概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計課件

1、量X 的概率密度函數(shù)為四、設(shè)隨求(1) a 的值;1x 0 ,2 122 F ( x) sin x 12 x , 22x 1,(3) P(0 X ) 1111F ( 4 ) F (0) (sin) (sin 0 ) 2 .42422242( x) 1 e | x |量X 的概率密度為 f,五、設(shè)隨求Y X 2解:X2fY ( y). (10分)1 的概率密度3四、已知連續(xù)型隨量X 的密度函數(shù)為求(1) A ;41 26 .(3)P(1 X 5) F (5) F (1) 1 2727(4) 在(0,3)內(nèi), y g( x ) x2單調(diào)增可導, 且其導數(shù) y 2x 0,其值域為 y (0, 9),

2、1且 h( y) 其反函數(shù)為x h( y) y ,2yyfh( y) | h( y) | f ( y) 當0 y 9時,YX18y ,0 y 9其他 f ( y) Y180,Y5四、已知連續(xù)型隨量X 的密度函數(shù)為678( y) f解:f ( x, y) dx當0 y 1時,Yy1x2y x1y 4 y 4 y3 8 y 8xydx2x 1y1xfY ( y) 0 ,0當y 0 或 y 1時, 4 y 4 y 3, 0 y 1故fY ( y ) 0 ,其他1112323412121 1) 2 f X (2) fY (2) (3) 當x , y 時,f (,2 2從而X ,Y 不是相互獨立的.9(

3、2012-2013學年概率論與數(shù)理統(tǒng)計B期終試題)七、設(shè)二維隨機向量(X,Y ) 服從區(qū)域D ( x, y) | 0 x 1, 0 y 2 x 上的均勻分布,(1)求( X ,Y )分別關(guān)于 X 和Y 的邊緣概率密度f X ( x),fY ( y);(2) 判斷 X ,Y 是否獨立, 并說明理由;(3)求P ( X 1 , Y 1 ). (10分)22解:101112( y) ff ( x, y) dx當0 y 1時,Yyx2y 4 y3 8 y 8xydx020fY ( y) 0 ,當y 0 或 y 1時,3x y 1y xy 11, 0 y 1f( y ) 4 y故Y 0 ,其他1 1(,

4、)2 2fX (1) fY (1) 0 4 0f (1,1) 8(2)從而X ,Y 不是相互獨立的.1 11 xx(3) P ( X Y 1) f ( x, y)dxdy 2 dx8 xydy60 x y1(Y )dy 2 ,(Y )dy 4 , y2 f yfE(Y 2) (4) E(Y ) YY352D(Y ) E(Y 2 ) E(Y ) .7513(2014-2015學年概率論與數(shù)理統(tǒng)計B期終試題)五、設(shè)二維隨機向量(X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為:0 x y 1其它f ( x, y) A x ,0 ,(1) 求常數(shù)A,(2) 求( X ,Y )分別關(guān)于 X ,Y 的邊緣概率密度 f X

5、( x),fY ( y),(10分)(3)求 P ( X Y 1).解:1415163.2 二維隨機向量的數(shù)字特征3.2.13.2.23.2.33.2.4二維隨機向量函數(shù)的數(shù)學期望數(shù)學期望與方差的運算性質(zhì)隨量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機向量的協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣173.2.1二維隨機向量函數(shù)的數(shù)學期望計算(2個)隨量函數(shù)的數(shù)學期望:定理: 設(shè) g( X ,Y )為隨量X ,Y 的函數(shù), 且Eg( X ,Y )存在,(1) 若( X ,Y )為離散型隨機向量, 且聯(lián)合分布律為:P( X xi ,Y y j ) pi j , (i, j 1,2,)則(2) 若(X ,Y ) 為連續(xù)型隨機向量, 且( X

6、 ,Y ) f ( x, y),則 xipi j ,( X ,Y )為離散型: EX 由上定理ijx f ( x, y) dxdy, ( X ,Y )為連續(xù)型從而由( X ,Y ) 的聯(lián)合分布可求出EX, EY , EX 2, EY 2,并進而求出 X ,Y 的期望與方差.18E g( X ,Y ) g( x, y) f ( x, y) dxdyE g( X ,Y ) g ( xi , y j ) pi jijy例題與講解( x, y) D其他例1: 設(shè)( X ,Y ) f ( x, y) 1 , 0 ,y 1x 2D求EX, DX, E( XY ).xODEX 1解:x dxdyx f (

7、x, y) dxdyx(2 2 x ) dx 1 ,2 2 x122 x01dxx dyx ydx3000022f ( x, y) dxdy EX 2 xx dxdyD12 2 xdx22 x111,x (2 2 x) dx222dxx yxdy6000001 1 ( 1 )2DX EX 2 ( EX )2,6318E( XY ) x y f ( x, y) dxdyx ydxdyD2 y 2 1 .2 2 x22 x111dxx y dyxdx60000019D : 0 x 10 y 2 2 x3.2.2數(shù)學期望與方差的運算性質(zhì)性質(zhì)1: 設(shè)隨則 E(n的期望都存在,n ) EX1 EX 2

8、EXn量E( X Y ) EX EY特別:n相互獨立, 且EXi (i 1,2, n) 都存在,性質(zhì)2: 設(shè)則 E(n ) EX1 EX 2 EXn()特別: X ,Y 相互獨立, 且 EX , EY 都存在,則 E( XY ) EX EYn相互獨立, 且DX i ( i 1,2, n) 都存在,性質(zhì)3: 設(shè)則 D(n ) DX1 DX2 DXn ()特別: X ,Y 相互獨立, 且DX , DY 都存在,則D( X Y ) DX DY20例題與講解例2:已知二維隨機向量( X ,Y )的概率分布由下表確定,判斷 (1) X 與Y 是否獨立,(2) E( XY ) (EX )(EY ) 成立嗎

9、?解: (1) 求出X 和Y 的邊緣分布:即P ( X 1,Y 1) 0.3 P( X 1) P(Y 1) 0.24故 X 和Y 不獨立.(2) E( XY ) xi y j pi jij (1) (1) 0.3 (1) 1 0.3 1(1) 0.1 11 0.1 0,EX 0.2 EX EY 0 , E( XY ) EX EY .EY 0注：此題表明了性質(zhì)2的逆命題不成立！21Y-101P0.40.20.4X-11P0.60.4YX-101pi.-10.300.30.610.10.20.10.4p. j0.40.20.43.2.3隨量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)量 X ,Y 的期望和方差都存在, 稱定

10、義:設(shè)兩個隨為X 和Y 的協(xié)方差. E( X EX )(Y EY ) E( XY X EY Y EX EX EY ) E( XY ) EX EY EX EY EX EY若( X ,Y ) 是離散型的, 且其聯(lián)合概率分布為P( X xi ,Y y j ) pi j , (i, j 1,2,)則cov( X ,Y ) ( xiEX )( y j EY ) pi jij若( X ,Y )是連續(xù)型的, 且( X ,Y ) f ( x, y),則cov( X ,Y ) (x EX)( y EY ) f ( x, y) dxdy22E( XY ) EX EYcov( X ,Y )cov(X ,Y ) E(

11、 X EX )(Y EY )cov( X , X ) DX推論1:則cov( X ,Y ) 推論3:協(xié)方差的性質(zhì):cov( X ,Y ) cov(Y , X ) cov(aX , bY ) cov( X1 X2, Y ) D ( X Y ) DX DY 2cov( X ,Y )(1)(2)(3)(4)例3: 設(shè)DX 25, DY 36, cov(X ,Y ) 18, 求D ( X 2Y ).D ( X 2Y ) DX D(2Y ) 2cov( X , 2Y ) DX 4DY 4cov( X ,Y ) 25 4 36 4 18 97.解:23定義: 設(shè)( X ,Y )為二維隨機向量,DX 0,

12、DY 0, 稱為為X 和Y 的相關(guān)系數(shù), 有時記 XY.又有 cov( X , X )DXDXDX DX特別 XX 1 . XY0, 稱X與Y 正相關(guān) 0,稱X與Y 相關(guān) 定義: 若XY若 XY 0,稱X與Y 負相關(guān)XY 0,稱X與Y 不相關(guān)結(jié)論: 若X與Y 相互獨立, 則 XY 0, 即X與Y 是不相關(guān).X與Y不相關(guān)X與Y相互獨立注意:2425例題與講解 e ( x y ) ,x 0, y 0其他f ( x, y) 例4:設(shè)( X ,Y ) 0 ,判斷 X與Y是否獨立, 是否相關(guān) .0f X ( x) e ( x y ) dyf ( x, y) dy 當x 0 時,解: e( x y ) e

13、x,0f ( x, y) dy 0 ,( x) 當x 0 時,fX e y , e xx 0其他y 0其他,fY ( y) f X ( x) 同理0 ,有 f (x, y) 0 ,fX (x) fY ( y) ,( x, y) R2從而X與Y 相互獨立, 故X與Y 不相關(guān), 即XY 0 .26例題與講解例5: 設(shè)( X ,Y ) f ( x, y) 2 x y ,0 x 1, 0 y 1其他0 ,求 .XY1解: EXy) dyx f ( x, y) dxdyd012111022(2) dx (2x x ) y dxxy 00 5 , 5 ,32 ( 3 x 2 1 x 3 )1102EYx

14、(x ) dx12431120EX 22y) dydxf ( x, y) dxdy0 (2x x 3 ) y 1 x2 y2 1112 ) dx2dx(20200EY 2 1 , 1 ,(x x 3 ) dx ( 1 x 3 1 x4 )31102442 ( EX )2420 11 , DX DY EX 214427接上頁例5: 設(shè)( X ,Y ) f ( x, y) 2 x y ,0 x, y 1其他0 ,求 .XY11EX EY 5 ,DX DY 解:,12144E ( XY ) x y f ( x, y) dxdy11xy (2 x y) dydx0102y 1 xy3 10 (2 x

15、x )2dx230 1 , ( 1 x 2 1 x 3 )23121012(x x )dx6360 E(XY ) EX EY1 XY .11DXDY283.2.4隨機向量的協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣2 , Xn ), DX i (i 1,2,)存在,定義:設(shè)n 維隨機向量 v11v1n v12 v22vn2稱n 階方陣V v21v2n 為隨機向量X 的協(xié)方差矩陣, vn1vnn cov ( X i , Xj ), (i , j 1,2, , n),其中vi j(i 1,2, n), DXi當i j 時, vi i v j i (i, j 1,2, n),且vi jV 是對稱矩陣且主對角元是各隨量的方

16、差.特別當n 2時, 二維隨機向量( X ,Y )的協(xié)方差矩陣為:.29V v11v12 DXcov( X ,Y ) v21v22 cov(Y , X )DY2 , Xn ),定義: 設(shè)n 維隨機向量X Xij i j(i, j 1,2, n)都存在, 11121n2n 為隨機向量 X 的相關(guān)矩陣,稱n 階方陣R 2122 n1n 2nn 當i j 時, i i 1 (i 1,2, n), j i (i, j 1,2, n),且i j R 是對稱矩陣且主對角元都是1.特別當n 2時,二維隨機向量( X ,Y )的相關(guān)矩陣為:.30 1112 1 XYR 1 2122 YX協(xié)差矩陣和相關(guān)矩陣可相

17、互轉(zhuǎn)換:當n = 2時, cX ,Y )ov(XYDXDY即v1212v11v22例題與講解例6: 設(shè)EX ,DX 2( 0), 且Y 3 4 X ,求( X ,Y )的協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣.DX 2 ,DY D(3 4 X ) 16DX 16 2 ,解: XY 1,Y 3 4X ,cov( X ,Y ) cov(Y , X ) XYDXDY 4 2 , (1) 4 4 2 2cov( X ,Y )DX從而協(xié)差矩陣V = 216 2 4cov( X ,Y )DY XY1 1相關(guān)矩陣R = 11 1 .1YX31例題與講解例7: 已知 ( X ,Y )的聯(lián)合分布如表, 求( X ,Y ) 的相關(guān)

18、矩陣.EX (1) 0.6 1 0.4 0.2,解: (1)2 0.6 12 0.4 1,EX 2 0.96, DX EX 2 (EX )2EY (2) 0.4 0 0.3 1 0.3 0.5,EY 2 (2)2 0.4 02 0.3 12 0.3 1.9, DY EY 2 (EY )2 1.65,E( XY ) (1)(2) 0.3 (1) 1 0.18 1(2) 0.1 11 0.12 0.34, 0.34 ( 0.2)( 0.5) 2 ,E( XY ) EX EYXY0.961.65110DXDY212110110 XY1( X ,Y )的相關(guān)矩陣R 1 . YX132XY-201pi

19、.-10.30.120.180.610.10.180.120.4p. j0.40.30.3例題與講解 122x y 1其他例8: 設(shè)( X ,Y ) f ( x, y) ,求( X ,Y )的相關(guān)矩陣. 0,y1 x2y x 1 dxdy解:EX x f ( x, y) dxdy D:x y 1221 x1O2 111 x21 x 211 0 ,dxxdy1y 1 x 2( X ,Y )ovE( XY ) EX EY E( XY )cxy f ( x, y) dxdy xy 1 dxdyDxy 1 dy 1 x 21 x2111dx 10 dx 0 , XY 0,(由前知X與Y 不獨立) 10

20、 XY1從而( X ,Y ) 的相關(guān)矩陣為R 1 0 .1 YX33例題與講解例9: 已知隨機向量( X ,Y ) 的協(xié)方差矩陣V 12 , 25 1的協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣.求隨機解: D( X 2Y ) DX 4DY 4 cov( X ,Y ) 1 4 5 4 2 29,D(2 X Y ) 4DX DY 4 cov( X ,Y ) 4 1 5 4 2 1,cov( X 2Y , 2 X Y ) 2 cov(,Y ) 4cov(Y , X ) 2cov(Y ,Y ) 2DX 2DY 3cov(X ,Y ) 2 1 2 5 3 2 2,cov( X 2Y ,2 X Y ) 22 ,X 2Y ,2

21、 X YD (X 2Y )D(2 X Y )29291 2 ,( X 2Y , 2 X Y )的協(xié)方差矩陣V = 29 21 2 1 229相關(guān)矩陣R = 29 .134向量( X 2Y , 2 X Y )二維正態(tài)分布定義: 若二維隨機向量( X ,Y )的聯(lián)合概率密度為 x 1 22 x 1 y 2 y 21 2 1 1 1 2 22 (1 2 )f ( x, y) e2 1 21 2也可記為exp ( x, y) R2其中1 , 2 , 1 , 2 , 均為常數(shù), 1 0, 2 0, | | 1 ,稱( X ,Y )服從參數(shù)為1 , 2 , 2 , 2 , 的二維正態(tài)分布,12記為( X ,Y ) N (1 , 2 , 2 , 2 , ) ,12z可以證明:f ( x, y) 0 , ( x, y) R2f ( x, y) dxdy 1.Oxy35定理: 設(shè)( X ,Y ) N (1