Mean-CVaR大類資產(chǎn)配置框架與實(shí)戰(zhàn)

1、引言如何控制投資組合風(fēng)險(xiǎn)，并提供不同風(fēng)險(xiǎn)-收益特征的投資組合是資產(chǎn)管理領(lǐng)域研究的重點(diǎn)。隨著近年來(lái)投顧業(yè)務(wù)、固收加產(chǎn)品等業(yè)務(wù)的快速發(fā)展，對(duì)大類資產(chǎn)配置的需求加大，基金管理者需要提供具有不同風(fēng)險(xiǎn)收益特征的組合以匹配不同風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的投資者。但這有個(gè)很重要的問(wèn)題，風(fēng)險(xiǎn)收益匹配是我們的目標(biāo)，但現(xiàn)實(shí)可能存在的情況是，我們認(rèn)為的低風(fēng)險(xiǎn)不一定低風(fēng)險(xiǎn)，很可能出現(xiàn)收益低而風(fēng)險(xiǎn)不低的情況。很多特定目標(biāo)下的組合，只是特定目標(biāo)下模型的解，真正的風(fēng)險(xiǎn)收益情況可能跟設(shè)定的目標(biāo)不一樣，存在風(fēng)險(xiǎn)收益不匹配的情況。目前，被廣泛采用的方法是通過(guò)限制風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置比例來(lái)控制風(fēng)險(xiǎn)。以養(yǎng)老基金領(lǐng)域?yàn)槔琌ECD 報(bào)告顯示在 104 個(gè)

2、國(guó)家中，僅有 9 個(gè)國(guó)家的養(yǎng)老基金沒有對(duì)資產(chǎn)配置比例作出限制。Halim（2010）的研究發(fā)現(xiàn)許多養(yǎng)老基金確實(shí)報(bào)告了與風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)的其他指標(biāo)，例如在險(xiǎn)價(jià)值（VaR）或波動(dòng)率，但這僅僅是一種事后的評(píng)估 (Duarte, 2017)，這些指標(biāo)并沒有事前參與到構(gòu)建投資組合的過(guò)程中。綜合前面的問(wèn)題，我們需要重點(diǎn)考慮風(fēng)險(xiǎn)用什么方法度量更合理、目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)與實(shí)際得到組合的風(fēng)險(xiǎn)是不是一致這兩個(gè)問(wèn)題。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置比例并不是控制風(fēng)險(xiǎn)的最佳方案，實(shí)證研究表明，通過(guò)限制資產(chǎn)配置比例來(lái)控制風(fēng)險(xiǎn)，最終得到的結(jié)果與目標(biāo)相去甚遠(yuǎn)，且組合收益非常不穩(wěn)定。極端情況下，限制資產(chǎn)配置比例不僅不能控制風(fēng)險(xiǎn)，反而限制了基金經(jīng)理通過(guò)改變資產(chǎn)配置

3、避免損失的能力，是一個(gè)缺乏效率的管理方式。下面以智利固定繳款計(jì)劃 (defined contribution, DC)養(yǎng)老金AFP 體系為例，說(shuō)明用資產(chǎn)配置比例來(lái)控制風(fēng)險(xiǎn)存在重大缺點(diǎn)，案例來(lái)自第一個(gè)參考文獻(xiàn)。自 2002 年起，智利的養(yǎng)老金體系由 A,B,C,D,E 五種基金組成，A 基金的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)最高，E 基金的期 望收益和風(fēng)險(xiǎn)最低。這些基金可以投資于六類資產(chǎn)，分別為：海外股票、智利股票、海外公司債、智利公司債、智利國(guó)債、智利貨幣市場(chǎng)工具，而監(jiān)管者則通過(guò)控制不同基金投資于這六類資產(chǎn)的比例來(lái)控制風(fēng)險(xiǎn)?；诠善?市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)高于債券市場(chǎng)和海外市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)高于國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的假設(shè)，監(jiān)管者設(shè)定的投資于股票的

4、比例上限從基金 A 到 基金 E 依次降低，投資于債券的比例上限則正好相反，從 A 至 E 逐次升高?；?A 的投股比例必須介于 40%- 80%之間，而E 的投股比例僅為 0%-5%；基金A 的債券比例必須介于 20%-60%，E 的債券比例為 95%-100%。若 養(yǎng)老金繳納者沒有專門指定基金風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，機(jī)構(gòu)會(huì)根據(jù)他們的年齡選擇默認(rèn)的投資計(jì)劃，年輕人的養(yǎng)老金投資 于風(fēng)險(xiǎn)較高的基金，年長(zhǎng)者養(yǎng)老金則投資于風(fēng)險(xiǎn)較低的基金，如下表所示。表1： 智利養(yǎng)老金默認(rèn)投資計(jì)劃Fund TypeMen up to 35 years.Men between 36 and 55 years. WomenMen o

5、ver 56 years. Women over Women up to 35 yearsbetween 36 and 50 years51 years, retireesFund A Riskiest Fund B RiskyFund C IntermediateFund D Conservative Fund E Most conservative資料來(lái)源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?通過(guò) 2006 年-2014 年的歷史數(shù)據(jù)來(lái)考察 AFP

6、(pension fund administrators)基金的表現(xiàn)。首先是五類基金在 9 年間的幾個(gè)核心指標(biāo)：平均收益率，中位數(shù)收益率，收益率標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率，如表 2 和圖 2 所示?？梢钥吹剑骄找媛实呐判驖M足rA rB rC rD rE ，與管理者設(shè)定的基金目標(biāo)相符。風(fēng)險(xiǎn)方面，盡管基金 A 到基金 E 的標(biāo)準(zhǔn)差也逐次降低，但夏普比例顯示出這五種基金經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益率相差較大。表2： 2006-2014 年 AFP 基金業(yè)績(jī)核心指標(biāo)FundAFundBFundCFundDFundEMean6.625.815.434.964.73Median10.057.464.995.435.08S

7、tandard Deviation0.220.160.110.070.03Sharpe Ratio0.310.350.490.731.68資料來(lái)源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes? 圖1： 2006-2014 年 AFP 基金在自然年的年化收益率資料來(lái)源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?以上的數(shù)據(jù)和分析

8、都是基于自然年，即假設(shè)每一年從一月持有基金至十二月，得到該年的收益率，2006- 2014 年共得到 9 個(gè)一年期收益率。在實(shí)際情境中，每個(gè)月都有新的養(yǎng)老金進(jìn)入基金，每筆資金的投資期限也各不相同，因此更合理的比較方法是考慮不同的開始月份和不同的持有期。定義“K 年移動(dòng)窗口”為包含12 K個(gè)連續(xù)月份的數(shù)據(jù)區(qū)間，從而我們得到在給定月份投資了某種基金并持有 K 年的投資者最終實(shí)現(xiàn)的收益。例如當(dāng) K=1 時(shí)，我們可以從 2006-2014 的數(shù)據(jù)中提取出 97 個(gè)“1 年移動(dòng)窗口”，從而得到 97 個(gè)年收益率，即我們不僅考慮從 1 月到 12 月，還將考慮從 2 月到次年 1 月，以此類推。圖 2 顯

9、示了K=1 時(shí)，五種基金的表現(xiàn)，平均收益率的排序結(jié)果與圖 1 類似。但當(dāng)我們單獨(dú)觀察 97 個(gè)期間的表現(xiàn)時(shí)，只有 46.4%的情況下，五種基金收益率排序滿足rA rB rC rD rE 。 圖2： 1 年移動(dòng)窗口下 AFP 基金的累計(jì)收益率資料來(lái)源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?鑒于養(yǎng)老基金一般為中長(zhǎng)期投資，我們將窗口長(zhǎng)度放寬，考慮更長(zhǎng)的持有期。5 年移動(dòng)窗口（每個(gè)期間包含 60 個(gè)月）和 8 年移動(dòng)窗口的結(jié)果分別如圖 3、圖 4 所示?？梢钥吹?/p>

10、，在 5 年移動(dòng)窗口下，整體的排序結(jié)果反轉(zhuǎn)為rE rD rC rB rA ；若單獨(dú)考慮每個(gè)期間，有 78%的情況違反了正確的順序，53%的情況下排序完全反轉(zhuǎn)。8 年移動(dòng)窗口更甚，所有期間的累計(jì)收益率排序都反轉(zhuǎn)為rE rD rC rB rA 。圖3： 不同寬度移動(dòng)窗口下 AFP 基金的累計(jì)收益率5 年移動(dòng)窗口8 年移動(dòng)窗口資料來(lái)源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?雖然 1 年移動(dòng)窗口下的結(jié)果符合預(yù)期，但在養(yǎng)老基金的投資語(yǔ)境下，5 年或更長(zhǎng)的窗口更貼合

11、實(shí)際情況。若一個(gè)投資者選擇了 A 基金并打算持有八年以獲得較高的收益，然而基于以上分析，不管他在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)投資基金，他所獲得的收益將低于其他任意四種基金。由此可見，通過(guò)限制資產(chǎn)配置比例來(lái)控制風(fēng)險(xiǎn)并不能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。于是，我們需要用一個(gè)新的指標(biāo)來(lái)控制風(fēng)險(xiǎn)。CVaR 是從風(fēng)險(xiǎn)值(value at risk, VaR) 基礎(chǔ)上發(fā)展出的一種風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法。VaR 是用概率統(tǒng)計(jì)估計(jì)金融風(fēng)險(xiǎn)的方法, 指在未來(lái)一定時(shí)期內(nèi), 在給定的概率置信水平下, 一種金融工具或投資組合潛在的最大損失。CVaR 作為一種可選的風(fēng)險(xiǎn)度量, 具有比 VaR 更良好的特性 (Artzner 1999)。Pflug (2000)證

12、明了 CVaR 滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性及傳遞不變性, 是一個(gè)一致性的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法。在基金投資領(lǐng)域，CVaR 是比資產(chǎn)配置比例更優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)控制方法。首先，對(duì)于每個(gè)投資組合，它僅僅需要一個(gè)參數(shù)（CVaR 上限），而限制資產(chǎn)配置比例需要兩個(gè)參數(shù)（上限和下限）。其次，CVaR 方法可以構(gòu)造兼具穩(wěn)定性和區(qū)分度的風(fēng)險(xiǎn)收益特征的投資組合。另外，直接控制 CVaR 與基金的中長(zhǎng)期投資目標(biāo)匹配，將重點(diǎn)放在控制某個(gè)周期內(nèi)的損失不超過(guò)特定閾值而非控制短期波動(dòng)。我們使用各資產(chǎn)大類下的指數(shù)構(gòu)建投資組合，并用 CVaR 作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度動(dòng)態(tài)調(diào)整最優(yōu)權(quán)重，來(lái)考察不同參屬下的資產(chǎn)配置方案業(yè)績(jī)表現(xiàn)。Mean-CVaR 資產(chǎn)配

13、置模型Mean-CVaR 優(yōu)化組合構(gòu)建假設(shè)我們有 N 個(gè)資產(chǎn)類別，并從每個(gè)資產(chǎn)類別中選擇一個(gè)代表指數(shù)。令x = (x 1, x 2, xn )為組合中每個(gè) 指數(shù)的權(quán)重，權(quán)重為正且和為 1。r = (r1,r2,rn )為各指數(shù)收益率組成的隨機(jī)向量。同時(shí)，假設(shè)我們可以獲取 N 個(gè)指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)。CVaR 方法的關(guān)鍵在于解除資產(chǎn)配置的一切限制（除了各權(quán)重大于 0 且權(quán)重之和為 1）。給定組合收益率rT x ，我們通過(guò)直接加以風(fēng)險(xiǎn)限制r (rT x ) g 來(lái)控制組合風(fēng)險(xiǎn)，其中g(shù) 為風(fēng)險(xiǎn)上限， r 為風(fēng)險(xiǎn)度量。本模型中，選用 CVaR 作為風(fēng)險(xiǎn)度量。優(yōu)化問(wèn)題如下：maximizewrxsubje

14、ct toCVaR a r x ge x = 1x 0其中r為估計(jì)的收益率向量， x 為投資于各指數(shù)的權(quán)重，e 為 1 組成的 n 維向量。如上構(gòu)造的投資策略是一種主動(dòng)型的被動(dòng)策略(aggresive-passive)，被動(dòng)體現(xiàn)在通過(guò)投資指數(shù)布局各個(gè)資產(chǎn)大類，主動(dòng)體現(xiàn)在每一期調(diào)整各指數(shù)的投資權(quán)重。通過(guò)選擇不同的g 值，我們可以構(gòu)造出具有不同風(fēng)險(xiǎn)-收益特征的投資組合。在上文智利養(yǎng)老金 AFP 體系的例子中，若以 90% CVaR 為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度構(gòu)造最優(yōu)組合，選取過(guò)去三年中六種資產(chǎn)指數(shù)的一個(gè)月滾動(dòng)年度收益率數(shù)據(jù)，解最優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)建最優(yōu)組合并持有 1 年，得到的 9 年累計(jì)收益率（2006-2014）與

15、 CVaR 閾值的關(guān)系如圖 4 所示。藍(lán)線可視為模型的 Mean-CVAR 風(fēng)險(xiǎn)收益前沿，每一個(gè) CVaR 閾值g 都對(duì)應(yīng)一個(gè)動(dòng)態(tài)組合的累計(jì)收益率。可以看到藍(lán)線在大部分時(shí)候是單調(diào)遞增的，且與A,B,C,D,E 基金皆有交點(diǎn)。說(shuō)明在 2006-2014 年期間，對(duì)每種基金都存在一個(gè)閾值g ，使得被動(dòng)投資組合能獲得與主動(dòng)投資基金一樣的累計(jì)收益。此外，A-E 基金對(duì)應(yīng)的 值并非單調(diào)的，說(shuō)明 A-E 組合風(fēng)險(xiǎn)情況并不是預(yù)想的那樣符合風(fēng)險(xiǎn)單調(diào)遞減的規(guī)律，從另一個(gè)角度印證了限制資產(chǎn)配置比例無(wú)法按照預(yù)期想法控制風(fēng)險(xiǎn)。 圖4： CVaR 最優(yōu)組合 9 年累計(jì)收益率與 CVaR 閾值的關(guān)系資料來(lái)源：Can as

16、set allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DCpension schemes?下圖是我們構(gòu)建的 Mean-CVAR 組合前沿和不同類型基金類別的交點(diǎn)情況，從貨幣基金、債券基金、混合基金這三個(gè)類別來(lái)看，確實(shí)是風(fēng)險(xiǎn)越高收益越高。從這個(gè)圖可以看出來(lái)，日頻 CVAR 區(qū)間大概在 0-0.035，轉(zhuǎn)化為半年窗口期下，最大值大概是 0.4，所以這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)設(shè)置過(guò)大會(huì)失去意義。 圖5： CVaR 組合 3 年累計(jì)收益率與 CVaR 閾值的關(guān)系（2018-04-01 至 2021-03-31） 資料來(lái)源：Mean-CVaR

17、 組合構(gòu)建與回測(cè)模型參數(shù)設(shè)置為了避免破壞閱讀完整性，上文優(yōu)化算法的求解方法，見本文最后的第六部分。模型算法準(zhǔn)備好后，需要確定基礎(chǔ)資產(chǎn)、參數(shù)估計(jì)方法、參數(shù)估計(jì)的歷史區(qū)間長(zhǎng)度等問(wèn)題，本節(jié)主要闡述模型的計(jì)算準(zhǔn)備。選取下面指數(shù)來(lái)代表各大類資產(chǎn)表3： 大類資產(chǎn)指數(shù)選取資產(chǎn)大類指數(shù)名稱指數(shù)代碼國(guó)內(nèi)股票滬深 300中證 500創(chuàng)業(yè)板指000300.SH000905.SH399006.SZ國(guó)內(nèi)債券中債國(guó)債中債信用債CBA00601.CSCBA03001.CS商品南華綜合NH0100.NHF黃金上金所 AU9999AU9999.SGE港股恒生指數(shù)HSI.HI美股標(biāo)普 500SPX.GI資料來(lái)源：調(diào)倉(cāng)規(guī)則設(shè)置季度

18、調(diào)倉(cāng)，計(jì)算的歷史數(shù)據(jù)取過(guò)去 125 天數(shù)據(jù)。每季度末，選取最近過(guò)去 125 個(gè)交易日的日收益率數(shù)據(jù)，利用基于 CVaR 約束的平均收益最大化優(yōu)化模型，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，并利用優(yōu)化算法求解出最優(yōu)組合權(quán)重并進(jìn)行調(diào)倉(cāng)，其數(shù)學(xué)原理請(qǐng)見本文第六部分。平均收益率估計(jì)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)是資產(chǎn)組合的平均收益率，對(duì)于平均收益率的估計(jì)，我們采用指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均，原因闡述如下。n 日簡(jiǎn)單移動(dòng)平均：窗口期內(nèi)各收益率權(quán)重相等。SMAt= rt + rt -1 + rt-n +1nn 日指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均：窗口期內(nèi)各收益率權(quán)重不等，呈指數(shù)衰減。yt-n +1 = rt-n +1yt = art + (1 - a)yt-1

19、利用遞歸，易得：n-1rt + (1 - a)rt-1 + (1 - a)rt-n +1EMAt =n-11 + (1 - a) + + (1 - a)其中， a 為權(quán)重衰減系數(shù)?？梢钥吹?，當(dāng)0 a 1 時(shí)，越早的觀測(cè)權(quán)重越小，且權(quán)重呈指數(shù)衰減。通過(guò)給最新的觀測(cè)分配更大的權(quán)重，指數(shù)移動(dòng)平均擁有更快的響應(yīng)速度和更強(qiáng)的實(shí)時(shí)性，從而更好地把握收益上漲帶來(lái)的盈利機(jī)會(huì)。以滬深 300 指數(shù)為例，圖 1 展示了 2010-2021 期間滬深 300 指數(shù)的歷史平均、125 天簡(jiǎn)單移動(dòng)平均和 125 天指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均，其中權(quán)重衰減系數(shù)a 取2n + 1，n 為窗口長(zhǎng)度 125?？梢钥吹?，歷史簡(jiǎn)單平均過(guò)于平

20、滑無(wú)法體現(xiàn)收益的波動(dòng)性，SMA 雖然可以體現(xiàn)收益率的趨勢(shì)但是較為滯后，相比之下 EMA 對(duì)數(shù)據(jù)有更快的響應(yīng)，能更好地捕捉收益上漲的盈利機(jī)會(huì)。 圖6： 滬深 300 指數(shù)三種平均對(duì)比資料來(lái)源：風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)設(shè)置在構(gòu)造優(yōu)化組合時(shí)輸入的日頻收益率數(shù)據(jù)絕對(duì)值較小，不便于直接設(shè)定 CVaR 閾值，因此我們通過(guò)設(shè)定整個(gè)窗口期的 CVaR 并利用不同周期的轉(zhuǎn)換公式得到單日的 CVaR。具體地，假設(shè)組合每日收益服從獨(dú)立同方差的分布，則有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：nn-day CVaR = 1-day CVaR 我們將整個(gè)窗口期（125 天）的 CVaR 閾值分別設(shè)為 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5，則對(duì)應(yīng)單日

21、CVaR 閾值分別為1251251251251250.1， 0.2， 0.3， 0.4， 0.5。由于這一步的目的只是為了方便設(shè)定閾值，故收益的獨(dú)立同方差性無(wú)需嚴(yán)格滿足，不會(huì)影響優(yōu)化結(jié)果?；販y(cè)結(jié)果取過(guò)去 125 交易日數(shù)據(jù)用上述全部 9 個(gè)資產(chǎn)大類指數(shù)作為基礎(chǔ)資產(chǎn)構(gòu)造組合，季度調(diào)倉(cāng)，回測(cè)區(qū)間為 2011.09 至 2021.05，不同CVaR 閾值下的組合收益結(jié)果展示如表 2 和圖 2 所示。表4： 全資產(chǎn) Mean-CVaR 組合收益結(jié)果（不同 CVaR 閾值下組合，下同）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%162%274%339%277

22、%266%年化收益率5%10%14%16%14%14%夏普比0.241.341.111.020.780.69年化波動(dòng)率23%8%13%16%18%20%最大回撤47%11%20%29%34%38%資料來(lái)源： 圖7： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率資料來(lái)源：如圖 2 所示，長(zhǎng)期看，不同 CVaR 閾值下的投資組合表現(xiàn)均優(yōu)于滬深指數(shù)。當(dāng) CVaR 閾值為 0.2 時(shí)，投資組合收益效果最優(yōu)，累計(jì)收益率 339%，年化收益率達(dá) 16%，夏普比率 1.02，遠(yuǎn)超同期滬深 300 指數(shù)的收益表現(xiàn)（累計(jì)收益率 70%，年化收益率 5%，夏普比率 0.24）。最重要的發(fā)現(xiàn)是，風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)在小于 0.2

23、的時(shí)候，組合的收益是風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)的單調(diào)增函數(shù)，符合我們對(duì)模型的預(yù)期：高風(fēng)險(xiǎn)高收益。規(guī)避了前文描述的用比例控制組合風(fēng)險(xiǎn)中出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益不匹配的 重大缺陷。各資產(chǎn)大類指數(shù)在資產(chǎn)組合中的權(quán)重變化情況如圖 3-圖 7 所示。圖8： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合各期權(quán)重CVaR0.08CVaR0.15CVaR0.2CVaR0.25資料來(lái)源：取更長(zhǎng)歷史區(qū)間交易日數(shù)據(jù)上文計(jì)算用的是過(guò)去 125 個(gè)交易日的歷史數(shù)據(jù)計(jì)算，現(xiàn)在取過(guò)去一年數(shù)據(jù)和三年數(shù)據(jù)來(lái)測(cè)算，考察時(shí)間長(zhǎng)度參數(shù)對(duì)模型結(jié)果的影響。從下表可以看出，Mean-CVaR 組合確實(shí)符合高風(fēng)險(xiǎn)高收益的特征，取過(guò)去三年歷史數(shù)據(jù)作為參數(shù)估計(jì)樣本，得到的組合最穩(wěn)健，

24、雖然會(huì)犧牲一部分收益。表5： 全資產(chǎn) Mean-CVaR 組合收益結(jié)果（250 天）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率75%75%98%119%147%166%年化收益率6%6%7%9%10%11%夏普比0.261.350.920.850.830.78年化波動(dòng)率23%4%8%10%12%14%最大回撤47%7%14%18%22%28%資料來(lái)源： 圖9： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率（250 天）資料來(lái)源：表6： 全資產(chǎn) Mean-CVaR 組合收益結(jié)果（750 天）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250

25、.30累計(jì)收益率121%47%54%58%62%62%年化收益率11%5%6%6%7%7%夏普比0.492.031.230.980.840.71年化波動(dòng)率23%3%5%6%8%10%最大回撤47%6%11%15%18%21%資料來(lái)源： 圖10： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率（750 天）資料來(lái)源：帶權(quán)重約束的 Mean-CVaR上節(jié)中，我們用九大類資產(chǎn)構(gòu)造了不同CVaR 風(fēng)險(xiǎn)約束下的最優(yōu)投資組合，得到顯著優(yōu)于滬深 300 指數(shù)的收益表現(xiàn)。可是組合在各類資產(chǎn)指數(shù)上的權(quán)重跳躍較大，且 CVaR 閾值越高，權(quán)重跳躍情況越嚴(yán)重。例如，當(dāng) CVaR 閾值為 0.3 時(shí)，回測(cè)期間僅有幾期配置了

26、兩種及以上資產(chǎn)，還有少數(shù)幾期只持有一種資產(chǎn)。這與實(shí)際投資情況差異較大，實(shí)戰(zhàn)意義弱。本節(jié)考慮給資產(chǎn)權(quán)重加上約束，有兩種約束方法，一種是權(quán)重加上區(qū)間約束，一種是給換手率加上約束。權(quán)重約束設(shè)定現(xiàn)考慮四種不同的權(quán)重約束，可分為以下兩大類：第一類：限制權(quán)重區(qū)間單個(gè)資產(chǎn)權(quán)重上下限：各資產(chǎn)權(quán)重上限 40%，下限 5%；各資產(chǎn)基準(zhǔn)權(quán)重浮動(dòng)區(qū)間：各資產(chǎn)基于給定的基準(zhǔn)權(quán)重，上下浮動(dòng) 10%。表 3 展示了一組基準(zhǔn)權(quán)重的示例，保持各資產(chǎn)間基準(zhǔn)比例不變，基準(zhǔn)權(quán)重隨入選資產(chǎn)組合調(diào)整，保證所有資產(chǎn)的權(quán)重之和為 1。表7： 權(quán)重約束指數(shù)名稱指數(shù)代碼基準(zhǔn)權(quán)重浮動(dòng)區(qū)間滬深 300000300.SH15%5%-25%中證 500

27、000905.SH15%5%-25%創(chuàng)業(yè)板指399006.SZ15%5%-25%中債國(guó)債CBA00601.CS12%2%-22%中債信用債CBA03001.CS12%2%-22%南華綜合NH0100.NHF8%0%-18%上金所 AU9999AU9999.SGE8%0%-18%恒生指數(shù)HSI.HI8%0%-18%標(biāo)普 500SPX.GI15%5%-25%資料來(lái)源：此類權(quán)重約束的優(yōu)勢(shì)在于可以直接控制每個(gè)資產(chǎn)的上下限，或者控制基準(zhǔn)權(quán)重和浮動(dòng)區(qū)間寬度，從而根據(jù)不同的資產(chǎn)偏好和投資風(fēng)格靈活調(diào)整。第二類：限制換手率令wi,t 為第 i 個(gè)資產(chǎn)在第 t 期的權(quán)重，若沒有設(shè)定初始權(quán)重，則假設(shè)各資產(chǎn)權(quán)重相等，

28、 wi,0 = 1N定義為某資產(chǎn)相鄰兩期權(quán)重變化的絕對(duì)值，有兩種表示方法：。換手率單個(gè)資產(chǎn)換手率上限：wi,t - wi,t -1 L,i = 1, 2, N所有資產(chǎn)換手率之和上限：N wi,t - wi,t -1 Li=1這類權(quán)重約束從控制交易成本的角度出發(fā)，直接約束資產(chǎn)組合的換手率。由于這里的約束帶絕對(duì)值，需要經(jīng)過(guò)處理轉(zhuǎn)化為普通線性約束。引入輔助變量y + , y - 分別代表買入量和賣出量，則有：y + - y - = w- wi,ti,ti,ti,t -1N( i,ti,t )y + + y - Li,t i=1y+i,t 0,y - 0帶約束的資產(chǎn)配置回測(cè)結(jié)果單個(gè)資產(chǎn)權(quán)重上下限約束表

29、8： Mean-CVaR 組合收益（單個(gè)資產(chǎn)權(quán)重上限 40%，下限 5%）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.150.200.250.30累計(jì)收益率70%180%197%207%209%年化收益率5%11%11%12%12%夏普比0.240.970.870.810.78年化波動(dòng)率23%11%13%15%15%最大回撤47%21%27%31%33%資料來(lái)源： 圖11： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率（單個(gè)資產(chǎn)權(quán)重上限 40%，下限 5%）資料來(lái)源： 圖12： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.25；單個(gè)資產(chǎn)權(quán)重上限 40%，下限 5%）資料來(lái)源：各資產(chǎn)基準(zhǔn)權(quán)重浮動(dòng)區(qū)間約束區(qū)間的具體參數(shù)，

30、見上文表格。表9： Mean-CVaR 組合收益（各資產(chǎn)基準(zhǔn)權(quán)重浮動(dòng)區(qū)間約束）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.200.250.30累計(jì)收益率70%214%242%257%年化收益率5%12%13%14%夏普比0.240.950.930.93年化波動(dòng)率23%13%14%15%最大回撤47%26%30%32%資料來(lái)源： 圖13： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率（各資產(chǎn)基準(zhǔn)權(quán)重浮動(dòng)區(qū)間約束）資料來(lái)源： 圖14： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.3；各資產(chǎn)基準(zhǔn)權(quán)重浮動(dòng)區(qū)間約束）資料來(lái)源：?jiǎn)蝹€(gè)資產(chǎn)換手率上限約束表10： Mean-CVaR 組合收益（單個(gè)資產(chǎn)換手率0.3）指標(biāo)滬深 300M

31、ean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%141%246%280%334%323%年化收益率5%9%13%14%16%15%夏普比0.241.291.121.010.970.87年化波動(dòng)率23%7%12%14%16%18%最大回撤47%13%19%24%29%34%資料來(lái)源： 圖15： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率（單個(gè)資產(chǎn)換手率0.3）資料來(lái)源： 圖16： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.25；單個(gè)資產(chǎn)換手率0.3）資料來(lái)源：所有資產(chǎn)換手率之和上限約束表11： Mean-CVaR 組合收益（所有資產(chǎn)換手率之和1）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.0

32、80.150.200.250.30累計(jì)收益率70%165%256%271%327%370%年化收益率5%10%14%14%16%17%夏普比0.241.401.130.970.940.91年化波動(dòng)率23%7%12%14%17%18%最大回撤47%12%18%23%30%34%資料來(lái)源： 圖17： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率（所有資產(chǎn)換手率之和1）資料來(lái)源： 圖18： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.3；所有資產(chǎn)換手率之和1）資料來(lái)源：不同投資標(biāo)的組合考慮基金可能受到資產(chǎn)范圍限制的情況，可能不能投資于某些資產(chǎn)大類，現(xiàn)考慮不同投資范圍下的 Mean- CVaR 優(yōu)化組合表現(xiàn)。國(guó)內(nèi)債股（

33、不含創(chuàng)業(yè)板）+商品+黃金+港股+美股表12： Mean-CVaR 組合收益（國(guó)內(nèi)債股（不含創(chuàng)業(yè)板）+商品+黃金+港股+美股）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%162%271%327%281%281%年化收益率5%10%14%16%14%14%夏普比0.241.381.131.040.850.79年化波動(dòng)率23%7%12%15%17%18%最大回撤47%11%20%27%32%36%資料來(lái)源： 圖19： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率資料來(lái)源： 圖20： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.2）資料來(lái)源：國(guó)內(nèi)債股+商品+黃金+港股表13

34、： Mean-CVaR 組合收益（國(guó)內(nèi)債股+商品+黃金+港股）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%153%228%245%218%216%年化收益率5%10%13%13%12%12%夏普比0.241.330.990.840.680.61年化波動(dòng)率23%7%13%16%18%20%最大回撤47%10%20%28%34%38%資料來(lái)源： 圖21： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率資料來(lái)源： 圖22： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.2）資料來(lái)源：國(guó)內(nèi)債股+商品+黃金表14： Mean-CVaR 組合收益（國(guó)內(nèi)債股+商品+黃金）指標(biāo)滬深 3

35、00Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%158%243%257%233%238%年化收益率5%10%13%14%13%13%夏普比0.241.401.050.870.700.64年化波動(dòng)率23%7%12%15%18%20%最大回撤47%9%20%28%34%38%資料來(lái)源：資料來(lái)源： 圖24： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.2）資料來(lái)源：國(guó)內(nèi)債股+商品表15： Mean-CVaR 組合收益（國(guó)內(nèi)債股+商品）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%128%180%212%186%187%年化收益率5%9%11

36、%12%11%11%夏普比0.241.340.940.820.640.57年化波動(dòng)率23%6%11%15%17%20%最大回撤47%9%20%25%31%35%資料來(lái)源：資料來(lái)源： 圖26： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.2）資料來(lái)源：國(guó)內(nèi)債股表16： Mean-CVaR 組合收益（國(guó)內(nèi)債股）指標(biāo)滬深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累計(jì)收益率70%147%242%284%254%257%年化收益率5%9%13%14%13%14%夏普比0.241.581.211.030.800.71年化波動(dòng)率23%6%11%14%17%19%最大回撤47%9%20%25%31%

37、35%資料來(lái)源：圖27： 不同 CVaR 閾值下最優(yōu)組合累計(jì)收益率資料來(lái)源：圖28： 最優(yōu)組合各期權(quán)重（CVaR0.2）資料來(lái)源：Mean-CVaR 模型求解數(shù)學(xué)原理Rockafellar(2000) 證明了 CVaR 優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題, 而且當(dāng)不確定性由有限個(gè)場(chǎng)景近似時(shí)，可以通過(guò)使用線性規(guī)劃算法（LP）來(lái)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化, 并在優(yōu)化 CVaR 的同時(shí)可以得到相應(yīng)的 VaR 值, 便于大批量計(jì)算。首先，假設(shè) f (w, r)為任意損失函數(shù)，其中 w 是優(yōu)化變量， r 為隨機(jī)參數(shù)?，F(xiàn)在，考慮在控制 CVaR 的約束下，最大化投資組合的平均收益，此時(shí)損失函數(shù) f (w, r) =

38、 -w Tr ， w 為投資組合權(quán)重， r 為資產(chǎn)收益。組合優(yōu)化問(wèn)題可表示為：maximizeww Tmsubject toCVaR a (f (w, r) c1T w = 1其中， CVaR a(f (w, r) = E f (w, r) f (w, r) VaR a(f (w, r) 。定理：定義輔助函數(shù)Fa(w, z) = z +11 - af (w, r) - z + p(r)dr ，則有如下結(jié)論：VaRa 是使Fa(w,z) 達(dá)到最小的參數(shù)zVaR a(f (w, r) = arg minFa(w, z)zCVaRa 是Fa(w,z) 的最小值CVaR a(f (w, r) = mi

39、nFa(w, z)z證明:(a) 使Fa(w,z) 達(dá)到最小的參數(shù)z 滿足： 0 zFa(w, z *)。比如我們選取如下梯度：()1 - aszFa (w, z ) = 1 - 1 (f (w, r) z )p(r)dr= 1 - 1 Pr f (w, r) z = 0 1 - a其中 ()為示性函數(shù)。于是有Pr(f (w, r) z ) = 1 - a z = VaR a(f (w, r)(b)minF (w, z) = Fw, z = z +1f (w, r) - z +p r drzaa ()1 - a CVaR a(f (w, r) = E f (w, r) f (w, r) VaR a(f (w, r)=11 - ar:f (w,r)VaR af (w, r)p(r)dr=11 - a f (w, r) - VaR a +p(r)dr + VaR a引理 1： min CVaR a(f (w, r) = min Fa(w, z)ww,z簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，通過(guò)最小化Fa(w,z) 可