6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1 課件-山東省滕州市第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

1、6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（一）新課引入 思考：用一個(gè)大寫有英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？上述問(wèn)題中,最重要的特征是“或”字的出現(xiàn):每個(gè)座位可以用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字編號(hào).由于英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字各不相同,因此用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也是各不相同的.因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè),阿拉伯?dāng)?shù)字09共有10個(gè),所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼.探究：你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎?你能舉一些生活中類似的例子嗎?計(jì)數(shù)問(wèn)題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過(guò)列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問(wèn)題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率

2、不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類； (2)分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；(3)各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).學(xué)習(xí)新知一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理： 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nm+n種不同的方法.注意：兩類不同方案中方法互不相同例題講評(píng)例1.在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,兩所大學(xué)各有自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如右:那么,這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種?分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”，因?yàn)檫@名

3、同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為N=5+4=9.探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？問(wèn)題2. 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4 班,

4、汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?解析: 從甲地到乙地有3類方法, 第一類方法, 乘火車, 有4種方法;第二類方法, 乘汽車, 有2種方法;第三類方法, 乘輪船, 有3種方法; 所以 從甲地到乙地共有4+2+3= 9種方法。 完成一件事情，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+m種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理 2）首先要根據(jù)具體的問(wèn)題確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，在分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，然后對(duì)每類方法計(jì)數(shù).1）各類方案之間相互獨(dú)立,都能獨(dú)立的完成這

5、件事，要計(jì)算方法種數(shù),只需將各類方案方法數(shù)相加,因此分類計(jì)數(shù)原理又稱加法原理學(xué)習(xí)新知其特點(diǎn)是各類中的每一個(gè)方法都可以完成要做的事情，它強(qiáng)調(diào)的是每一類中的一個(gè)方法就可以完成要做的事情練習(xí)：在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？【解】：按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8765432136(個(gè))例題講評(píng)變式:在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？學(xué)習(xí)新知思考:用前6個(gè)大寫英文字母和19九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A

6、1, A2,B1,B2,的方式給教室里的座位編號(hào),總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼?分析：這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問(wèn)題的要求不同，在前一問(wèn)題中，用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.而在這個(gè)問(wèn)題中,號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成,得到一個(gè)號(hào)碼必須經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母,后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟.用右圖的方法可以列出所有可能的號(hào)碼.右圖是解決計(jì)數(shù)間題常用的樹(shù)形圖.請(qǐng)你用樹(shù)形圖列出所有可能號(hào)碼.我們還可以這樣來(lái)思考:由于前6個(gè)英文字母的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼,而且它們各不相同,因此

7、共有69=54個(gè)不同的號(hào)碼.學(xué)習(xí)新知上述問(wèn)題中,最重要的特征是“和”字的出現(xiàn): 一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成,因此得到一個(gè)號(hào)碼必須經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母,后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟.每個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的.一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=mn種不同的方法.注意：無(wú)論第1步采用哪種方法，與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù)。例題講評(píng)例2.某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：要完成的一件事是“選男

8、生和女生各1名”， 可以分兩個(gè)步驟：第1步，選男?。坏?步，選女生.解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N=3024=720第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法，學(xué)習(xí)新知探究 如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要n個(gè)步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟:做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的

9、方法.那么完成這件事共有N=m1 m2 mn種不同的方法.2）首先要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，然后對(duì)每步方法計(jì)數(shù).1）各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理學(xué)習(xí)新知分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理: 針對(duì)的是分類問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理: 針對(duì)的是分步問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法互相依存,只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事.例題講評(píng)例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本

10、不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法？(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？分析：(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；(2)要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個(gè)步驟完成解：(1)從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為N=4+3+2=9(2)從書架的第1層、第2層、

11、第3層各取1本書，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為N=432=24.例題講評(píng)例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法？分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成。解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成： 第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法； 第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法， 根據(jù)分步

12、乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為N=32=6.例題講評(píng)例5給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母AG或UZ,后兩個(gè)字符要求用數(shù)字19,最多可以給多少個(gè)程序模塊命名？分析：要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符，而首字符又可以分為兩類，解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13.后兩個(gè)字符從19中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是1399=1053,即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.你還能給出不同的解法嗎？例6.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的

13、通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)，因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成。(1)1個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？(2)計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？例題講評(píng)分析：(1)要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”，由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表

14、不同的字符因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；(2)只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可解：(1)用右圖表示1個(gè)字節(jié). 1個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是22222222=28=256.(2)由（1)知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是256256=65536這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)

15、表示.7名學(xué)生中有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，另2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋，現(xiàn)從中各選1人同時(shí)參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？變式訓(xùn)練解：第一類：從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理N1326(種)第二類：從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理N2326(種)第三類：從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理N3224(種

16、)第四類：從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中各選1名參加圍棋比賽和象棋比賽，有N42(種)綜上，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同選法共有NN1N2N3N4664218(種)例7. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為44444= 種 .（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5555= 種 .例題講評(píng)1、某教學(xué)樓有四個(gè)不同的

17、樓梯，3名學(xué)生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？2、有4名同學(xué)要爭(zhēng)奪3個(gè)比賽的冠軍，冠軍獲得者共有多少可能？3、四封信投入三個(gè)信箱，有多少種投法？4、某公共汽車上有10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有多少種？鞏固提高4343345105、75600有多少個(gè)正約數(shù)? 有多少個(gè)奇約數(shù)?解:由于 75600=243352775600的每個(gè)約數(shù)都可以寫成的形式,其中, 于是,要確定75600的一個(gè)約數(shù),可分四步完成,即i,j,k,l分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)值,這樣i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5432=120個(gè).1如果完成一件事有兩類方案,這兩類方案彼此之間是相互獨(dú)立的,無(wú)論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計(jì)數(shù)原理2如果完成一件事需要分成多個(gè)步驟,各個(gè)步驟都是不可缺少的,需要依次完成所有步驟,才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟有若干種不同的方法,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理方法總結(jié)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決具體問(wèn)題時(shí)，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時(shí)