新人教版高中數學必修第二冊第六章平面及其應用：本章達標檢測

1、本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.在ABCD中,設AB=a,BC=b,點E為對角線BD上靠近點D的一個五等分點,AE的延長線交CD于點F,則AF+BF=()A.14a-bB.-12a+2bC.-34a+12bD.-2a+34b2.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其面積S=13(a2+c2-b2),則tan B的值為()A.43B.1C.32D.23.如圖,在圓C中弦AB的長度為6,則ACAB=()A.6B.12C.18D.無法確定4.在ABC中,內角A,

2、B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinBsinC=12,(a2-3b2)cos C=CACB,則角C=()A.6B.3C.3或2D.6或25.已知|OA|=|OB|=1,AOB=60,OC=OA+OB,其中實數,滿足1+2,0,0,則點C所形成的平面區(qū)域的面積為()A.3B.334C.32D.346.設為兩個非零向量a,b的夾角,已知對任意實數t,|b+ta|的最小值為1,下列說法正確的是()A.若確定,則|a|唯一確定B.若確定,則|b|唯一確定C.若|a|確定,則唯一確定D.若|b|確定,則唯一確定7.ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acos B-bcos A=35c,則

3、tan(A-B)的最大值為()A.43B.1C.34D.38.在ABC中,E,F分別為AB,AC上的點,且滿足AE=2EB,AF=2FC,P為EF上任一點,實數x,y滿足PA+xPB+yPC=0,設ABC,PBC,PCA,PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記SiS=i(i=1,2,3),則23取到最大值時,x,y的值分別為()A.0,2B.1,2C.1,1D.2,1二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.如圖,已知點O為正六邊形ABCDEF的中心,下列結論中正確的是()A.

4、OA+OC+OB=0B.(OA-AF)(EF-DC)=0C.(OAAF)BC=OA(AFBC)D.|OF+OD|=|FA+OD-CB|10.已知ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足B=3,a+c=3b,則ac=()A.2B.3C.12D.1311.下列說法錯誤的是()A.若ab,bc,則acB.若2OA+OB+3OC=0,SAOC,SABC分別表示AOC,ABC的面積,則SAOCSABC=16C.兩個非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,則a與b共線且反向D.若向量ab,則a與b一定不是共線向量12.下列命題中正確的是()A.已知非零向量a,b滿足|a|=4|b|,且b

5、(a+2b),則a與b的夾角為56B.若a,b,c是平面內三個非零向量,則(ab)c=a(bc)C.若a=(sin ,1+cos),b=(1,1-cos),其中,32,則abD.若O是ABC所在平面上一定點,動點P滿足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,(0,+),則直線AP一定經過ABC的內心三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a與b的夾角為,向量a+b與a的夾角為.(本題第一空2分,第二空3分)14.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象,被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產”.我國

6、擁有世界上最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的藍洞的口徑A,B兩點間的距離,現在珊瑚群島上取C,D兩點,測得CD=80,ADB=135,BDC=DCA=15,ACB=120,則A,B兩點間的距離為.15.已知ABC中,a=6,給出下列結論:若b=10,A=3,則B的值唯一;若A=6,則SABC有最大值;若b+c=10,則cos A的最小值為725.其中正確結論的序號為.16.如圖放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點)上滑動,則OBOC的最大值為.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)在cos A=

7、35,cos C=255,csin C=sin A+bsin B,B=60,c=2,cos A=18三個條件中任選一個作為下面問題的條件,并加以解答.已知ABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若a=3,(填序號),求ABC的面積S.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.18.(本小題滿分12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bcos A=ccos A+acos C.(1)求A的大小;(2)若ABAC=32,b+c=4,求a的值.19.(本小題滿分12分)如圖,在ABC中,D為BC的中點,O為外心,點M滿足OA+OB+OC=OM.(1)證明:AM=2OD

8、;(2)若|BA+BC|=|AC|=6,設AD與OM相交于點P,E,F關于點P對稱,且|EF|=2,求AECF的取值范圍.20.(本小題滿分12分)在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,BC邊上的中線AD=m,且a2+2bc=4m2.(1)求BAC;(2)若a=4,求ABC的周長的取值范圍.21.(本小題滿分12分)已知向量a=(sin x,cos x),b=sinx-6,sinx,函數f(x)=2ab,g(x)=f4x.(1)求f(x)在2,上的最值,并求出相應的x的值;(2)計算g(1)+g(2)+g(3)+g(2 014)的值;(3)已知tR,討論g(x)在t,t+2上零點的

9、個數.22.(本小題滿分12分)如圖,M為ABC的中線AD的中點,過點M的直線分別交AB,AC兩邊于點P,Q(異于點A),設AP=xAB,AQ=yAC,記x,y的關系式為y=f(x).(1)求函數y=f(x)的表達式;(2)設APQ的面積為S1,ABC的面積為S2,且S1=kS2,求實數k的取值范圍.(參考:三角形的面積等于兩邊長與這兩邊夾角的正弦值的乘積的一半)答案全解全析一、單項選擇題1.B易得DEFBEA,所以DFAB=DEBE=14,所以DF=14AB,所以AF=AD+DF=BC-14BA,BF=BC+CF=BC+34BA,所以AF+BF=BC-14BA+BC+34BA=2BC-12A

10、B=-12a+2b.2.A由S=12acsin B,cos B=a2+c2-b22ac,S=13(a2+c2-b2),可得12acsin B=23accos B,整理,得sin B=43cos B,因此,tan B=43.故選A.3.C如圖所示,取線段AB的中點D,連接CD,則CDAB,所以|AC|cos A=|AD|=12|AB|,所以ACAB=|AC|AB|cos A=12|AB|2=18.故選C.4.C若sinBsinC=12,則bc=12,即c=2b.由(a2-3b2)cos C=CACB,可得(a2-3b2)cos C=abcos C,所以cos C=0或a2-3b2=ab.若cos

11、 C=0,則C=2;若a2-3b2=ab,則cos C=a2+b2-c22ab=a2-3b22ab=ab2ab=12,則C=3.故選C.5.B作OP=2OA,OQ=2OB,OC與線段AB交于D,如圖.設OC=xOD,因為OC=OA+OB,0,0,所以點C在QOP內部(包含邊界),根據共線向量定理有OD=mOA+nOB,m+n=1,所以OC=xOD=xmOA+xnOB,m+n=1,又OC=OA+OB,所以=xm,=xn,因為1+2,即1xm+xn2,所以1x2,所以點C所在區(qū)域為梯形APQB內部(含邊界),S梯形APQB=SOPQ-SOAB=1222sin 60-1211sin 60=334.故

12、選B.6.B|b+ta|2=b2+2tab+t2a2=|a|2t2+2|a|b|cos t+|b|2.因為|b+ta|min=1,所以4|a|2|b|2-4|a|2|b|2cos24|a|2=|b|2(1-cos2)=1.所以|b|2sin2=1,所以|b|sin =1,即|b|=1sin.所以若確定,則|b|唯一確定.故選B.7.Cacos B-bcos A=35c,結合正弦定理與sin C=sin(A+B),可得sin Acos B-sin Bcos A=35(sin Acos B+cos Asin B),整理,得sin Acos B=4sin Bcos A,兩邊同除以cos Acos B

13、,得tan A=4tan B,由此可得tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB=3tanB1+4tan2B=31tanB+4tanB,A,B是三角形的內角,且tan A與tan B同號,A,B都是銳角,即tan A0,tan B0,tan(A-B)=31tanB+4tanB34,當且僅當1tanB=4tan B,即tan B=12時,tan(A-B)取得最大值34,故選C.8.C由題意可得EFBC,P到BC的距離等于ABC的BC邊上高的13,可得S1=13S,則S2+S3=23S,2+3=23.由此可得232+322=19,當且僅當2=3=13,即S2=S3,P為EF的中點時,

14、等號成立.延長AP交BC于點D,則D為BC的中點,AP=2PD=PB+PC,PA+PB+PC=0.又PA+xPB+yPC=0,根據平面向量基本定理,得x=y=1.故當23取到最大值時,x,y的值分別為1,1,故選C.二、多項選擇題9.BC設正六邊形ABCDEF的邊長為1.對于A選項,六邊形ABCDEF為正六邊形,四邊形OABC為菱形,OA+OC=OB,OA+OC+OB=2OB0,A錯誤;對于B選項,(OA-AF)(EF-DC)=(EF-AF)(EF+AF)=EF2-AF2=0,B正確;對于C選項,(OAAF)BC=11cos 120BC=-12BC=12OA,OA(AFBC)=OA11cos

15、60=12OA,C正確;對于D選項,|OF+OD|=|OE|=1,|FA+OD-CB|=|FA+OD+AO|=|FA+AD|=|FD|=3,|OF+OD|FA+OD-CB|,D錯誤.故選BC.10.ACB=3,a+c=3b,(a+c)2=a2+c2+2ac=3b2,由余弦定理可得,a2+c2-2accos 3=b2,聯立,可得2a2-5ac+2c2=0,即2ac2-5ac+2=0,解得ac=2或ac=12.故選AC.11.AD對于A,如果a,c都是非零向量,b=0,顯然滿足已知條件,但是結論不一定成立,所以A中說法錯誤;如圖,D,E分別是AC,BC的中點,若2OA+OB+3OC=0,則2(OA

16、+OC)+(OB+OC)=0,即4OD+2OE=0,OE=-2OD,所以O,D,E三點共線,所以OD=16AB,則SAOCSABC=16,所以B中說法正確;兩個非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,則a與b共線且反向,所以C中說法正確;若向量ab,則a與b可能是共線向量,比如它們?yōu)橄喾聪蛄?所以D中說法錯誤.故選AD.12.CD對于A選項,設a,b的夾角為,b(a+2b),b(a+2b)=ab+2b2=0,|a|b|cos +2|b|2=0,|a|=4|b|,4|b|2cos +2|b|2=0,cos =-12,0,=23,A錯誤.對于B選項,設ab=,bc=t,tR,則(ab)c=a

17、(bc)c=ta,a,c均為任意向量,c=ta不一定成立,B錯誤.對于C選項,32,sin 6,ABC無解,錯誤;對于,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得36=b2+c2-3bc(2-3)bc,bc362-3=36(2+3),當且僅當b=c時,等號成立,SABC=12bcsin A=14bc9(2+3),SABC有最大值,正確;對于,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=32bc-1,又bcb+c22=25,當且僅當b=c時,等號成立,cos A3225-1=725,正確.故填.16.答案2解析設DAO=,則BAx=2-,OA=cos

18、,OD=sin ,點B的坐標為(cos +sin ,cos ).過點C作y軸的垂線CE,E為垂足,則CDE=,由此可得點C的坐標為(sin ,cos +sin ),OBOC=(cos +sin )sin +cos (cos +sin )=sin2+cos2+2sin cos =1+sin 22,當且僅當=4時,等號成立.故OBOC的最大值為2.四、解答題17.解析若選:cos A=35,cos C=255,sin A=45,sin C=55,(2分)sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=45255+3555=11525,(5分)由正弦定理可得b=asinBs

19、inA=31152545=33520,(8分)S=12absin C=1233352055=9940.(10分)若選:csin C=sin A+bsin B,由正弦定理可得c2=a+b2,(3分)a=3,b2=c2-3,(5分)又B=60,b2=c2+9-23c12=c2-3,c=4,(8分)S=12acsin B=33.(10分)若選:c=2,cos A=18,由余弦定理可得18=b2+22-322b2,(3分)即b2-b2-5=0,解得b=52或b=-2(舍去).(6分)易得sin A=378,(8分)ABC的面積S=12bcsin A=12522378=15716.(10分)18.解析(

20、1)2bcos A=ccos A+acos C,2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,(2分)2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B,(4分)sin B0,cos A=12,(5分)又A(0,),A=3.(6分)(2)ABAC=32,|AB|AC|cos A=32,bccos A=32,bc=3,(8分)a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-bc=16-9=7.(11分)a=7(負值舍去).(12分)19.解析(1)證明:由題意得AM=OM-OA=OB+OC=2OD.(4分)(2)解法一:由|BA+BC|=|AC|=6,得|BA+

21、BC|=|BC-BA|BABC=0ABC=90,(5分)此時O為AC的中點,M與B重合,P為ABC的重心,(6分)所以|PO|=13|BO|=1,(8分)所以AECF=(AP+PE)(CP+PF)=APCP+APPF+PECP+PEPF=|PO|2-|AO|2+PF(AP-CP)-1=-9+PFAC=-9+6cos-15,-3.(12分)解法二:由|BA+BC|=|AC|=6,得|BA+BC|=|BC-BA|BABC=0ABC=90,(5分)此時O為AC的中點,M與B重合,P為ABC的重心.(6分)建立如圖所示的平面直角坐標系,設A(0,a),C(c,0),則Pc3,a3,且a2+c2=36,

22、(7分)設E(x0,y0),則F2c3-x0,2a3-y0,則有AE=(x0,y0-a),CF=-c3-x0,2a3-y0,且x0-c32+y0-a32=1.(9分)設x0=c3+cos ,y0=a3+sin ,0,2,則AECF=x0-c3-x0+(y0-a)2a3-y0=c3+cos-2c3-cos+-2a3+sina3-sin=-29(a2+c2)-1+asin -ccos =-9+a2+c2sin(-)=-9+6sin(-)-15,-3,其中cos =aa2+c2,sin =ca2+c2.(12分)20.解析(1)在ABD中,c2=m2+14a2-macosADB.在ACD中,b2=m

23、2+14a2-macosADC.(2分)ADB+ADC=,cosADB+cosADC=0,b2+c2=2m2+12a2,m2=12(b2+c2)-14a2.(4分)a2+2bc=4m2,a2+2bc=2b2+2c2-a2,即b2+c2-a2=bc,cosBAC=b2+c2-a22bc=12.0BAC,BAC=3.(6分)(2)由a=4,BAC=3及正弦定理得asinBAC=bsinB=csinC=4sin3=833,b=833sin B,c=833sin C=833sin23-B,(8分)b+c=833sin B+833sin23-B=83332sinB+32cosB=8sinB+6.(10分)0B23,6B+656,12sinB+61,b+c(4,8,故ABC的周長的取值范圍是(8,12.(12分)21.解析(1)f(x)=2ab=2sin xsinx-6+2sin xcos x=3sin2x+12sin 2x=12sin 2x-32cos 2x+32=sin2x-3+32,x2,232x-353,(2分)-1sin2x-332,(3分)當2x-3=32,即x=1112時, f(x)取