數(shù)字電路課件第2章邏輯代數(shù)基礎2

1、 由此可以看出：與或表達式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的。公式可推廣：2.4 邏輯函數(shù)的性質邏輯函數(shù)表達式與邏輯圖有直接關系 表達式越簡單，實現(xiàn)該邏輯函數(shù)所需的邏輯關系就越少，這樣即節(jié)省集成電路數(shù)目，焊接點又少，大大提高電路的可靠性需要對邏輯函數(shù)進行化簡 與非邏輯 它是“與”和“非”的復合邏輯，表達式為： F=ABA B F0 0 10 1 1 0 11 1 0 ABFABF與非門邏輯符號用單一的與非門可以實現(xiàn)三種基本邏輯運算：2.4.1 復合邏輯 ABF1 與運算非運算或運算 ABF3 AF22. 或非邏輯 或非邏輯是“

2、或”和“非”的符復合邏輯，它與“與非”邏輯互為對偶，它的邏輯表達式為：A B F0 0 10 1 0 0 01 1 01ABFAB或非門邏輯符號F 或非門可以有多個輸入端，其邏輯功能是：只要輸入端有一個為 1 時，輸出必為 0 ；只有輸入端全為 0 時，輸出才為 1 。 同樣，或非門也能實現(xiàn)三種基本運算：1ABF311AF2111ABF1與運算非運算或運算3. 與或非邏輯 與或非邏輯是“與”、“或”、“非”的復合邏輯，其表達式為：1ABCDFCDABF與或非門邏輯符號4. 異或邏輯 對于二輸入變量問題，當二輸入值相異時，輸出為 1 ；當二輸入值相同時，輸出為 0 。二輸入變量的異或表達式：式中

3、符號 表示異或運算。它的邏輯功能可用下列真值表說明。A B F0 0 00 1 1 0 11 1 0= 1A BA BFF異或邏輯有下列等式：5. 同或邏輯 對于二輸入變量問題，當二輸入值相同時，輸出為 1 ；當二輸入值相異時，輸出為 0 。二輸入變量的同或表達式：它的邏輯功能可用下列真值表說明。A B F0 0 10 1 0 0 01 1 1式中符號表示同或運算。= 1A BA BFF6. 異或運算與同或運算之間的關系： 互補關系 對偶關系當 n 為偶數(shù)個變量時，有當 n 為奇數(shù)個變量時，有即：（偶數(shù)）異或運算和同或運算的基本代數(shù)性質01律 (a) A0 =A A1 =A (b) A0 =A

4、 A1 =A交換律 (a) AB =BA (b) AB =BA分配律 (a) A(BC) =ABAC (b) A(BC) =(AB)(AC)結合律 (a) A(BC) = (AB)C (b) A(BC) =(A B )C調換律 (a)若 AB = C 則 AC = B ， CB = A (b) 若AB = C 則 AC = B ， CB = A 一個邏輯命題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來描述，這些邏輯函數(shù)的真值表都是相同的，如果以函數(shù)式中所含的變量乘項的特點以及乘積項之間的邏輯關系來分類，邏輯表達式可以分成與或、或與、與非、或非、與或非、或與非等形式。2.4.2 邏輯函數(shù)的基本表達式F=AB+AB

5、 與或式 =（A+B）（A+B） 或與式 =A B AB 與非式 =（A+B）+（A+B） 或非式 =AB+AB 與或非式2.4.2 邏輯函數(shù)的基本表達式2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式 一個邏輯命題的三種表示法：真值表 邏輯表達式 卡諾圖真值表是邏輯函數(shù)最基本的表達方式，具有唯一性；由真值表可以導出邏輯表達式和卡諾圖；由真值表導出邏輯表達式的兩種標準形式：最小項之和最大項之積最小項：n個變量有2n個最小項，記作mi3個變量有23（8）個最小項m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567在邏輯函數(shù)中，有n個變量為A1An，m是這n個變量的與項，

6、若與項m是包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。一、最小項和最大項最小項二進制數(shù)十進制數(shù)編號最小項編號i，各輸入變量取值看成二進制數(shù)，用1代表原變量，0代表反變量對應的十進制數(shù)。2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式乘積項和項2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）為了區(qū)別不同變量數(shù)n的相同最小項符號，可以給最小項符號mi加上一個上角標n，如剛才的可以寫成 0 0 1A B C0 0 0m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000000000010000001000000

7、1000000100000010000001111111三變量的最小項： 最小項的性質2 同一組變量取值任意兩個不同最小項的乘積為0，即： mi mj = 0 (ij)3 全部最小項之和為1，即：1 在輸入變量的任意取值下，必有一個且只有一 個最小項的值為1，其它最小項的值均為0。2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）性質4：若干個最小項之和等于其余最小項和之反例m3+m2=m0+m1， m0=m1+m2+m3A B m3 m2 m1 m00 0 0 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0n個變量有2n個最大項，記作i。在邏輯函數(shù)中，有n個變量為A1An，M

8、是這n個變量的或項，若和項M包括全部n個變量（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。最大項最大項編號i：把或項中的原變量記做“0”，反變量記做“1”，此二進制數(shù)所對應的十進制數(shù)就是其值。三變量的最大項 M0M100000101 M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567 同一組變量取值，任意兩個不同最大項的和為1，即Mi + Mj = 1 (ij) 全部最大項之積為0，即 在輸入變量的任意取值下，必有一個且只有一個最大項的值為0，其它最大項的值均為1;最大項的性質 最小項與最大項的關系 相同編號的最小項和最大項存在互補關系最小項的反是最大項；最大項

9、的反是最小項即: mi =Mi Mi =mi如： 最小項與最大項的關系 例：m1m3m5m7= 若干個最小項之和表示的表達式 F，其反函數(shù)F可 用等同個與這些最小項相對應的最大項之積表示。即：可推出：= m0 + m2 + m4 +m62.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）性質： 最小項的性質和最大項的性質之間具有對偶性，例如，全部最小項之和恒等于“1”；那么，全部最大項之積恒等于“0”，其他性質可以類推。2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）二、積之和表達式（與或表達式） 邏輯函數(shù)被表達成一系列乘積項之和，則稱之為積之和表達式，也叫與或表達式。邏輯函數(shù)的標準形式 最小項標準式（標準積之和表達式）

10、F(A、B、C、D)例：求函數(shù)F(A、B、C)的標準積之和表達式解：F(A、B、C)利用反演律利用互補律，補上所缺變量C解:式中的每一個乘積項均為最小項最小項標準式（標準積之和表達式）A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的最小項標準式 從真值表找出F為1的對應最小項0 1 1 3 3 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后將這些項邏輯加F(A、B、C)邏輯函數(shù)的標準形式2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）函數(shù)的最小項標準式例：寫出函數(shù)

11、Y（ABC）=AB+BC+CA的最小項表達式。 解：這是一個包含ABC三個變量的邏輯函數(shù)表達式，乘積項AB中缺少C，利用（C+C）乘以AB，同理（A+A）乘以BC，（B+B）乘以ACY=AB （C+C） +BC （A+A） +CA （B+B） =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC =m7+m6+m3+m5 =m3（3，5，6 ，7 ）利用了重疊律A+A=A2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）函數(shù)的最小項標準式練習：寫出函數(shù)Y（ABC）=A+BC的最小項表達式。 2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）函數(shù)的最小項標準式例：寫出函數(shù)Y（ABC）=A+BC

12、的最小項表達式。 解：Y=A（B+B）（C+C）+BC （A+A） =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+A BC+A B C+ABC =m3+m2+m1+m0+m7 =m3（0，1，2 ，3 ，7 ）2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）函數(shù)的最小項標準式例：函數(shù)Y=AB+BC的真值表如下，求函數(shù)Y的最小項表達式。 由表可知，使Y=1的輸入變量 ABC的取值組合有001、010、011 、101四組，相應的最小項為四項，所以，最小項表達式為Y=ABC+ABC+ABC+ABC Y=m1+m2+m3+m5 =m3（1，2，3，5） A B C Y 0 0 0 0 0

13、0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 02.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）反函數(shù)的最小項標準式如果將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達式例：寫出上一函數(shù)Y（ABC）=AB+BC的反函數(shù)Y最小項表達式。 解：Y =m0+m4+m6+m7 =m3（0，4，6 ，7 ）2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）三、函數(shù)的最大項標準式邏輯函數(shù)被表達成一系列和項這積，則稱為和之積表達式，也稱為函數(shù)的或與表達式，如果構成函數(shù)的或與表達式中的每一個項均為最大項，則稱這種表達式為最大項標準式如F=（A+B+C）（A+B+

14、C） （A+B+C）邏輯函數(shù)最大項表達式可由真值表直接寫出，并且和真?zhèn)俦硪粯樱簿哂形ㄒ恍杂眠壿嫶鷶?shù)的基本定律和公式，也可將邏輯函數(shù)的其他表達式展開或變換成最大項表達式2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式（續(xù)）三、函數(shù)的最大項標準式例：寫出函數(shù)Y（ABC）=（A+C）（A+B）的最大項表達式。 解：Y=(A+C)+(BB)(A+B)+(CC) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =M0M2M4M5 =M3（0，2 ，4 ，5 ） 如果給定的邏輯函數(shù)的真值表，如是該行的函數(shù)值是0，則函數(shù)的最大項表達式中應包含該行對應的最大項。 三、函數(shù)的最大項標準式 某個最大項不是包含在F中，

15、就是包含在F中。函數(shù)的簡化依據(jù) 邏輯電路所用門的數(shù)量少 每個門的輸入端個數(shù)少 邏輯電路構成級數(shù)少 邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性2.5 邏輯函數(shù)的化簡最簡式的標準 首先是式中乘積項最少 乘積項中含的變量少 與或表達式的簡化與門的輸入端個數(shù)少方法： 并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B 消項： 利用A + AB = A消去多余的項AB 配項：利用和互補律、 重疊律先增添項，再消去多余項BC 消元：利用消去多余變量A2.5.1 代數(shù)化簡法 實現(xiàn)電路的與門少 下級或門輸入端個數(shù)少例 用并項法化簡 下列邏輯函數(shù) F1=ABCD+ABCDF2=AB+ACD+A B+AC

16、D 解：F1=A(BCD+BCD)=A F2=A(B+CD)+A(B+CD) =（B+CD ）（A+A） =（B+CD）2. 吸收法 利用定理：A+AB=A可將AB項消去。A和B同樣也可以是任何一個復雜的邏輯式。例:用吸收法化簡下列邏輯函數(shù)F1=(AB+C)ABD+ADF2=AB+AB C+ABD+AB(C+D)解： F1=(A B + C)BAD+AD = AD F2=AB+AB C+D+（C+D)= AB 3. 消項法 利用定理5： AB+AC+BC=AB+AC 及 AB+AC+BCD=AB+AC將BC或BCD消去。其中A、B、C、D都可以是任何復雜的邏輯式。例 用消項法化簡下列邏輯函數(shù)

17、F1=AC+AB+B+C = AC+BC F2=ABCD+ABE+ACDE =(AB)CD+(AB)E + (CD)EA=ABCD+ABE 4. 消因子法 利用定理2：A+AB=A+B可將AB中的A消去。A、B均可以是任何復雜的邏輯式。例 利用消因子法化簡下列邏輯函數(shù)F1=B+ABC F2=AB+B+AB解： F1=B+ABC=B+AC F2=AB+B+AB=A+B+AB=A+B 5. 配項法 (1) 根據(jù)基本公式中的A+A=A可以在邏輯函數(shù)式中重復寫入某一項，有時能獲得更加簡單的化簡結果。例 化簡邏輯函數(shù)F=ABC+ABC+ABC。解：若在式中重復寫入ABC，則可得到 F =(ABC + A

18、BC)+(ABC+ABC) =AB(C+C)+BC(A+A) =AB+BC代數(shù)法化簡函數(shù)例：試簡化函數(shù)解：利用反演律配項加AB消因律消項AB 或與表達式的簡化F（或與式）求對偶式 F（與或式）簡化 F（最簡與或式）求對偶式 F（最簡或與式）化簡利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。 例：Y=A+AB(A+CD)+ABCD代數(shù)法化簡函數(shù)例：試簡化函數(shù)解：消項DEF消因律 或與表達式的簡化F（或與式）求對偶式 F（與或式）簡化 F（最簡與或式）求對偶式 F（最簡或與式） 卡諾圖（K圖）A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m

19、3BBAAABABBA1010 m0 m2 m1 m3 miCAB01000111100001111000011110 m0 m2 m4 m6 m1 m3 m5 m7 m0 m4 m8 m12 m1 m5 m9 m13 m3 m7 m11 m15 m2 m6 m10 m14CDAB二變量K圖三變量K圖四變量K圖2.5.2 卡諾圖化簡法圖中的一小格對應真值表中的一行，即對應一個最小項，又稱真值圖。ABABK圖的特點圖形法化簡函數(shù) k圖為方形圖。n個變量的函數(shù)k圖有2n個小方格，分別對應2n個最小項； k圖中行、列兩組變量取值按格雷碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆?/p>

20、格內，只有一個因子不同。 有三種相鄰：幾何、相對（行列兩端）和對稱相鄰（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰。P350001111000011110 m0 m4 m8 m12 m1 m5 m9 m13 m3 m7 m11 m15 m2 m6 m10 m14CDAB四變量K圖圖形法化簡函數(shù)0001111000011110 m0 m4 m8 m12 m1 m5 m9 m13 m3 m7 m11 m15 m2 m6 m10 m14CDAB四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結果消去一個變量CBD CBC1四個相鄰格圈在一起，結果消去兩個變量。八個相鄰格圈在一起，結果消去三個變量。十六個相鄰格圈在一起，

21、結果mi=1 卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則 幾何相鄰的2i（i = 1、2、3n）個小格可合并在一起構成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含（n - i）個變量的積項標注該圈。圖形法化簡函數(shù) 與或表達式的簡化步驟 先將函數(shù)填入相應的卡諾圖中，存在的 最小項對應的方格填1，其它填0或不填。 合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起 來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重 復包圍，但每個圈內必須有新的最小項。 每個圈寫出一個乘積項，按取同去異原則 最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達 式。 根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖1、已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對應的格填 1，其余格均填0或不填；2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表

22、中使函數(shù)值為1的那 些最小項對應的方格填1，其余格均填0；例子3、函數(shù)為一個復雜的運算式，則先將其變成與或式， 再用直接法填寫。例子 作圈的步驟1、孤立的單格單獨畫圈；2、圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復包圍但每個圈內必須 有新的最小項；3、含1的格都應被圈入，以防止遺漏積項。圖形法化簡函數(shù)例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非與非式。解：0100011110001110CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15兩次填10000圖形法化簡函數(shù)例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖ABCF000 0 0 1 01001110010111011

23、100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0 010111001110圖形法化簡函數(shù)例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖ABCF000 0 0 1 01001110010111011100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0ABABCF=ABC+AB得：圖形法化簡函數(shù)為了更有規(guī)律的化簡邏輯函數(shù)，先來看幾個概念 蘊涵項 在函數(shù)的與或表達式中，每一個與項稱為該函數(shù)的 。對應在卡諾圖中它就是一個卡諾圈。 質蘊涵 函數(shù)中的蘊涵項不是該函數(shù)的其它蘊涵項的子集，則此蘊涵項稱為 ，在卡諾圖中稱之為極大圈。 實質最小項 只被一個質蘊

24、涵所覆蓋的最小項稱為 ，又稱實質 1 單元。 必要質蘊涵 包含實質最小項的質蘊涵，稱為 ，在卡諾圖上稱為必要極大圈。 卡諾圖上的最小覆蓋 挑選數(shù)目最少的質蘊涵（極大圈），即覆蓋了卡諾圖上所有標 1 的小方格，這就是 。例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDA B C化簡得：最簡與非與非式為：圖形法化簡函數(shù)用卡諾圖化簡1. F= m4（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）2. F（ABCD）=AD+ABD+ABCD+ABCD3. F（ABC）=AB+BC+BC+AB卡諾圖化簡的另一種方法圈

25、0法 如果一個邏輯函數(shù)用卡諾圖表示后，里面的0很少且相鄰性很強，這時用圈0法更簡單。但要注意，圈0后，應寫出反函數(shù)F，再取反，得原函數(shù)卡諾圖化簡的另一種方法圈0法F= m4（0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15） 2.5.3 利用無關項輸入簡化函數(shù)表達式一、約束項、任意項和無關項1、約束項：在具體邏輯電路中，某些邏輯變量的取值不是任意的，對輸入變量取值所加的限制稱為約束，同時，把這一組變量稱為具有約束的一組變量。若有三個邏輯變量ABC分別表示一臺電動機的正轉、反轉和停止，即A=1表示正轉，B=1表示反轉，C=1表示停止，則ABC取值只能是001、010、100，而不

26、能是其它5種組合2.5.3 利用無關項輸入簡化函數(shù)表達式1、約束項：即具有約束ABC=ABC=ABC=ABC=ABC=0ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0這些恒等于0的最小項稱為約束項2.5.3 利用無關項輸入簡化函數(shù)表達式2、任意項：任意項指輸入在某些取值下函數(shù)取值01均可，并不影響電路功能。例：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關系2.5.3 利用無關項輸入簡化函數(shù)表達式紅燈 綠燈 黃燈 車A B C F0 0 0 0 0 1 00 1 0 10 1 1 0 0 01 0 1 1 0 1 1 1 2.5.3 利用無

27、關項輸入簡化函數(shù)表達式 在這個函數(shù)中，有5個最小項是不會出現(xiàn)的，如三個燈都亮，都不亮，因為一個正常的系統(tǒng)不可能出現(xiàn)這樣的情況，如果出現(xiàn)了，車也可以停也可以行，即邏輯任意值，對應的5個最小項稱為任意項2.5.3 利用無關項輸入簡化函數(shù)表達式3、無關項：存在約束的情況下，由于約束項恒為0，所以既可以把約束項放到邏輯函數(shù)中，也可以在邏輯函數(shù)中刪除某些約束項，同樣，任意項也可以寫入或不寫入，因而把任意項和約束項統(tǒng)稱這無關項。無關項在卡諾圖中用d或 表示。帶有無關項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為F= m3（ ）+ d3（ ）2.5.3 利用無關項輸入簡化函數(shù)表達式定義：當函數(shù)輸出與某些輸入組合無關時，這些輸入組合稱為無關項。產生原因： 這些輸入組合在正常操作中不會出現(xiàn)(即輸入具有約束條件)； 即使這些