【土木建筑】鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論3課件

1、第三章 穩(wěn)定問題的近似解法為什么要近似求解？非等截面構(gòu)件壓力沿軸線變化的構(gòu)件具有變系數(shù)的平衡微分方程壓桿的彈塑性屈曲問題近似求解方法：能量法、瑞利里茲法、迦遼金法、有限差分法、有限積分法、有限元法等。第1頁，共45頁。3-1 能量法1）幾個基本概念保守系統(tǒng)：體系由平衡位置1變化到平衡位置2時，力系（包括內(nèi)力和外力）做的功僅與始末位置有關(guān)，而與中間過程無關(guān)的系統(tǒng)。能量守恒：如果貯存在結(jié)構(gòu)體系中的應(yīng)變能等于外力所做的功，則該保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，此謂之能量守恒。能量準(zhǔn)則：當(dāng)一保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，其總勢能的一階變分為0。第2頁，共45頁?？偰芰浚和饬菽軆?nèi)力勢能、應(yīng)變能一階變分： 勢能駐值原理外

2、力勢能增量內(nèi)力勢能增量二階變分：為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，此時總勢能最小為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)為隨遇平衡狀態(tài)第3頁，共45頁。2）彈性直桿的總勢能表達式以直桿狀態(tài)為參考狀態(tài)（總勢能為0狀態(tài)），求微彎后總勢能表達式應(yīng)變能第4頁，共45頁。外力勢能總勢能E、P和I可能不是常數(shù)，P(x)、I(x)不可拿到積分號之外。第5頁，共45頁。3）勢能駐值原理當(dāng)作用著外力的結(jié)構(gòu)體系，其位移有微小變化而總的能量不變，即總勢能有駐值時，則該結(jié)構(gòu)體系處于平衡狀態(tài)，此即為勢能駐值原理。表達為： 其中：外力勢能內(nèi)力勢能外力作功第6頁，共45頁。例：現(xiàn)考查如下結(jié)構(gòu)上端B點具有彈簧鉸rB、抗側(cè)移彈簧kB；下端A點具有彈簧鉸rA。當(dāng)由(

3、a)直桿狀態(tài)過渡到(b)微彎狀態(tài)時，體系的應(yīng)變能為：外力勢能為：第7頁，共45頁。則總勢能為：利用勢能駐值原理（即總勢能一階變分為0）利用分部積分和邊界條件 可知上式第一項和第二項分別為：第8頁，共45頁。將上二式代入 得由于y(l)、y(0)、y(l)、y均為邊界上不為0的任意值，所以上式等于0的條件為其系數(shù)衡等于0：第9頁，共45頁。前三項為邊界上的彎矩和橫向剪力，即自然邊界條件；而第四項為平衡方程；可見勢能駐值與平衡方程等價；第10頁，共45頁。結(jié)論：很多復(fù)雜結(jié)構(gòu)很難建立平衡方程，這時可先寫出總勢能表達式，令其一階變分為0，即可得到平衡方程；可以假設(shè)構(gòu)件的撓曲線函數(shù)，（必須滿足幾何邊界條

4、件），將其代入總勢能表達式，通過一階變分為0，求解屈曲荷載，這就是著名的瑞利里茲法（Rayleigh,L., Ritz, W.）；如果假設(shè)的撓曲線函數(shù)既符合構(gòu)件的幾何邊界條件，又符合自然邊界條件，也可直接利用(4)式求解屈曲荷載，這就是著名的迦遼金法（Galerkin, B.G.）。第11頁，共45頁。3-2 瑞利里茲法假定滿足幾何邊界條件的撓曲線為：ai待定系數(shù)；fi(x)滿足邊界條件的函數(shù)(至少滿足幾何邊界條件)；可見撓曲線y為一個泛函（函數(shù)的函數(shù)）。將y的表達式代入總勢能表達式中總勢能表達為系數(shù)ai的函數(shù)。使用勢能駐值原理 ，可寫成：第12頁，共45頁。a1、a2、a3不能同時為0，則可

5、得到：第13頁，共45頁。給出幾種滿足幾何邊界條件的常用撓曲函數(shù)第14頁，共45頁。一般取前一、二項就有良好精度第15頁，共45頁。例題1，如圖所示變截面懸臂柱，求其軸心受壓臨界承載力（在工業(yè)廠房中常用此結(jié)構(gòu)形式）第16頁，共45頁。根據(jù)前面表格，設(shè)撓曲線方程為： 滿足y(0)0，y(0)=0應(yīng)變能：代入y，并分步積分得：第17頁，共45頁。應(yīng)變勢能或外力功：代入y，并分步積分得：則總勢能為：第18頁，共45頁。利用勢能駐值原理：討論如下：如果利用平衡微分方程求解，精確解為 誤差僅為1.25。第19頁，共45頁。若變形函數(shù)只取一項y=a f (x)時，即只有一個參變量a時，可以證明：能量法結(jié)果

6、偏高。 因為撓曲函數(shù)與真是變形不完全相符，相當(dāng)于對真實桿件人為添加了若干橫向水平約束，提高了壓桿的抗失穩(wěn)能力。第20頁，共45頁。例題2，連續(xù)變截面桿件，假設(shè)忽略腹板的存在。求解其臨界力。 下部截面I1、h1已知，其它截面特征為：第21頁，共45頁。解：（1）用靜力平衡方程求解： 變系數(shù)的微分方程，很難求解。（2）用能量法求解： 首先根據(jù)邊界條件選用合適的變形曲線第22頁，共45頁。若選用的變形曲線只有一個參變量，則：為了方便求解，令m0.5，則h2/h1=0.5，即I2=0.25I1。設(shè)撓曲線為：第23頁，共45頁?？梢婋m然變形曲線中的參數(shù)a是未知的，最后也沒有求出a的具體數(shù)值，但確通過此方

7、法求出了臨界力。第24頁，共45頁。3-3 迦遼金法(Galerkin, B. G.)迦遼金法直接利用勢能駐值原理中的平衡微分方程求解，不再需要寫出總勢能表達式。但這樣做的前提是撓曲線必須既滿足幾何邊界條件，又同時滿足自然邊界條件。由前面可知平衡微分方程為：令： 則： (1) (x1,x2更適于普遍情況)第25頁，共45頁。設(shè)位移函數(shù)其一階變分為： (2)將(2)代入(1)式由于a1、a2、an都為不等于0的微小的任意值，而(1)式是恒等式，故：第26頁，共45頁。上式稱為迦遼金方程組，是關(guān)于ai的聯(lián)立方程組。如果是無常數(shù)項的齊次方程組，可以通過系數(shù)行列式為0，得到屈曲荷載。如果是有常數(shù)項的齊

8、次方程組，則可解得ai，從而得到近似的撓曲線、最大撓度、彎矩等等。第27頁，共45頁。例1。用迦遼金法確定如圖所示受均勻變化的軸向壓力作用的懸臂構(gòu)件的屈曲荷載。解：為積分方便建立如圖所示的坐標(biāo)系。(1) 假設(shè)撓曲線為一次項時：第28頁，共45頁。上式符合幾何邊界條件y(0)=0, y(l)=v, y(l)=0；上式也滿足自然邊界條件y(0)=0。根據(jù)隔離體(c)建立平衡方程：迦遼金方程為：第29頁，共45頁。把y代入到L(y)，并代入到上述方程，并積分得：v不為0，故可求得：如果用平衡法利用Bessel函數(shù)可得精確解為(ql)cr=7.837EI/l2。故近似解稍大5.9。第30頁，共45頁。

9、(2) 改用撓曲線為二次項時：這樣迦遼金方程組為：把y代入到L(y)，并代入到上述方程，并積分得：第31頁，共45頁。這是一組齊次方程式，有解的條件是其系數(shù)行列式為0解得(ql)cr=7.838EI/l2 ，與精確解幾乎一致?？梢姄锨€由一項改為兩項時效果就十分顯著。第32頁，共45頁。3-4 有限元法Finite Element Method (FEM)通用程序有很多：Algor, Sap, Ansys, Adina, Abaqus, Nastran, CFD等等是目前較為常用的數(shù)值解法，適用于用計算機對復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行求解可以分為平面模型、空間模型等可以使用不同單元求解不同問題，如梁柱單元

10、、殼體單元、實體單元、索單元等等分析時可以考慮線性、幾何非線性、材料非線性等第33頁，共45頁。有限元法的基本思路和過程如下：選擇適合的單元形式把結(jié)構(gòu)或構(gòu)件劃分成若干單元（網(wǎng)格）建立單元節(jié)點位移和內(nèi)力的關(guān)系,通常以矩陣形式表示(使用能量法或平衡方程)將單元組合成原系統(tǒng)(單剛總剛)求解線性或非線性方程組得到結(jié)構(gòu)荷載位移曲線、屈曲荷載等以單元節(jié)點位移為未知量利用邊界條件使用直接求解法或迭代法第34頁，共45頁。例：受軸向力作用的平面梁柱單元 (單元在局部坐標(biāo)系中變形前后如圖)第35頁，共45頁。桿端內(nèi)力以矩陣形式(列向量)表示為： 1、3剪力，2、4彎矩與桿端內(nèi)力對應(yīng)的位移為：桿端內(nèi)力與位移之間存

11、在如下關(guān)系：如何建立單元剛度矩陣K是問題的關(guān)鍵下面根據(jù)能量法建立單元剛度矩陣第36頁，共45頁。單元內(nèi)部應(yīng)變能：內(nèi)外力對單元做功：根據(jù)UW得： （1）用一個三次拋物線代替單元撓曲線（形狀函數(shù)）內(nèi)力q引起軸力P引起第37頁，共45頁。單元兩端幾何邊界條件為：利用上述條件求出變形曲線中的a，b，c，d后，代回到變形曲線中去，得到變形曲線為：第38頁，共45頁。變形曲線的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為：第39頁，共45頁。由此可得：將上式代入（1）中可得單元剛度矩陣為：其中：無軸向力時梁單元剛度矩陣第40頁，共45頁。則單元剛度矩陣可以表達為：利用邊界條件，形成結(jié)構(gòu)整體剛度方程后：可以對上式求解，得到節(jié)點變形

12、，及單元內(nèi)部各點變形（內(nèi)力等）?？紤]軸力作用的幾何剛度矩陣第41頁，共45頁。有關(guān)討論：幾何剛度矩陣kg與P、l有關(guān)；而ke與EI、l有關(guān)，與P無關(guān)。方程q=k這時還不能求解，應(yīng)為單元剛度矩陣是奇異的，只有引入邊界條件后才能求解。當(dāng)結(jié)構(gòu)由若干單元構(gòu)成時，還應(yīng)根據(jù)單元間變形和內(nèi)力協(xié)調(diào)條件，集合成總剛k總。求結(jié)構(gòu)屈曲荷載時，利用能量法，令|k總|=0，可得到一個關(guān)于P的方程，從而求解，這種方法又稱為特征值法；如果外荷載已知，可以求出此時的結(jié)構(gòu)變形。本節(jié)所講內(nèi)容只是針對平面梁柱單元，其它單元的求解方法和原理類似，只是剛度矩陣有所不同。第42頁，共45頁。3-5 有限積分法將在下一章結(jié)合壓彎構(gòu)件彈塑性

13、屈曲進行介紹。第43頁，共45頁。肚松衯宸&愮鐝D)? $?d悡!餯怉扈鋹A嘬貑d?噡1/2019騫寸15鏈?-CRM鍦氱敤.files/imgr_logo.gif冣杁9/ERP鏂噡1/2019騫寸15鏈?-CRM鍦氱敤.files/logo.gif冟?A/ERP鏂噡1/2019騫寸15鏈?-CRM鍦敤.files/logo_compute.gif冡?疘1/ERP鏂噡1/2019騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/ 9/ERP鏂噡1/2019騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/0830.gif冧塖阇8/ERP鏂噡1/2019騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/4-2.gif冨篰飁/

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