高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.1.1　空間向量及其線性運算

1、第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算基礎(chǔ)過關(guān)練題組一空間向量的基本概念1.下列關(guān)于空間向量的命題中,正確命題的個數(shù)是()任一向量與它的相反向量都不相等;長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量;平行且模相等的兩個向量是相等向量;若ab,則|a|b|;兩個向量相等,則它們的起點與終點相同. A.0B.1C.2D.32.下列說法正確的是(深度解析)A.若|a|=|b|,則a=b或a=-bB.若a、b為相反向量,則a+b=0C.零向量是沒有方向的向量D.若a、b是兩個單位向量,則a=b3.(2020山東煙臺高二上期中)下列命題是真命題的是()A.若分別表示空間兩

2、向量的有向線段所在的直線是異面直線,則這兩個向量不是共面向量B.AB=CD的充要條件是A與C重合,B與D重合C.若向量AB,CD滿足|AB|CD|,且AB與CD同向,則ABCDD.若兩個非零向量AB與CD滿足AB+CD=0,則ABCD4.如圖所示,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,則下列向量相等的是()A.AD與CBB.OA與OCC.AC與DBD.DO與OB題組二空間向量的加法與減法5.(2020北京第八中學(xué)高二上期中)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的運算結(jié)果為向量B1D1的是()A1D1-A1A-AB;BC+BB1-D1C1;AD-AB1+DD1;B1D1-AA1+DD

3、1.A.B.C.D.6.已知A,B,C,D為空間中任意四個點,則DA+CD-CB等于()A.DBB.ACC.ABD.BA7.已知四邊形ABCD,O為空間任意一點,且AO+OB=DO+OC,則四邊形ABCD是()A.空間四邊形B.平行四邊形C.等腰梯形D.矩形8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,則A1B=.(用a,b,c表示)題組三空間向量的數(shù)乘運算9.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AA1=a,AB=b,AD=c,N是BC的中點,用a,b,c表示A1N為()A.-a+b+12cB.-a+b+cC.-a-b+12cD.a-b+12c10.

4、(2020廣東深圳實驗學(xué)校高二上期中)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD的交點為M.設(shè)A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,則下列向量中與2B1M相等的向量是()A.-a+b+2cB.a+b+2cC.a-b+2cD.-a-b+2c11.(2020山西忻州一中高二上期中)在空間四邊形ABCD中,若BCD是正三角形,且E為其中心,連接DE,則AB+12BC-32DE-AD的化簡結(jié)果為.12.(2020浙江寧波高二上期中)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1E=14A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),則x=,y=.題組四空間向量共線、共面問題13.設(shè)a

5、,b是不共線的兩個向量,且a+b=0,R,則()A.=0B.a=b=0C.=0,b=0D.=0,a=014.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三點是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D15.(2020廣東廣州二中高二月考)已知空間任一點O和不共線的三點A,B,C,下列能得到P,A,B,C四點共面的是()A.OP=OA+OB+OCB.OP=13OA+13OB+13OCC.OP=-OA+12OB+12OCD.以上都不對16.有下列說法:若p=xa+yb,則p與a,b共面;若p與a,b共面,則p=xa+yb;若MP=xMA+y

6、MB,則P,M,A,B共面;若P,M,A,B共面,則MP=xMA+yMB.其中正確的是()A.B.C.D.17.已知點P和不共線的三點A,B,C四點共面且對于空間任意一點O,都有OP=2OA+OB+OC,則=.18.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+k,若a,b,c三個向量共面,則實數(shù)等于.19.如圖,點M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求證:向量MN,CD,DE共面.20.如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E,F分別是B1C1,C1D1的中點,求證:E,F,B,D四點共面.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練

7、1.B零向量與它的相反向量相等,錯;由相等向量的定義知,正確;兩個向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,錯;ab,可能兩個向量模相等而方向不同,錯;兩個向量相等,是指它們方向相同,大小相等,向量可以在空間自由移動,故起點和終點不一定相同,錯.故選B.2.B若|a|=|b|,則它們的方向相同時是相等向量,方向相反時是相反向量,還有可能方向既不相同,也不相反,A錯;若a、b為相反向量,則它們的和為零向量,B對;零向量的方向是任意的,C錯;兩個單位向量只是模都為1,方向不一定相同,D錯.故選B.方法歸納在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中對應(yīng)的概

8、念完全相同;由于向量是由其大小和方向兩方面確定的,因此解答空間向量有關(guān)概念問題時,要抓住這兩點;零向量是一個特殊向量,其方向是任意的,且與任意向量都共線,這一點說明共線向量不具備傳遞性.3.D因為空間中任意兩向量平移之后都可以共面,所以空間中任意兩向量均共面,選項A是假命題;由AB=CD知,|AB|=|CD|,且AB與CD同向,但A與C,B與D不一定重合,選項B是假命題;因為空間向量不能比較大小,只能對向量的長度進(jìn)行比較,因此也就沒有ABCD這種寫法,選項C是假命題;因為AB+CD=0,所以AB=-CD,即AB與CD共線,故ABCD,選項D是真命題.故選D.4.D因為AB=DC,所以四邊形AB

9、CD是平行四邊形,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及相等向量的定義知,DO=OB,AD=BC,OA=CO,故選D.5.CA1D1-A1A-AB=AD1-AB=BD1,錯;BC+BB1-D1C1=BC+CC1-D1C1=BC1+C1D1=BD1,錯;AD-AB1+DD1=B1D+DD1=B1D1,對;B1D1-AA1+DD1=B1D1-DD1+DD1=B1D1,對.故選C.6.DDA+CD-CB=DA+BD=DA-DB=BA.7.B由已知可得AB=DC,由相等向量的定義可知,四邊形ABCD的一組對邊平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形,故選B.8.答案b-a-c解析如圖,A1B=CB-CA1=CB-C

10、A-CC1=b-a-c.9.AN是BC的中點,A1N=A1A+AB+BN=-a+b+12BC=-a+b+12AD=-a+b+12c.故選A.10.AB1M=B1B+BM=B1B+12(BA+BC)=c+12(-a+b),所以2B1M=2c-a+b,故選A.11.答案0解析延長DE,交BC于點F,則F為BC的中點,12BC=BF,32DE=DF,AB+12BC-32DE-AD=AB+BF+FD+DA=0.12.答案1;14解析AE=AA1+A1E=AA1+14A1C1=AA1+14(AB+AD),x=1,y=14. 13.A若0,則a=-b,與已知a,b不共線矛盾,故=0,同理=0,故選A.14

11、.A因為BC+CD=BD=2a+4b=2(a+2b)=2AB,所以A,B,D三點共線.15.B若點P,A,B,C共面,設(shè)OP=xOA+yOB+zOC,則x+y+z=1,滿足條件的只有B,故選B.16.C若a,b共線,由p=xa+yb知p一定與a,b共面,若a,b不共線,則滿足共面定理,p與a,b共面,對;同理對;若p與a,b共面,且a,b共線,則不一定有p=xa+yb,故不對;同理不對,故選C.17.答案-2解析對于空間不共線的三點A,B,C和點P,若四點共面,則對空間任意一點O,都有OP=xOA+yOB+zOC,其中x+y+z=1,所以=-2.18.答案657解析若向量a,b,c共面,則存在x,yR,使得a=xb+yc,2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+k),2=-x+7y,-1=4x+5y,3=-2x+y,解得=6