是復(fù)積分和復(fù)級(jí)數(shù)想結(jié)合的產(chǎn)物，在實(shí)際中有重要的應(yīng)用，特別是它 可以為積分的計(jì)算提供新的方法，對(duì)復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展起到一定的推動(dòng)作用.那么留數(shù)定理能不能計(jì)算出所有的積分呢？答案是否定的.

6、留數(shù)定理在積分 中的應(yīng)用也具有一定的局限性.通過(guò)研究留數(shù)定理及其在積分中的應(yīng)用，我們可 以更好的理解這一重要定理一節(jié)它在積分中的應(yīng)用.此外，應(yīng)用留數(shù)定理，我們還可以證明重要的輻角原理和儒歇定理等重要定 理，利用這些定理可以考察區(qū)域內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)分布情況等.2預(yù)備知識(shí)2.1復(fù)積分復(fù)變函數(shù)積分的定義定義2.1設(shè)有向曲線C :z = z(t),(以 t P)a = z 0, z1, , z 1, z = b把曲線C分成若干個(gè)孤段(如圖1)。從到zk(k = 1,2, n)的每一孤段上任取一點(diǎn).做和數(shù) kSn=W f (Q七,k=1其中&k=七-zki .當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多，而這些孤段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)，

7、如果 和數(shù)Sn的極限存在且等于J，則稱f (z)沿C (從。到b)可積，而稱J為f (z)沿 C (從。到b)的積分，并以記號(hào)J f(Z)dz表示：CJ = J f (z)dz .cC稱為積分路徑.J f (z)dz表示沿C的正方向的積分，J f (Z)dz表示沿C負(fù)方向cc的積分.如果J存在，我們一般不能把J寫(xiě)成J bf (z)dz的形式，因?yàn)镴的值不僅和a,b a有關(guān)，而且與積分路徑C有關(guān).顯然，f (z)沿曲線C可積的必要條件為f (z)沿C有界.此外，我們還有下 面可積的充分條件和計(jì)算復(fù)積分的一種表達(dá)式.定理211若函數(shù)f (x) = u(x, y) + iv(x, y)沿曲線C連續(xù)，

8、則f (z)沿C可積，vdx+udy.J f (z )dz = J udx - vdy + i Jcc c這個(gè)定理說(shuō)明，復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問(wèn)題，可以化為其實(shí)，虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí) 函數(shù)曲線積分的計(jì)算問(wèn)題.除此之外，復(fù)積分的計(jì)算方法還有很多，比如萊布尼 茲公式，柯西定理，柯西公式，以及我們后面要重點(diǎn)介紹的運(yùn)用留數(shù)定理計(jì)算復(fù) 積分等.2.2函數(shù)極點(diǎn)及留數(shù)2.2.1解析函數(shù)的極點(diǎn)定義2.2若函數(shù)f (z)在點(diǎn)z0不解析，但在z0的任一鄰域內(nèi)總有f (z)的解析，點(diǎn)，則稱z0為函數(shù)f (z)的奇點(diǎn).定義23如果函數(shù)f (z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-a:0 |z-a|R (即除 去圓心a的某圓)內(nèi)解析，點(diǎn)a是

9、f (z)的奇點(diǎn)，則稱a為f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)是解析函數(shù)的奇點(diǎn)中最重要的一種類型.以解析函數(shù)的洛朗展式為 工具，我們能夠在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)充分研究一個(gè)解析函數(shù)的性質(zhì).我們知道，如a為函數(shù)f (z)的孤立奇點(diǎn)，則f (z)在a點(diǎn)的某去心領(lǐng)域K-a內(nèi)可以展成洛朗級(jí)數(shù)f (z)=工 C (z - a) n.nn=-s實(shí)際上，非負(fù)幕部分切Cn(z-a)n表示在點(diǎn)a的鄰域K： |z-a| R內(nèi)的解析 n=0函數(shù)，故函數(shù)f (z)在點(diǎn)a的奇異性質(zhì)完全體現(xiàn)在洛朗級(jí)數(shù)的負(fù)幕部分工c (z - a)-n，其負(fù)幕部分又稱為f (z)在點(diǎn)a的主要部分.根據(jù)其主要部分的性 -nn=1質(zhì)，孤立奇點(diǎn)可分

10、為可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)及本質(zhì)奇點(diǎn)。在此我們重點(diǎn)介紹極點(diǎn).定義2.4如果f (z)在點(diǎn)a的主要部分為有限多項(xiàng)，設(shè)為m+(m-1) +1 (C。0)， (z - a) m (z - a) m-1z - a-m則稱a為f (z)的m階極點(diǎn)。一階極點(diǎn)也稱為單極點(diǎn).定理2.21如果函數(shù)f (z)以點(diǎn)a為孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是m階極點(diǎn)的特征.(1)f (z)在點(diǎn)a的主要部分為m+-(m-1)+ 1 (C。0) (z - a) m(z - a) m-1z - a-m(2)f (z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表成f (z) = z，(z - a )m其中人(z)在點(diǎn)a鄰域內(nèi)解析，且人(

11、a)莉；1(3)g(z)= 二以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)(可去奇點(diǎn)要當(dāng)做解析點(diǎn)看，只要令 f ( z )定理2.31函數(shù)f (z)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)的充要條件是lim f (z) = 8.za定理2.4函數(shù)f (z)的孤立奇點(diǎn)a為可去奇點(diǎn)的充要條件是lim f (z) = b(b 為有限數(shù)).za定理2.3函數(shù)f (z)的孤立奇點(diǎn)a為本質(zhì)極點(diǎn)的充要條件是lim f (z)不存在.za2留數(shù)如果函數(shù)f (z)在點(diǎn)a是解析的，周線C全在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)，并包圍點(diǎn)a， 則根據(jù)柯西積分定理J f (z )dz = 0.c但是，如果a是f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，且周線C全在a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，并包圍點(diǎn)a，則積分J

12、f (z) dzc的值，一般說(shuō)來(lái)，不再為零.并且利用洛朗系數(shù)公式很容易計(jì)算出它的值來(lái)。概 括起來(lái)，我們有定義2.5設(shè)函數(shù)f (z)以有限點(diǎn)a為孤立奇點(diǎn)，即f (z)在點(diǎn)a的某去心鄰域0 |z - a R內(nèi)解析，則稱積分z 一 a=p ,0 p r )1,J f (z)dz(r：| 2冗i為f (z)在點(diǎn)a的留數(shù)(residue)，記為Res f (z).z=a由柯西積分定理知道，當(dāng)0 p|中(z)|， 則函數(shù)f (z)與f (z)+中(z)在C的內(nèi)部有同樣多(幾階算作幾個(gè))的零點(diǎn)，即N (f +9, C) = N (f, C).4應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算積分4.1復(fù)積分的計(jì)算運(yùn)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的方

13、法我們將通過(guò)例題來(lái)進(jìn)行說(shuō)明:例4.1計(jì)算積分j 5z - 2 dz .f ( ) = 5 z - 2 解顯然，被積函數(shù)z 1=2 z(z - 1)2z(z -1)2在圓周|z| = 2的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z=0及二階極點(diǎn)z=1.由推論2.5及推論2.6,5 z - 2Re sf (z )= 一 z=0(z - 1)2z=0=-2 ; Resf (z) = (52)|z=1zz=1 = 2 ；故由留數(shù)定理得-57 2j |(1)d7 = 2兀i(2 + 2) = 0.例 4.2 計(jì)算積分 f (7) = jCQS 7 d7 .=1 7cos 7解f(7) = =T在圓周7 = 1的內(nèi)部只有三階極點(diǎn)

14、z=0.由定理2.4， TOC o 1-5 h z Resf(7) = ?cos7L 0 = 2 故由留數(shù)定理得=1f cos 7Lj-dz = 2冗i ( )=冗i.71=1 732I7 1= n例4.3計(jì)算積分f (7) = j tan兀7d7 (n為正整數(shù)).解 f (7) = tan 兀 7 只以7 = k + L (k = 0,1,.)為一階極點(diǎn).2由定理2.5Re sf (7)sin 冗7(cos 冗7)(k = 0,1,.).7=k +故由留數(shù)定理得j tan 丸 7 d7I7 1= n2丸i Zk 11k + b 0). a + b cos 0 0 dz .izI = j (z

15、 21)2 .1 dzIz =14 z2z2 +1a + b(一)2zizi j(z2 1)2/=J , dz2b 7 屋, 2az 1=1 z 2( z 2 + z +1)b(z2 1)2=j dz,2b z =1 z 2( z a )(z p )一 a + (a 2 b 2 a +、a 2 + b 2其中 a =；, p =為實(shí)系數(shù)二次方程z2 +四z + 1 = 0的兩個(gè)相異實(shí)根。由根與系數(shù)的關(guān)系ap = 1， b且顯然|。|國(guó)，故必|P| 1,|a| 1.于是，被積函數(shù)f (z)在|z| = 1上無(wú)奇點(diǎn)。在單位圓|z| 1內(nèi)只有一個(gè)二階極點(diǎn)z=0和一個(gè)一階極點(diǎn)z =a .則(z 21)

16、2】2aRe s_0/2a 八 z=0z =0 z 2( z 2 + bz + 1)由留數(shù)定理得例4.7計(jì)算積分Res =(z2 一1)2z=az2(z p ) z=a* i2a2 a 2 b 2 =I =-2 兀 i+ 2兀b b2 兀 r ；=a ：a2 b2 .b 2i = fcos mL de,(5 + 4cos 0 )20m為正整數(shù).解由于被積函數(shù)f (z)為偶函數(shù)，則I = jcos mede = 1 jcos med0,(5 + 4cos0 )22 (5 + 4cos 0 )20兀命 z = eiz，則 de,izj_e=j 巴.d(5 + 4cose)2zl=*5 + 2 .i

17、Zz=-1 j Sdz4i zz + 1)2(z + 2)2于是被積函數(shù)f (z)在|z| = 1內(nèi)只有一個(gè)二階奇點(diǎn)z =.2z m+1z m+1Re s ：=z=-2( z + 1)2( z + 2)2( z + 2)22由留數(shù)定理得cos me(5 + 4cos0)2兀(1) m 3 m+5 =.z=272m22.1 (1) m 3 m+5(1) m=2兀 i.=4i272m-2273 m+5-丸，2 m1I = j cos me de = 1 j cos mO de =(-1) m 3 m+5 丸T (5 + 4cose)2- 2 J (5 + 4cose)2 27 .亍 *0兀這種題型

18、主要利用被積函數(shù)是以2兀為周期的偶函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行區(qū)間轉(zhuǎn)化， 進(jìn)而進(jìn)一步利用留數(shù)定理求積分.2計(jì)算j+8些dx型積分 為了計(jì)算這種反常積分，我們先證明一個(gè)引理。-8 Q( x)它主要用來(lái)估計(jì)輔助曲線r上的積分.(圖 4.1)引理4.1 1設(shè)f (z)沿圓弧七:z = R (61 6 62, R充分大)上連續(xù)(如圖 4.1)且lim zf (z) = XR -+8于SR上一致成立(即與6 6 2; (2)在實(shí)軸上Q(z)。0，于是有j+s f (x)dx = 2兀 i Re sf (z).-SIm a z=akk例4.8計(jì)算積分I = j+sx2X(a 0).-s (x2 + a2)2解 被積函數(shù)

19、f (z)只有一個(gè)二階極點(diǎn)x = ai.且符合定理4.1的條件.而 TOC o 1-5 h z X 2,iRe sf (z) = T|=-.z=ai(x + ai)2 z=ai4a于是I = j+sdx = 2兀 i (-上)=.-s (x2 + a2)24a2a例4.9計(jì)算積分I = j +8 d (a 0).f x 4 + a 4一 .一一 一冗+2虹 .解被積函數(shù)f (z) 一共有四個(gè)一階極點(diǎn)ak = ae 4 1 (k = 0,1,2,3),且符合定理4.1 的條件.而*Re s f (z) = = (k = 0,1,2,3)z=a4z3 z=ak4akkf (z)在上半平面只有兩個(gè)極

20、點(diǎn)a 0及，于是. dx1 兀.3.I = j 心=兀i(ae 4 + ae 4 )8 x 4 + a 44a 4-1, % ,氣、兀一兀=-兀i 4(e 4 + e 4 ) = sin 3計(jì)算j+8mxdx型積分-8 Q( x)引理4.2 (若爾當(dāng)引理)1設(shè)函數(shù)g(z)沿半圓周七:z = Rei0( 000).rt+8 rr定理4.21設(shè)g(z)= 空，其中P(z)及Q(z)是互質(zhì)多項(xiàng)式，且符合條件：Q(z)Q(z)的次數(shù)比P(z)的次數(shù)高，在實(shí)軸上Q(z)。0，m 0，則有j+8g(x)eimxdx = 2兀i Resg(z)emx(4.1)-8Im 氣 0 z=a特別說(shuō)來(lái)，將(4.1)分

21、開(kāi)實(shí)虛部，就可以得到形如j+8些cos mxdx及-8 Q( x)J+8 P(x) sin mxdx 的積分. -w Q( x)由數(shù)學(xué)分析的結(jié)論可知上面兩個(gè)反常積分都存在，其值就等于柯西主值。例4.10計(jì)算積分I=j+w cosmxdx(m 0).0 1 + x 2解被積函數(shù)f (Z)為偶函數(shù)，則I=j+w cosmx dx=1 j+w cosmxdx.0 1 + x22 -w 1 + x2根據(jù)定理4.2得f+ 0S dx = 2兀 i Re 曜二=2 心=ne -m.-w 1 + x2z=i 1 + z22i于是I = j+w csmdx(m0)工 e -m.0 1 + x 22例4.11計(jì)

22、算積分I = j+w x cos xdx-w x 2 2 x + 10解 易驗(yàn)證被積函數(shù)f (z) = z 2 - 2 z +10滿足若爾當(dāng)引理的條件，這里一 ，、 zm=1, g (z)=z 2 2 z +10函數(shù)f (z)有兩個(gè)一階極點(diǎn)z = 1 + 3i及z = 1 - 3i.I=j+w cosmx dx=1 j+w osrndx.0 1 + x22 -w 1 + x2zeizRe s f (z)= z=1+3/(z2 - 2z +10)z=1+3i(1 + 3i )e -3+i6i于是 TOC o 1-5 h z x cos xdx(1 + 3i)e -3+i兀(1 + 3i )(cos1 + i sin 1)I = j+w= 2兀 i = 一 e -3-w x 2 2 x +106i3兀兀=y e -3 (cos1 一 3sin 1) + i y e -3 (3cos1 + sin 1).