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文檔簡介

1、 4.4 有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式當(dāng)nm時, 稱這有理函數(shù)是真分式; 而當(dāng)nm時, 稱這有理函數(shù)是假分式. 有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù), 即具有如下形式的函數(shù): 假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式. 例如 1111)1(1122223+=+=+xxxxxxxx. 提示： 求真分式的不定積分時, 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 解 分母可因式分解的真分式的不定積分 AB1 2A3B3 )3)(2()32()(23)3)(2(3-+=-+-=-+xxBAxBAxBxAxx

2、x, A6 B5 例1 解 求真分式的不定積分時, 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 分母可因式分解的真分式的不定積分 例2 求 . 解 Cxxx+-+=21arctan23)32ln(212.分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分 例3 提示：二、可化為有理函數(shù)的積分舉例 三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù). 用于三角函數(shù)有理式積分的變量代換 三角函數(shù)有理式的積分 設(shè)2tanxu=,則有222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx+=+=,222222112sec2tan12sin2cosc

3、osuuxxxxx+-=-=-=. 解： 法一 例4 求 . 解： 例4 求 . 法二 說明： 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過上述代換化為有理函數(shù)的積分. 因為這種代換不一定是最簡捷的代換. 請看如下積分: 令2tanxu=,則212sinuux+=,2211cosuux+-=. 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 解: 簡單無理函數(shù)的積分 例5 求 . 解 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 簡單無理函數(shù)的積分 例6 求 . 解 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 簡單無理函數(shù)的積分 例7 求 . 解 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 簡單無理函數(shù)的積分 設(shè)txx=+1,即112-=tx,于是Cxxxxxx+-+-+-=11ln12. 例8 例9 求積分解 令說明:無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的最小公倍數(shù).簡單無理式的積分.有理式分解成部分

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