2022年《信號(hào)分析與處理》備課教案2

1、上次課回憶：1介紹了“ 差分方程” 經(jīng)典解法的基本思路、規(guī)章和求解方法,總結(jié)了 具體的求解過(guò)程和步驟,并舉例進(jìn)行了求解演示；2介紹了“ 沖激響應(yīng)” 和“ 單位樣值響應(yīng)” 的基本概念和實(shí)質(zhì),對(duì)“ 單 位樣值響應(yīng)” 的求解基本思路、規(guī)章和求解方法進(jìn)行了具體說(shuō)明,總結(jié)了具體的求解過(guò)程和步驟,并舉例進(jìn)行了求解演示；上次課“ 摸索題” ：1在上次課例題中求系統(tǒng)的“ 零狀態(tài)響應(yīng)”時(shí),能否用y3 y 4 0作為 “ 零狀態(tài)響應(yīng)意義下”的初始條件來(lái)求解待定系數(shù)；2在上次課例題中求系統(tǒng)的“ 沖激響應(yīng)”時(shí),求解C 和 1C 能否用 2h 0 1和h 10作為初始條件來(lái)求解？能否用h 1y 2 0作為初始條件來(lái)求解

2、？2.5. 卷積積分基本思想 ：在時(shí)域中,為便于求得線性時(shí)不變LTI 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 的“ 零狀態(tài)響應(yīng)”,可以考慮將任意信號(hào)分解為單元信號(hào),假如每一個(gè)單元信號(hào)在 系統(tǒng)中產(chǎn)生的 零狀態(tài)響應(yīng) 易于求得, 那么依據(jù)系統(tǒng)的 “ 線性時(shí)不變”特性,就可以利用疊加原理便利求得原信號(hào)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的 零狀態(tài)響應(yīng) ,這就是 卷積積分方法的基本思想；依據(jù)這一基本思想,一般可以將任意鼓勵(lì)信號(hào)分解為沖擊信號(hào)之和,然后利用系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)（就是沖擊信號(hào)鼓勵(lì)系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)）,就可 以便利地求得系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)；一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分 1、信號(hào)的時(shí)域分解問(wèn)f1t？P tP t由此可見(jiàn),對(duì)于類似于f 1t這樣的

3、矩形脈沖信號(hào),只要它的寬度與信號(hào)的寬度相同,那么總有：f1 tAP t在0的極限情形下,n變?yōu)?變?yōu)?d,而P tn就變成tnf . t tf,原式也變?yōu)榉e分式：tnlim 0tlim 0nfnftd上式說(shuō)明, 時(shí)域里任一函數(shù) f t 可以近似地分解為一系列矩形窄脈沖之和,并且當(dāng)上述矩形窄脈沖的脈寬趨于無(wú)限小時(shí),f t 實(shí)質(zhì)上已經(jīng)可認(rèn)為是分解為一系列沖激函數(shù)之和,以積分形式進(jìn)行描述說(shuō)明,時(shí)域里任一函數(shù)ft就等于 該函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積；2、任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)3、卷積積分的定義上式說(shuō)明：對(duì)于一給定線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),它的零狀態(tài)響應(yīng)y f t ,可以通過(guò)該系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h t 與

4、鼓勵(lì)信號(hào) f t 的卷積運(yùn)算求得；例 已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng) h t e t t ,系統(tǒng)的鼓勵(lì)為單位階躍信號(hào) f t t ,試求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y f t ；鼓勵(lì) f t 響應(yīng) yf t = .h t e t t 解：y f t f t h t e t t d,留意積分變量為；由于,0時(shí), 0；而 t 時(shí),t 0,因此積分限應(yīng)為：0 t,故 y f t 為 t t t t ty f t e t d 0 e d 0 e e de t te d 1 1 e t t 0二、卷積積分的圖解法卷積是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算,利用圖解法可以使其運(yùn)算關(guān)系形象直觀,便于懂得；知道了兩個(gè)卷積信號(hào)的圖形,可以利用

5、圖解法直接求出其卷積值；設(shè)有兩函數(shù) f 1t 和 f 2t ,其圖形分別如圖 a,b 所示；假設(shè) f 1t 與f 2t 的卷積為 f t , 就有：f t f 1 t f 2 t f 1 f 2 t d留意：t 為參變量,積分變量為；在進(jìn)行圖解運(yùn)算前第一將 f 1t 和 f 2t 變換為 1f 和 2f ,它們與原始信號(hào)波形完全相同,只是橫坐標(biāo)變?yōu)椋粸榍蟮萌我?t 時(shí)刻的卷積值,圖解方法的卷積過(guò)程可分解為 如下六步 ：（1）換元 ： t 換為 得到 1f 和 2f ,如圖 a ；（2）反褶 ：將 2f 以縱軸為對(duì)稱軸進(jìn)行反褶 得到 2f ,如圖 b ；（3）平移 ：將 2f 自左向右平移 t

6、得到 f 2t ,如圖 c ；（4）相乘 ：1f 與 f 2t 相乘；波形重疊有值, 不重疊為零, 如圖 d ；（5）積分 ：1f 與 f 2t 乘積曲線下的面積即為 t 時(shí)刻的卷積值,見(jiàn)圖d 中的陰影部分；（6）繪圖 ：以 t 為橫坐標(biāo),將與 t 對(duì)應(yīng)的積分值繪成曲線,就是卷積積分ftf1 tf2t的圖形,如圖 e 所示；三、卷積積分的重要性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算,它有很多重要的性質(zhì) 或運(yùn)算規(guī)章 ,敏捷 地運(yùn)用它們能簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算； 下面爭(zhēng)論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）；、卷積代數(shù)特性、奇特函數(shù)的卷積特性1f tt 1tt 0tf tf ttftt0tt 1t 2f tttt0ft2f

7、 ttft2tt2ftt 1ff tt ttdfd3f t tf、卷積的微積分特性1dnf1 ttf2tddn f 1 dt ntf 1f2ttf 1 tdn f 2 dt nttf2ddtn2f 1fdf2ttt2f 1t3f tf1f2tf 11 tf 21 df1ttf2ddt解：由于,f1 tf2ttf 1 1tf 21tdf 1ttf2dttdt所以,f 1 1t t2 f 21 tt2edtt 0edt2et 0t1eft1e1et故,f1 ttt2總結(jié) ：求解 卷積的方法 可歸納為：（1）利用定義式,直接進(jìn)行積分 指數(shù)函數(shù),多項(xiàng)式函數(shù)等；對(duì)于簡(jiǎn)單求積分的函數(shù)比較有效；如（2）圖解法 ；特殊適用于求某時(shí)刻點(diǎn)上的卷積值；（3）利用性質(zhì) ；比較敏捷；三者經(jīng)常結(jié)合起來(lái)使用；要求 ：P40 例2-14 、P42 例2-15 摸索題：1卷積積分用于時(shí)域分析的本質(zhì)是什么？2到現(xiàn)在為止,求解線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的“ 零狀態(tài)響應(yīng)” 有幾種 方法？它們分別在什么情形下使用？預(yù)習(xí)內(nèi)容： P46“ 卷積和“ ,具體內(nèi)容包括：1“ 卷積和“ 的基