二元函數(shù)概念極限連續(xù)課件

1、二元函數(shù)概念、極限、連續(xù)北京師范大學(xué)珠海分校2004.12.23歐陽順湘改編自網(wǎng)上材料第1頁，共51頁。2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性第2頁，共51頁。（1） (直線上的)鄰域回憶第3頁，共51頁。（1）（平面上的）鄰域第4頁，共51頁。（2）區(qū)間開區(qū)間閉區(qū)間開區(qū)間與閉區(qū)間的區(qū)別第5頁，共51頁。（2）區(qū)域例如，即為開集內(nèi)點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)：開集：開集.第6頁，共51頁。邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn).外點(diǎn)：第7頁，共51頁。第8頁，共51頁。常見集合第9頁，共51頁。1維、2 維空間實(shí)數(shù) x一一對應(yīng)數(shù)軸點(diǎn). 數(shù)組 (x, y)實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間)一一對應(yīng)平面點(diǎn)

2、(x, y) 全體表示平面(二維空間)第10頁，共51頁。 A與B的卡氏積（Cartesian Product）卡氏集 第11頁，共51頁。無邊和有邊的矩形（長方形）區(qū)域第12頁，共51頁。連通：連通的.第13頁，共51頁。第14頁，共51頁。開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如，例如，閉區(qū)域：第15頁，共51頁。常見開區(qū)域、閉區(qū)域第16頁，共51頁。常見開區(qū)域、閉區(qū)域第17頁，共51頁。推廣到多維第18頁，共51頁。n 維空間實(shí)數(shù) x一一對應(yīng)數(shù)軸點(diǎn). 數(shù)組 (x, y)實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間)一一對應(yīng)平面點(diǎn)(x, y) 全體表示平面(二維空間)數(shù)組 (x, y, z)一一對應(yīng)空間點(diǎn)(x

3、, y, z) 全體表示空間(三維空間)推廣：n 維數(shù)組 (x1, x2, , xn)全體稱為 n 維空間，記為第19頁，共51頁。n 維空間中兩點(diǎn)間距離公式 設(shè)兩點(diǎn)為特殊地，當(dāng) n =1, 2, 3時，便為數(shù)軸、平面、空間兩 點(diǎn)間的距離n 維空間中鄰域概念：區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義第20頁，共51頁。對于點(diǎn)集 E，如果存在正數(shù) K，使一切點(diǎn) PE 與某一點(diǎn) A 間的距離 |AP| 不超過 K，即對于一切點(diǎn) PE 成立，則稱 E 為有界點(diǎn)集。否則稱為無界點(diǎn)集.有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域例如，第21頁，共51頁。二元函數(shù)定義問題提出第22頁，共51頁。一 問題的提出觀察幾個例子

4、例1 理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強(qiáng)P成反比，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出（其中R是比例常數(shù)） 例2 三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出這兩個例子的實(shí)質(zhì)是依賴于多個變量的函數(shù)關(guān)系。第23頁，共51頁。（5）一元函數(shù)的定義回憶第24頁，共51頁。類似地可定義三元及三元以上函數(shù)點(diǎn)集 D 定義域， 值域.x、y 自變量，z 因變量.函數(shù)的兩個要素:定義域、對應(yīng)法則.第25頁，共51頁。與一元函數(shù)相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.例1 求 的定義域解所求定義域?yàn)榈?6頁，共51頁。（6）二元函

5、數(shù) 的圖形（如下頁圖）第27頁，共51頁。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第28頁，共51頁。y.oxz.旋轉(zhuǎn)拋物面第29頁，共51頁。第30頁，共51頁。二元函數(shù)的極限第31頁，共51頁。二元函數(shù)的極限的直觀定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn) 的某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義. 如果當(dāng)點(diǎn) P(x,y) 無限趨近于 時，函數(shù) f(x,y) 無限趨近與一個常數(shù) A，則稱當(dāng) P(x,y) 時，f(x,y) 以 A 為極限，記作第32頁，共51頁。二元函數(shù)的極限的記號 第33頁，共51頁。二元函數(shù)的極限的數(shù)學(xué)定義(epsilon-delta) 用數(shù)學(xué)語言將下面的語句嚴(yán)格化第34頁，共51頁。例2 求證 證當(dāng) 時

6、，原結(jié)論成立第35頁，共51頁。說明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似（4）二重極限的幾何意義： 0，P0 的去心 鄰域 U(P0, )。在U(P0, )內(nèi)，函數(shù)的圖形總在平面及之間。第36頁，共51頁。注意： 是指 P 以任何方式趨于P0 .一元中多元中第37頁，共51頁。確定極限不存在的方法：第38頁，共51頁。例3 設(shè)第39頁，共51頁。例3 設(shè)解但取其值隨 k 的不同而變化。不存在故第40頁，共51頁。例3 設(shè)解 教材中解法第41頁，共51頁。例4 求解第42頁，共51頁。二元函數(shù)的連續(xù)性第43頁，共51頁。二元函

7、數(shù)的連續(xù)性則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù).第44頁，共51頁。二元函數(shù)的連續(xù)性定義3第45頁，共51頁。函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性如果函數(shù) f(x,y) 在其定義域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) f(x,y) 在 D 上連續(xù). 直觀上，區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)的圖形是區(qū)域 D 上的一張無孔無縫的連續(xù)曲面第46頁，共51頁。函數(shù)的間斷和間斷點(diǎn)如果函數(shù) f(x,y) 在點(diǎn) (x_0, y_0) 處不連續(xù)，就稱函數(shù)在點(diǎn) (x_0,y_0) 處間斷，點(diǎn)(x_0, y_0) 稱為間斷點(diǎn)。第47頁，共51頁。例如，因此，第48頁，共51頁。閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的