信息論方法(一)課件

1、第7章 信息論方法（一）7.1 信息論原理7.2 決策樹(shù)方法7.1 信息論原理 信息論是C.E.Shannon為解決信息傳遞（通信）過(guò)程問(wèn)題而建立的理論，也稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)通信理論。1. 信道模型一個(gè)傳遞信息的系統(tǒng)是由發(fā)送端（信源）和接收端（信宿）以及連接兩者的通道（信道）三者組成。信道u1,u2.ur信源Uv1,v2.vrP(V|U)信宿V在進(jìn)行實(shí)際的通信之前，收信者（信宿）不可能確切了解信源究竟會(huì)發(fā)出什么樣的具體信息，不可能判斷信源會(huì)處于什么樣的狀態(tài)。這種情形就稱(chēng)為信宿對(duì)于信源狀態(tài)具有不確定性。而且這種不確定性是存在于通信之前的。因而又叫做先驗(yàn)不確定性，表示成 信息熵 H（U）在進(jìn)行了通信之后，信

2、宿收到了信源發(fā)來(lái)的信息，這種先驗(yàn)不確定性才會(huì)被消除或者被減少。如果干擾很小，不會(huì)對(duì)傳遞的信息產(chǎn)生任何可察覺(jué)的影響，信源發(fā)出的信息能夠被信宿全部收到，在這種情況下，信宿的先驗(yàn)不確定性就會(huì)被完全消除。在一般情況下，干擾總會(huì)對(duì)信源發(fā)出的信息造成某種破壞，使信宿收到的信息不完全。先驗(yàn)不確定性不能全部被消除，只能部分地消除。通信結(jié)束之后，信宿仍然具有一定程度的不確定性。這就是后驗(yàn)不確定性，用條件熵表示H（U/V）。后驗(yàn)不確定性總要小于先驗(yàn)不確定性:H（U/V）H（X） 故信源Y比信源X的平均不確定性要大。 信息熵H（U）是信源輸出前的平均不確定性，也稱(chēng)先驗(yàn)熵。 H（U）的性質(zhì): （1）H（U）=0時(shí)，說(shuō)

3、明只存在著唯一的可能性，不存在不確定性。 （2）如果n種可能的發(fā)生都有相同的概率，即所有的Ui有P（Ui）=1/n，H（U）達(dá)到最大值log n，系統(tǒng)的不確定性最大。 P（Ui）互相接近，H（U）就大。P（Ui）相差大，則H（U）就小。 7互信息(1)后驗(yàn)熵和條件熵當(dāng)沒(méi)有接收到輸出符號(hào)V時(shí)，已知輸入符號(hào)U的概率分布為P（U），而當(dāng)接收到輸出符號(hào)V=Vj 后，輸入符號(hào)的概率分布發(fā)生了變化,變成后驗(yàn)概率分布P（U|Vj）。其后驗(yàn)熵為：那么接收到輸出符號(hào)V=Vj后，關(guān)于U的平均不確定性為： 這是接收到輸出符號(hào)Vj后關(guān)于U的條件熵 這個(gè)條件熵稱(chēng)為信道疑義度。它表示在輸出端收到全部輸出符號(hào)V后，對(duì)于輸入

4、端的符號(hào)集U尚存在的不確定性（存在疑義）。 從上面分析可知：條件熵小于無(wú)條件熵，即H（U|V）H（U）。說(shuō)明接收到符號(hào)集V的所有符號(hào)后，關(guān)于輸入符號(hào)U的平均不確定性減少了。即總能消除一些關(guān)于輸入端X的不確定性，從而獲得了一些信息。（2）平均互信息定義: I（U,V） = H（U） H（U|V） （3.10） I（U,V）稱(chēng)為U和V之間的平均互信息.它代表接收到符號(hào)集V后獲得的關(guān)于U的信息量。 可見(jiàn)，熵（H（U）、H（U|V）只是平均不確定性的描述。熵差（H（U） H（U|V）是不確定性的消除，即互信息才是接收端所獲得的信息量。 對(duì)輸入端U只有U1，U2兩類(lèi)，互信息的計(jì)算公式為: 7.2 決策樹(shù)

5、方法7.2.1決策樹(shù)概念決策樹(shù)是用樣本的屬性作為結(jié)點(diǎn)，用屬性的取值作為分支的樹(shù)結(jié)構(gòu)。 決策樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)是所有樣本中信息量最大的屬性。樹(shù)的中間結(jié)點(diǎn)是該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)所包含的樣本子集中信息量最大的屬性。決策樹(shù)的葉結(jié)點(diǎn)是樣本的類(lèi)別值。決策樹(shù)是一種知識(shí)表示形式，它是對(duì)所有樣本數(shù)據(jù)的高度概括。決策樹(shù)能準(zhǔn)確地識(shí)別所有樣本的類(lèi)別，也能有效地識(shí)別新樣本的類(lèi)別。 7.2.2 ID3方法基本思想當(dāng)前國(guó)際上最有影響的示例學(xué)習(xí)方法首推J.R.Quinlan的ID3（Interative Dic熱miser versions3）. 原理：首先找出最有判別力的特征，把數(shù)據(jù)分成多個(gè)子集，每個(gè)子集又選擇最有判別力的特征進(jìn)行劃分

6、，一直進(jìn)行到所有子集僅包含同一類(lèi)型的數(shù)據(jù)為止。最后得到一棵決策樹(shù)。J.R.Quinlan的工作主要是引進(jìn)了信息論中的互信息，他將其稱(chēng)為信息增益（information gain），作為特征判別能力的度量，并且將建樹(shù)的方法嵌在一個(gè)迭代的外殼之中。一、ID3基本思想 例如：關(guān)于氣候的類(lèi)型，特征為: 天氣 取值為： 晴，多云，雨 氣溫 取值為： 冷 ，適中，熱 濕度 取值為： 高 ，正常 風(fēng) 取值為： 有風(fēng)， 無(wú)風(fēng) 每個(gè)實(shí)體在世界中屬于不同的類(lèi)別，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定僅有兩個(gè)類(lèi)別，分別為P，N。在這種兩個(gè)類(lèi)別的歸納任務(wù)中，P類(lèi)和N類(lèi)的實(shí)體分別稱(chēng)為概念的正例和反例。將一些已知的正例和反例放在一起便得到訓(xùn)練

7、集。表3.1給出一個(gè)訓(xùn)練集。由ID3算法得出一棵正確分類(lèi)訓(xùn)練集中每個(gè)實(shí)體的決策樹(shù)，見(jiàn)下圖。NO.屬性類(lèi)別天氣氣溫濕度風(fēng)1晴熱高無(wú)風(fēng)N2晴熱高有風(fēng)N3多云熱高無(wú)風(fēng)P4雨適中高無(wú)風(fēng)P5雨冷正常無(wú)風(fēng)P6雨冷正常有風(fēng)N7多云冷正常有風(fēng)P8晴適中高無(wú)風(fēng)N9晴冷正常無(wú)風(fēng)P10雨適中正常無(wú)風(fēng)P11晴適中正常有風(fēng)P12多云適中高有風(fēng)P13多云熱正常無(wú)風(fēng)P14雨適中高有風(fēng)N天 氣濕 度風(fēng)晴雨多云高正常有風(fēng)無(wú)風(fēng)PNNPPID3決策樹(shù)決策樹(shù)葉子為類(lèi)別名，即P 或者N。其它結(jié)點(diǎn)由實(shí)體的特征組成，每個(gè)特征的不同取值對(duì)應(yīng)一分枝。若要對(duì)一實(shí)體分類(lèi)，從樹(shù)根開(kāi)始進(jìn)行測(cè)試，按特征的取值分枝向下進(jìn)入下層結(jié)點(diǎn)，對(duì)該結(jié)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試，過(guò)程

8、一直進(jìn)行到葉結(jié)點(diǎn)，實(shí)體被判為屬于該葉結(jié)點(diǎn)所標(biāo)記的類(lèi)別。現(xiàn)用圖來(lái)判一個(gè)具體例子， 某天早晨氣候描述為: 天氣：多云 氣溫：冷 濕度：正常 風(fēng)： 無(wú)風(fēng) 它屬于哪類(lèi)氣候呢?從圖中可判別該實(shí)體的類(lèi)別為P類(lèi)。ID3就是要從表的訓(xùn)練集構(gòu)造圖這樣的決策樹(shù)。實(shí)際上，能正確分類(lèi)訓(xùn)練集的決策樹(shù)不止一棵。Quinlan的ID3算法能得出結(jié)點(diǎn)最少的決策樹(shù)。二、ID3算法（一）主算法 從訓(xùn)練集中隨機(jī)選擇一個(gè)既含正例又含反例的子集（稱(chēng)為窗口）； 用“建樹(shù)算法”對(duì)當(dāng)前窗口形成一棵決策樹(shù)； 對(duì)訓(xùn)練集（窗口除外）中例子用所得決策樹(shù)進(jìn)行類(lèi)別判定，找出錯(cuò)判的例子； 若存在錯(cuò)判的例子，把它們插入窗口，轉(zhuǎn)2，否則結(jié)束。主算法流程用下圖

9、表示。其中PE、NE分別表示正例集和反例集，它們共同組成訓(xùn)練集。PE，PE和NE，NE分別表示正例集和反例集的子集。主算法中每迭代循環(huán)一次，生成的決策樹(shù)將會(huì)不相同。訓(xùn)練集PE、NE取子集建窗口窗口PE、NE生成決策樹(shù)測(cè)試PE、NE擴(kuò)展窗口PE=PE+PENE=NE+NE此決策樹(shù)為最后結(jié)果存在錯(cuò)判的PE，NE嗎是否ID3主算法流程（二）建樹(shù)算法 對(duì)當(dāng)前例子集合，計(jì)算各特征的互信息； 選擇互信息最大的特征Ak； 把在Ak處取值相同的例子歸于同一子集，Ak取幾個(gè)值就得幾個(gè)子集； 對(duì)既含正例又含反例的子集，遞歸調(diào)用建樹(shù)算法； 若子集僅含正例或反例，對(duì)應(yīng)分枝標(biāo)上P或N，返回調(diào)用處。實(shí)例計(jì)算 對(duì)于氣候分類(lèi)

10、問(wèn)題進(jìn)行具體計(jì)算有： 信息熵的計(jì)算信息熵：類(lèi)別出現(xiàn)概率：|S|表示例子集S的總數(shù)，|ui|表示類(lèi)別ui的例子數(shù)。 對(duì)9個(gè)正例和5個(gè)反例有：P（u1）=9/14 P（u2）=5/14H（U）=（9/14）log（14/9）+（5/14）log（14/5）=0.94bit 條件熵計(jì)算條件熵：屬性A1取值vj時(shí)，類(lèi)別ui的條件概率：A1=天氣 取值 v1=晴，v2=多云，v3=雨在A1處取值晴的例子5個(gè)，取值多云的例子4 個(gè)，取值雨的例子5 個(gè)，故： P（v1）=5/14 P（v2）=4/14 P（v3）=5/14取值為晴的5 個(gè)例子中有2 個(gè)正例、3個(gè)反例，故： P（u1/v1）=2/5， P（u

11、2/v1）=3/5同理有：P（u1/v2）=4/4， P（u2/v2）=0 P（u1/v3）=2/5， P（u2/v3）=3/5H(U/V)=(5/14)(2/5)log(5/2)+(3/5)log(5/3)+(4/14)(4/4)log(4/4) +0)+(5/14)(2/5)log(5/2)+(3/5)log(5/3) = 0.694bit 互信息計(jì)算 對(duì) A1=天氣 處有： I（天氣）=H（U）- H（U|V）= 0.94 - 0.694 = 0.246 bit 類(lèi)似可得： I（氣溫）=0.029 bit I（濕度）=0.151 bit I（風(fēng)）=0.048 bit 建決策樹(shù)的樹(shù)根和分枝

12、 ID3算法將選擇互信息最大的特征天氣作為樹(shù)根，在14個(gè)例子中對(duì)天氣的3個(gè)取值進(jìn)行分枝，3 個(gè)分枝對(duì)應(yīng)3 個(gè)子集，分別是: F1=1，2，8，9，11，F(xiàn)2=3，7，12，13，F(xiàn)3=4，5，6，10，14 其中F2中的例子全屬于P類(lèi)，因此對(duì)應(yīng)分枝標(biāo)記為P，其余兩個(gè)子集既含有正例又含有反例，將遞歸調(diào)用建樹(shù)算法。 遞歸建樹(shù) 分別對(duì)F1和F3子集利用ID3算法，在每個(gè)子集中對(duì)各特征（仍為四個(gè)特征）求互信息. （1）F1中的天氣全取晴值，則H（U）=H（U|V），有I（U|V）=0，在余下三個(gè)特征中求出濕度互信息最大，以它為該分枝的根結(jié)點(diǎn)，再向下分枝。濕度取高的例子全為N類(lèi)，該分枝標(biāo)記N。取值正常的

13、例子全為P類(lèi)，該分枝標(biāo)記P。 （2）在F3中，對(duì)四個(gè)特征求互信息，得到風(fēng)特征互信息最大，則以它為該分枝根結(jié)點(diǎn)。再向下分枝，風(fēng)取有風(fēng)時(shí)全為N類(lèi)，該分枝標(biāo)記N。取無(wú)風(fēng)時(shí)全為P類(lèi)，該分枝標(biāo)記P。 這樣就得到圖8.5的決策樹(shù) 對(duì)ID3的討論 優(yōu)點(diǎn) ID3在選擇重要特征時(shí)利用了互信息的概念，算法的基礎(chǔ)理論清晰，使得算法較簡(jiǎn)單，是一個(gè)很有實(shí)用價(jià)值的示例學(xué)習(xí)算法。 該算法的計(jì)算時(shí)間是例子個(gè)數(shù)、特征個(gè)數(shù)、結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)之積的線(xiàn)性函數(shù)。我們?cè)?761個(gè)關(guān)于苯的質(zhì)譜例子作了試驗(yàn)。其中正例2361個(gè)，反例2400個(gè)，每個(gè)例子由500個(gè)特征描述，每個(gè)特征取值數(shù)目為6，得到一棵1514個(gè)結(jié)點(diǎn)的決策樹(shù)。對(duì)正、反例各100個(gè)測(cè)

14、試?yán)髁藴y(cè)試，正例判對(duì)82個(gè)，反例判對(duì)80個(gè)，總預(yù)測(cè)正確率81%，效果是令人滿(mǎn)意的。 缺點(diǎn) （1）互信息的計(jì)算依賴(lài)于特征取值的數(shù)目較多的特征，這樣不太合理。一種簡(jiǎn)單的辦法是對(duì)特征進(jìn)行分解，如上節(jié)例中，特征取值數(shù)目不一樣，可以把它們統(tǒng)統(tǒng)化為二值特征，如天氣取值晴，多云，雨，可以分解為三個(gè)特征；天氣晴，天氣多云，天氣雨。取值都為“是”或“否”，對(duì)氣溫也可做類(lèi)似的工作。這樣就不存在偏向問(wèn)題了。 （2）用互信息作為特征選擇量存在一個(gè)假設(shè)，即訓(xùn)練例子集中的正，反例的比例應(yīng)與實(shí)際問(wèn)題領(lǐng)域里正、反例比例相同。一般情況不能保證相同，這樣計(jì)算訓(xùn)練集的互信息就有偏差。 （3）ID3在建樹(shù)時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅含一個(gè)特征，是一種單變?cè)乃惴ǎ卣鏖g的相關(guān)性強(qiáng)調(diào)不夠。雖然它將多個(gè)特征用一棵樹(shù)連在一起，但聯(lián)系還是松散的。 （4）ID3對(duì)噪聲較為敏感。關(guān)于什么是噪聲，Quin