測量誤差以及其產(chǎn)生原因

1、關(guān)于測量誤差及其產(chǎn)生的原因1第一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2一、觀測誤差 當(dāng)對某觀測量進(jìn)行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。 用數(shù)學(xué)式子表達(dá)： i = Li X (i=1,2n) L 觀測值 X真值 5-1 測量誤差概述 1、儀器的原因 儀器結(jié)構(gòu)、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。二、測量誤差的來源 測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個(gè)方面：第二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3 例如： DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為1，難以確保分以下 估讀值完全準(zhǔn)確無誤。 使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難

2、以保證厘米以下估讀值的準(zhǔn)確性。 儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。 例如：水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測量結(jié)果中含有i 角誤差或交叉誤差。水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤差。第三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4 2、人的原因 觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習(xí)慣因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會(huì)給觀測者成果帶來不同程度的影響。 人、儀器和外界環(huán)境通常稱為觀測條件； 觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測； 觀測條件不相同的各次觀測稱為不等精度觀測。 3、外界條件 例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。 例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸

3、縮陽光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過大使儀器安置不穩(wěn)定等。第四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月5三、測量誤差的分類 先作兩個(gè)前提假設(shè)： 觀測條件相同. 對某一量進(jìn)行一系列的直接觀測在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號(hào)及變化規(guī)律。第五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月6 先看兩個(gè)實(shí)例：例1：用名義長度為30米而實(shí)際長度為30.04米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見下表5-1： 表5-1 尺段數(shù) 一二三四五 N觀測值 306090120150 30 n真實(shí)長度30.0460.0890.12120.16150.20 30.04n真誤差-0.04-0.08-0.

4、12-0.16-0.20-0.04 n可以看出： 誤差符號(hào)始終不變，具有規(guī)律性。 誤差大小與所量直線成 正比，具有累積性。 誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。第六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月7例 2： 在厘米分劃的水準(zhǔn)尺上估讀毫米時(shí)，有時(shí)估讀過大，有時(shí)估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。 大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時(shí)偏左、有時(shí)偏右?？梢钥闯觯?從個(gè)別誤差來考察，其符號(hào)、數(shù)值始終變化，無任 何規(guī)律性。 多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。第七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月81.系統(tǒng)誤差 - 在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一

5、系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。 系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。2.偶然誤差-在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列 的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面 上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。 個(gè)別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3.粗差-觀測中的錯(cuò)誤叫粗差。 例如：讀錯(cuò)、記錯(cuò)、算錯(cuò)、瞄錯(cuò)目標(biāo)等。 錯(cuò)誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯(cuò)誤。 一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時(shí)更正或重測。引進(jìn)如下概念：第八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月9(二) 測量誤差的處理原則在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同

6、時(shí)產(chǎn)生。系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時(shí)間的多次觀測，消弱其影響。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。 采用合理的觀測方法：如對向觀測。 研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當(dāng)提高儀器等級(jí)。 進(jìn)行多余觀測，求最或是值。第九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10 四、 偶然誤差的特性 若i= Li X （i=1,2,3,358）表5-2第十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月11從表5-2中可以歸納出偶

7、然誤差的特性 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會(huì)超過一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率?。?絕對值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率； 當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值趨近于零。 用公式表示為： 實(shí)踐表明：觀測誤差必然具有上述四個(gè)特性。而且，當(dāng)觀測的個(gè)數(shù)愈大 時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。第十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月12-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖 為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作

8、誤差頻率直方圖(見下圖)。第十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月13 若誤差的個(gè)數(shù)無限增大(n)，同時(shí)又無限縮小誤差的區(qū)間d，則圖5-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。 即當(dāng)n時(shí)，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : (5-3) 為標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為 方差。 方差為偶然誤差平方的理論平均值：第十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月14正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : (5-3) 第十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月15從

9、5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即: 1.f()是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的f()相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。 2.愈小，f()愈大。當(dāng)=0時(shí)，f()有最大值; 反之，愈大，f()愈小。當(dāng)n時(shí)，f() 0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。 3.如果求f()二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)： 拐= 如果求f()在區(qū)間 的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個(gè)定值 ，所以當(dāng) 愈小時(shí)，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng) 愈大時(shí)，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù) 的值表征了誤差擴(kuò)散的特征。第十五張，PPT共七十七頁

10、，創(chuàng)作于2022年6月16f()+-11121-+f()2+-221221第十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月17觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ；觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ； 具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降； 具有 較大 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。最大縱坐標(biāo)點(diǎn)：第十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月185-2 衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)一.中誤差 誤差的概率密度函數(shù)為： 標(biāo)準(zhǔn)差 在測量工作中，觀測個(gè)數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式： 標(biāo)準(zhǔn)差中誤差 m 的不同在于

11、觀測個(gè)數(shù) n 上； 標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測在(n)時(shí)誤差分布的擴(kuò)散特征，即理論上的觀測指標(biāo)； 而中誤差則是一組同精度觀測在為 n 有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測精度指標(biāo)； 所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值； 隨著 n 的增大，m 將趨近于。 第十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月19必須指出： 同精度觀測值對應(yīng)著同一個(gè)誤差分布，即對應(yīng)著同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值即為中誤差。 同精度觀測值具有相同的中誤差。例3: 設(shè)對某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為 第一組： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1；

12、第二組： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 試求這兩組觀測值的中誤差。 由 解得：m1=2.7 m2=3.6 可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。第十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月20二、容許誤差（極限誤差） 根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d中的概率： p()=f() d 設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以k=1,2,3代入上式，可得： P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.5 P(3m)=0.997=99.7 由此可見：偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5，而大于3倍的誤差

13、僅占誤差總數(shù)的0.3。 由于一般情況下測量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到， 故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，或 稱為“限差”即容=2m第二十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月21三、相對誤差 在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如: 用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因?yàn)榱烤嗟恼`差與其長度有關(guān)。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。 相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即 。 上例為 K1= m1/L1

14、=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可見: 前者的精度比后者高。 與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。第二十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月225-3 算術(shù)平均值及其中誤差 設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次出該未知量的最或然值。 ，觀測值為L1、L2Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測值確定 設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得或故一、觀測值的算術(shù)平均值第二十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月23 設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測值的算術(shù)平均值， 即以X表示算術(shù)平均值的真誤差，即 代入上

15、式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)， x趨近于零，即:也就是說，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。第二十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月24 現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。 因?yàn)槭街校?n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為故 該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。 二、算術(shù)平均值的中誤差公式第二十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月25 三、同精度觀測值的中誤差 同精度觀測值中誤差的計(jì)算公式為而 這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也

16、就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求觀測值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測值的差數(shù)也可以求得，即第二十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月26因n為有限值，故在實(shí)用上可以用x的中誤差近似地代替x的真誤差，即 為用改正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。 用改正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為 第二十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月27 5-4 誤差傳播定律 在實(shí)際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值，需要由觀測值間接計(jì)算出來。例如某未知點(diǎn)B的高程HB，是由起始點(diǎn)A的高程HA加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差h1hn求和得出的。

17、這時(shí)未知點(diǎn)B的高程H。是各獨(dú)立觀測值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？ 闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。第二十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月28 一、倍數(shù)的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)： Z為觀測值的函數(shù)，K為常數(shù)，X為觀測值，已知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。 設(shè)x和z的真誤差分別為x和z則： 若對x 共觀測了n次，則： 將上式平方，得： 求和，并除以n，得第二十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月29 即，觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘常數(shù)。因?yàn)椋核裕旱诙艔垼琍PT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月

18、30 例： 在1：500比例尺地形圖上，量得A、 B兩點(diǎn)間的距離SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實(shí)地距離SAB及其中誤差msAB。 解：由題意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500（士0.2） =土100mm土0.1m 最后答案為：SAB=11.7m士0.1m第三十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月31 二、和或差的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)： Z為x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測值，已知其中誤差為mx、my，求Z的中誤差mZ。 設(shè)x、y和z的真誤差分別為x、y和z則 若對x、y 均觀測了n次，則

19、將上式平方，得第三十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月32 由于x、y均為偶然誤差，其符號(hào)為正或負(fù)的機(jī)會(huì)相同，因?yàn)閤、y為獨(dú)立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號(hào)互不相關(guān)，所以其乘積xy也具有正負(fù)機(jī)會(huì)相同的性質(zhì)，在求xy時(shí)其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng)n愈大時(shí)，上式中最后一項(xiàng)xy/n將趨近于零，即求和，并除以n，得 第三十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月33 將滿足上式的誤差x、y稱為互相獨(dú)立的誤差，簡稱獨(dú)立誤差，相應(yīng)的觀測值稱為獨(dú)立觀測值。對于獨(dú)立觀測值來說，即使n是有限量，由于 式殘存的值不大， 一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得 即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測

20、值中誤差的平方之和。第三十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月34 當(dāng)z是一組觀測值X1、X2Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)時(shí)，即可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為： 式中mxi是觀測值xi的中誤差。即，n個(gè)觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個(gè)觀測值中誤差平方之和。第三十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月35 當(dāng)諸觀測值xi為同精度觀測值時(shí)，設(shè)其中誤差為m，即 mx1=mx2=mxn=m則為這就是說，在同精度觀測時(shí)，觀測值代數(shù)和（差）的中誤差，與觀測值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。 例設(shè)用長為L的卷尺量距，共丈量了n個(gè)尺段，已知每尺段量距的中誤差都為m，求全長S的中誤差ms。解：因?yàn)槿LS=L

21、LL（式中共有n個(gè)L）。而L的中誤差為m。 量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。第三十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月36 例如以 30m長的鋼尺丈量 90m的距離，當(dāng)每尺段量距的中誤差為5mm時(shí)，全長的中誤差為第三十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月37 當(dāng)使用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，則每公里長度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對長度為S公里的距離丈量時(shí)，全長的真誤差將是S個(gè)一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為 式中，S的單位是公里。即：在距離丈量中，距離S的量距中誤差與長度S的平方根成正比。第三十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于20

22、22年6月38 例: 為了求得A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，今自A點(diǎn)開始進(jìn)行水準(zhǔn)測量，經(jīng)n站后測完。已知每站高差的中誤差均為m站，求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。 解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)間高差hAB等于各站的觀測高差hi（i=l，2n）之和， 即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 則 即水準(zhǔn)測量高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。 第三十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月39 在不同的水準(zhǔn)路線上，即使兩點(diǎn)間的路線長度相同，設(shè)站數(shù)不同時(shí)，則兩點(diǎn)間高差的中誤差也不同。但是，當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時(shí)，每公里的水準(zhǔn)測量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點(diǎn)間的水準(zhǔn)路線為S公里時(shí)，

23、A、B點(diǎn)間高差的中誤差為即，水準(zhǔn)測量高差的中誤差與距離S的平方根成正比。或第三十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月40 在水準(zhǔn)測量作業(yè)時(shí)，對于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū)，可用 式計(jì)算高差的中誤差； 對于起伏較大的地區(qū)，則用 式計(jì)算高差的中誤差。 例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)行水準(zhǔn)測量時(shí)，每公里高差的中誤差為20mm，則按這種水準(zhǔn)測量進(jìn)行了25km后，測得高差的中誤差為 第四十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月41三、線性函數(shù) 設(shè)有線性函數(shù)： 則有 例 設(shè)有線性函救觀測量的中誤差分別為，求Z的中誤差 第四十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月42四、一般函數(shù)

24、 式中 xi (i=1，2n)為獨(dú)立觀測值，已知其中誤差為mi(i=1 2n)，求z的中誤差。 當(dāng)xi具有真誤差時(shí)，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差z。這些真誤差都是一個(gè)小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達(dá)。第四十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月43式中 （i=l，2n）是函數(shù)對各個(gè)變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：第四十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月44 例 設(shè)有某函數(shù)z=Ssin 式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m； =1194500，其中誤差m=20.6；求z的中

25、誤差mz。解：因?yàn)閦=Ssin，所以z是S及a的一般函數(shù)。第四十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月45求觀測值函數(shù)的精度時(shí)，可歸納為如下三步： 1）按問題的要求寫出函數(shù)式： 2）對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式：式中， 是用觀測值代入求得的值。 3）寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式： 第四十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月46例如，設(shè)有函數(shù)z=xy，而y=3x，此時(shí)， 。因?yàn)閤與y不是獨(dú)立觀測值， 因?yàn)椴徽搉值多少，恒有因此，應(yīng)把Z化成獨(dú)立觀測值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中X與3X兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測值X組成的，必須先并項(xiàng)為z= 4x

26、 而后求其中誤差，即mz= 4mx第四十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月47 5-5 廣義算術(shù)平均值及權(quán) 如果對某個(gè)未知量進(jìn)行n次同精度觀測，則其最或然值即為n次觀測量的算術(shù)平均值：一、廣義算術(shù)平均值第四十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月48在相同條件下對某段長度進(jìn)行兩組丈量：第一組：第二組： 算術(shù)平均值分別為第四十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月49其中誤差分別為：第四十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月50全部同精度觀測值的最或然值為：第五十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月51在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，稱為的權(quán)。令第五十一張，PP

27、T共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月52若有不同精度觀測值其權(quán)分別為該量的最或然值可擴(kuò)充為：稱之為廣義算術(shù)平均值（加權(quán)平均值）。第五十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月53當(dāng)各觀測值精度相同時(shí)第五十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月54二、 權(quán)定權(quán)的基本公式：稱為中誤差，為單位權(quán)觀測值，當(dāng)觀測值稱為單位權(quán)，單位權(quán)中誤差。第五十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月55權(quán)的特性 1 反映了觀測值的相互精度關(guān)系。 3 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系 。值的 大小，對X值毫無影響。2第五十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月56 4 若同類量的觀測值，此

28、時(shí)，權(quán)無單位。若 是不同類量的觀測值，權(quán)是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。第五十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月57例：已知的中誤差分別為：設(shè)若設(shè)第五十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月581 水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)例：常用定權(quán)公式第五十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月59 當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)路線分別觀測了3, 4, 6, 5 測站。第五十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月60令c=3,令c=4,第六十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月61 水準(zhǔn)路線的長分別為設(shè)每公里水準(zhǔn)測量觀測的

29、中誤差為第六十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月62 當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測的權(quán)與路線長度成反比。第六十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月63當(dāng) S= c =10公里 的水準(zhǔn)路線的觀測高差為單位權(quán)觀測。每測站觀測高差精度相同時(shí)：每公里觀測高差精度相同時(shí)：第六十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月64例 對某角作三組同精度觀測： 第一組測4測回，算術(shù)平均值為 第二組測6測回，算術(shù)平均值為 第三組測8測回，算術(shù)平均值為 三 、不同個(gè)數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。第六十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月65由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測值求得

30、的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測值個(gè)數(shù)成正比。第六十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月66令第六十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月675-6 單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式 在同精度觀測中，觀測值的精度是相同的，因此可用來計(jì)算觀測值的中誤差。在不同精度觀測中，每個(gè)觀測值的精度不同，就必須先求出單位權(quán)中誤差，然后根據(jù) 求出各觀測值的中誤差。 以推導(dǎo)計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式為第六十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月68 5-7 由真誤差計(jì)算中誤差 對于一組同精度或不同精度觀測值來說，如果已經(jīng)知道它們的真誤差，則可按式 計(jì)算觀測值的中誤差； 用 式計(jì)算單位權(quán)中誤差。第六十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月69一、由三角形閉合差求測角中誤差 上式就是由三角形閉合差計(jì)算的測角中誤差的公式，名為菲列羅公式。 在三角測量中，通常用它來初步評定測角精度。 第六十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月70二、由同精度雙觀測值的差數(shù)來觀測