八年級二次根式教師講義帶答案

1、第五章 二次根式【知識網(wǎng)絡(luò)】知識點一： 二次根式的概念形如的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開方數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時，沒有意義。知識點三：二次根式的非負(fù)性表示a的算術(shù)平方根，也就是說，是一個非負(fù)數(shù)，即0。注：因為二次根式表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的

2、算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0，這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如假設(shè)，那么00；假設(shè)，那么00；假設(shè)，那么00。知識點四：二次根式的性質(zhì)文字語言表達為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：假設(shè)，那么，如：，.知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言表達為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，假設(shè)是正數(shù)或0，那么等于a本身，即；假設(shè)a是負(fù)數(shù)，那么

3、等于a的相反數(shù),即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不管a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進展化簡。知識點六：及的異同點1、不同點：及表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)。但及都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差異的，而2、一樣點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：應(yīng)為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；(3)乘法公式的推廣：2二次根式的

4、加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質(zhì)；3二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算及整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法那么及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進展二次根式的混合運算.1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法那么及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次

5、根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法及乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進展乘法運算，二是進展加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進展約分，到達化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.例如，沒有必要先對進展化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進展乘法運算，通過約分到達化簡目的；(2)多項式的乘法法那么及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進展二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.4分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式

6、的代數(shù)式相乘，假設(shè)它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：1互為有理化因式；2互為有理化因式；一般地互為有理化因式；3互為有理化因式；一般地互為有理化因式.專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題專題1 二次根式的最值問題【專題解讀】涉及二次根式的最值問題，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況來決定應(yīng)采用的方法，不能一概而論，但一般情況下利用二次根式的非負(fù)性來求解.例1 當(dāng)x取何值時，的值最??？最小值是多少？分析 由二次根式的非負(fù)性可知的最小值為0，因為3是常數(shù)，所以的最小值為3.解：，當(dāng)91=0，即時，有最小值，最小值為3.【解題策略】解決此類問題一定要熟練掌握二次根式的非負(fù)性

7、，即0a0.專題2 二次根式的化簡及混合運算【專題解讀】對于二次根式的化簡問題，可根據(jù)定義，也可以利用這一性質(zhì)，但應(yīng)用性質(zhì)時，要根據(jù)具體情況對有關(guān)字母的取值范圍進展討論.例2 以下計算正確的選項是 分析 根據(jù)具體選項，應(yīng)先進展化簡，再計算. A選項中，B選假設(shè)可化為，C選項逆用平方差公式可求得，而D選項應(yīng)將分子、分母都乘，得.應(yīng)選A. 例3 計算的結(jié)果是 分析 此題可逆用公式及平方差公式，將原式化為應(yīng)選D.例4 書知.分析 此題主要利用二次根式的定義及非負(fù)性確定x的值，但要注意所得x的值應(yīng)使分式有意義.解：由二次根式的定義及分式性質(zhì)，得【解題策略】 此題中所求字母x的取值必須使原代數(shù)式有意義.

8、例5 化簡【解題策略】 此題應(yīng)根據(jù)條件直接進展化簡，主要應(yīng)用性質(zhì)圖21-8例6 實數(shù)，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖21-8所示，化簡解：由a，b，c在數(shù)軸上的位置可知：【解題策略】 利用間接給出的或隱含的條件進展化簡時，要充分挖掘題目中的隱含條件，再進展化簡.規(guī)律方法 對于無約束條件的化簡問題需要分類討論，用這種方法解題分為以下步驟：首先，求出絕對值為零時未知數(shù)的值，這些未知數(shù)的值在數(shù)軸上的對應(yīng)點稱為零點；其次，以這些零點為分點，把數(shù)軸劃分為假設(shè)干局部，即把實數(shù)集劃分為假設(shè)干個集合，在每個集合中分別進展化簡，簡稱“零點分區(qū)間法.例8 分析 這是一道二次根式化簡題，在化為最簡二次根式的過程中，要

9、注意a，b的符號，此題中沒明確告訴，a，b的符號，但可從3，12中分析得到.解：3，12，a0，b0.【解題策略】 此題最容易出現(xiàn)的錯誤就是不考慮a，b的符號，把所求的式子化簡，直接代入. 專題3 利用二次根式比擬大小、進展計算或化簡例9 估計+的運算結(jié)果應(yīng)在 A. 6到7之間B. 7到8之間C. 8到9之間D. 9到10之間分析 此題應(yīng)計算出所給算式的結(jié)果，原式，由于，即. 應(yīng)選C.m是的整數(shù)局部，n是的小數(shù)局部，求的值. 解：91316，即34的整數(shù)局部為3，即3，的小數(shù)局部為二、規(guī)律方法專題專題4 配方法【專題解讀】 把被開方數(shù)配方，進而應(yīng)用化簡.例11 化簡規(guī)律方法 一般地，對于型的根

10、式，可采用觀察法進展配方，即找出x，y(xy0)，使得，那么，于是，從而使得到化簡.例12 假設(shè)a，b為實數(shù)，且，試求的值.分析 此題中根據(jù)可以求出a，b，對的被開方數(shù)進展配方、化簡.解：由二次根式的性質(zhì)得當(dāng)【解題策略】 對于形如形式的代數(shù)式都要變?yōu)榛虻男问剑?dāng)它們作為被開方式進展化簡時，要注意專題5 換元法【專題解讀】 通過換元將根式的化簡和計算問題轉(zhuǎn)化為方程問題.例13 計算解：令，兩邊同時平方得：x2=+2=10專題6 代入法【專題解讀】 通過代入求代數(shù)式的值.例14 專題7 約分法【專題解讀】 通過約去分子和分母的公因式將第二次根式化簡.例15 化簡例16 化簡三、思想方法專題專題8

11、類比思想【專題解讀】 類比是根據(jù)兩對象都具有一些一樣或類似的屬性，并且其中一個對象還具有另外某一些屬性，從而推出另一對象也具有及該對象一樣或相似的性質(zhì).本章類比同類項的概念，得到同類二次根式的概念，即把二次根式化簡成最簡二次根式后，假設(shè)被開方數(shù)一樣，那么這樣的二次根式叫做同類二次根式.我們還可以類比合并同類項去合并同類二次根式.例17 計算.解：1原式=1+2=3. 2原式=32+2=2+4.【解題策略】 對于二次根式的加減法，應(yīng)先將各式化為最簡二次根式，再類比合并同類項的方法去合同類二次根式.專題9 轉(zhuǎn)化思想【專題解讀】 當(dāng)問題比擬復(fù)雜難于解決時，一般應(yīng)采取轉(zhuǎn)化思想，化繁為簡，化難為易，本章

12、在研究二次根式有意義的條件及一些化簡求值問題時，常轉(zhuǎn)化為不等式或分式等知識加以解決. 例18 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 .分析 此題比擬容易，主要考察函數(shù)自變量的取值范圍的求法，此題中是二次根式，所以被開方數(shù)240,所以x2.故填x2.例19 如圖21-9所示的是一個簡單的數(shù)值運算程序，假設(shè)輸入x的值為，那么輸出的數(shù)值為 .圖21-9分析 此題比擬容易，根據(jù)程序給定的運算順序?qū)栴}化為二次根式求值問題，易知圖中所表示的代數(shù)式為，代入可知2-1=2.故填2.專題10 分類討論思想【專題解讀】 當(dāng)遇到某些數(shù)學(xué)問題存在多種情況時，應(yīng)進展分類討論.本意在運用公式進展化簡時，假設(shè)字母的取值范圍不確定

13、，應(yīng)進展分類討論.例20 假設(shè)化簡的結(jié)果為，那么x的取值范圍是 A. x為任意實數(shù) B. 1x4C. x1 D. x4分析 由題意可知，由此可知，且，由絕對值的意義可知，且，所以的取值范圍是.應(yīng)選B.【解題策略】 對和形式的式子的化簡都應(yīng)分類討論.例21 如圖21-10所示的是一塊長、寬、高分別為7，5和3的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的外表爬到和頂點A相對的頂點B處吃食物，那么它要爬行的最短路徑的長是多少？分析 這是一個求最短路徑的問題，一個長方體有六個面，螞蟻有三種不同的爬行方法，計算時要分類討論各種方法，進而確定最正確方案.解：沿前、右兩個面爬，路徑長為(

14、).圖21-10沿前、上兩個面爬，路徑長為().沿左、上兩個面爬，路徑長為().所以它要爬行的最短路徑長為.規(guī)律方法 沿外表從長方體的一個頂點爬到相對的頂點去，共有三個爬行路線，每個路線長分別是它爬行兩個展開圖的對角線的長.二次根式單元測試題一判斷題：每題1分，共5分1222的倒數(shù)是234、是同類二次根式5，都不是最簡二次根式二填空題：每題2分，共20分6當(dāng)時，式子有意義7化簡 8a的有理化因式是9當(dāng)1x4時，4|10方程x1x1的解是11a、b、c為正數(shù)，d為負(fù)數(shù)，化簡12比擬大小：13化簡：(75)2000(75)200114假設(shè)0，那么(x1)2(y3)215x，y分別為8的整數(shù)局部和小

15、數(shù)局部，那么2y2三選擇題：每題3分，共15分16x，那么Ax0Bx3Cx3D3x017假設(shè)xy0，那么A2xB2yC2xD2y18假設(shè)0 x1，那么等于ABC2xD2x19化簡a0得ABCD20當(dāng)a0，b0時，a2b可變形為ABCD四計算題：每題6分，共24分21；a2a2b2；ab五求值：每題7分，共14分25x，y，求的值x1時，求的值解答題：每題8分，共16分27.計算2128. 假設(shè)x，y為實數(shù)，且y求的值一判斷題：每題1分，共5分1、【提示】|2|2【答案】2、【提示】2【答案】3、【提示】1|，x1x1兩式相等，必須x1但等式左邊x可取任何數(shù)【答案】4、【提示】、化成最簡二次根式

16、后再判斷【答案】5、是最簡二次根式【答案】二填空題：每題2分，共20分6、【提示】何時有意義？x0分式何時有意義？分母不等于零【答案】x0且x97、【答案】2a【點評】注意除法法那么和積的算術(shù)平方根性質(zhì)的運用【提示】aa2a【答案】a9、【提示】x22x12，x1當(dāng)1x4時，x4，x1是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？x4是負(fù)數(shù)，x1是正數(shù)【答案】310、【提示】把方程整理成b的形式后，a、b分別是多少？，【答案】x3211、【提示】【答案】【點評】0，c2d212、【提示】2，4【答案】【點評】先比擬，的大小，再比擬，的大小，最后比擬及的大小13、【提示】(75)2001(75)2000757575？1【答案

17、】75【點評】注意在化簡過程中運用冪的運算法那么和平方差公式14、【答案】40【點評】0，0當(dāng)0時，x10，y3015、【提示】34，84，5由于8介于4及5之間，那么其整數(shù)局部x？小數(shù)局部y？x4，y4【答案】5【點評】求二次根式的整數(shù)局部和小數(shù)局部時，先要對無理數(shù)進展估算在明確了二次根式的取值范圍后，其整數(shù)局部和小數(shù)局部就不難確定了三選擇題：每題3分，共15分16、【答案】D【點評】此題考察積的算術(shù)平方根性質(zhì)成立的條件，A、C不正確是因為只考慮了其中一個算術(shù)平方根的意義17、【提示】xy0，xy0，xy0yxxy【答案】C【點評】此題考察二次根式的性質(zhì)18、【提示】(x)24(x)2，(x

18、)24(x)2又0 x1，x0，x0【答案】D【點評】此題考察完全平方公式和二次根式的性質(zhì)A不正確是因為用性質(zhì)時沒有注意當(dāng)0 x1時，x019、【提示】a【答案】C20、【提示】a0，b0，a0，b0并且a，b，【答案】C【點評】此題考察逆向運用公式aa0和完全平方公式注意A、B不正確是因為a0，b0時，、都沒有意義四計算題：每題6分，共24分21、【提示】將看成一個整體，先用平方差公式，再用完全平方公式【解】原式()252326222、【提示】先分別分母有理化，再合并同類二次根式【解】原式43123、【提示】先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再用乘法分配律展開，最后合并同類二次根式【解】原式a224、【提示】此題應(yīng)先將兩個括號內(nèi)的分式分別通分，然后分解因式并約分【解】原式【點評】此題如果先分母有理化，那么計算較煩瑣五求值：每題7分，共14分25、【提示】先將條件化簡，再將分式化簡最后將條件代入求值【解】x52，y52xy10，xy4，52(2)21【點評】此題將x、y化簡后，根據(jù)解題的需要，先分別求出“xy、“xy、“從而使求值的過程更簡捷26、【提示】注意：x2a2，x2a2