圓中多解題、陰影面積

1、PAGE PAGE 17圓中多解問題不規(guī)則圖形面積的求法 求不規(guī)則圖形面積的基本思路是通過分割、重疊、等積替換等方法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或規(guī)則圖形面積的和差。一、等積替換（1）三角形等積替換依據(jù)：等底等高的三角形面積相等或全等的三角形面積相等。例1、如圖1所示，半圓O中,直徑AB長為4,C、D為半圓O的三等分點.,求陰影部分的面積.解：連結(jié)OC 、OD，由C、D為半圓O的三等分點知：COD=60，且ADC=DAB=30，圖2CDAB，所以（同底等高的三角形面積相等）例2、如圖2所示，在矩形ABCD中,AB=1,以AD為直徑的A半圓與BC切于M點,求陰影部分面積.(）弓形等積替換依據(jù)：等弧

2、所對的弓形面積相等。例3、 在RTABC中,B=90,AB=BC=4,AB為直徑的O交AC于點D, 求圖中兩個陰影部分的面積之和.圖4 二、整體思想（各部分的面積無法求得，但各部分面積的和或差可求得）例4、如圖5所示，一個同心圓環(huán)中，大圓的弦與小圓相切于，且，求圓環(huán)的面積 例5、如圖:圓、相互外離，它們的半徑都是， 順次連結(jié)五個圓的圓心，得五邊形，則圖中五個扇形的面積之和是。( 2002年甘肅中考題)分析：圓心角不知大小，所以每個扇形的面積無法求得，但是所有的圓心角之和可求得ABCDE（5-2）180=540圖9例6、如圖7所示，直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心的三個同心圓，最大的圓為單位圓（即半徑

3、為1），求圖中陰影部分的面積之和。分析：各部分的面積之和無法求得，但將第二、三象限的陰影繞點O旋轉(zhuǎn)至第一象限后得扇形OAB。 三、求重疊部分的面積（重疊部分的面積等于組成圖形的各部分的面積之和減去組合成的新圖形的面積之差。） 例7、如圖8所示，正方形ABCD的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓， 求陰影部分的面積之和。（1997年廣東中考題） 例8、如圖9所示，國際奧委會會旗上的圖案是由代表五大洲的五個圓環(huán)組成，每個圓環(huán)的內(nèi)、外徑分別是8和10，圖中兩兩相交成的小曲邊四邊形（黑色部分）的面積相等，已知五個圓環(huán)覆蓋的面積為122.5平方單位，計算每個小曲邊四邊形的面積為平方單位。分析：圖中黑

4、色部分是五個圓環(huán)的重疊部分，所以這8個曲邊四邊形的面積之和等于五個圓環(huán)的面積之和減去圖中五個圓環(huán)覆蓋的面積。 四、分割轉(zhuǎn)化（把不規(guī)則圖形分割為規(guī)則圖形的面積的和或差。）例9、 如圖10所示，:正方形ABCD的邊長為a,以相鄰的兩邊為直徑分別畫兩個半圓. 求陰影部分的面積.例10、如圖：四邊形ABCD為某住宅區(qū)的示意圖，其周長為800米，為美化環(huán)境，計劃在住宅區(qū)周圍5米以外作為綠化帶（虛線以內(nèi)，四邊形以外）；求此綠化帶的面積。 分析：要求該不規(guī)則圖形的面積，將陰影分割為四個矩形和四個扇形，進而求得這個陰影部分的面積。例11、（2007年，濱洲）如圖所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以單位1為半徑畫

5、圓，則圖中陰影部分的面積之和為_個平方單位。分析：圖中各扇形的圓心角無法求，但是所有扇形的圓心角這和恰好是n邊形的外角和，顯然等于360。即123n36012、如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，E是AB的中點，連接DE、CE，AD+BC=CD，以下結(jié)論（1）CED=90；（2）DE平分ADC；（3）以AB為直徑的圓與CD相切；（4）以CD為直徑的圓與AB相切；（5）CDE的面積等于梯形ABCD面積的一半其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A2個 B3個 C 、 4個 D、5個13、如圖，在半徑為，圓心角等于450的扇形AOB內(nèi)部 ，作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點

6、F在弧上，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留） .證明題：（1）如圖，AB是O的直徑，BCAB，ADOC交O于D點，求證：CD為O的切線；（2）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于D，點E為BC的中點，連結(jié)DE，求證：DE是O的切線.（3）如圖，以等腰ABC的一腰為直徑作O，交底邊BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E為CF中點），求證：DE是O的切線.（4）如圖，AB是O的直徑，AE平分BAF，交O于點E，過點E作直線EDAF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C，求證：CD是O的切線.圓中的計算與證明1、如圖在ABC中，C=90，點O為AB上一點，以O(shè)為圓心的半圓切

7、AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的長。OAECDB2、如圖，是O的直徑，是O的弦，延長到點，使，連結(jié)，過點作，垂足為（1）求證：；（2）求證：為O的切線；3、如圖 AB是O的直徑, C ,D是圓上的兩點,若ABD=40,求BCD得度數(shù)。ABOCD404、如圖，O中，弦AB弦CD于E，OFAB于F，OGCD于G，若AE=8cm，EB=4cm，則OG= cm。5、（鎮(zhèn)江市）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，E為DC的中點，直線BE交O于點F若O的半徑為，則BF的長為 6、（揚州市）如圖，AB是O的直徑，ACD，則BAD的度數(shù)為 7、邊長為a的正方邊形的邊心距為 8、半徑相等的圓內(nèi)接正

8、三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為 9、）如圖，AB、AC是O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧上的一點，已知BAC，那么BDC_度10、ABC是半徑為2厘米的圓內(nèi)接三角形，若BC2厘米，則A的度數(shù)為_11、（沈陽市）如圖，已知OA、OB是O的半徑，且OA5，AOB15，ACOB于C，則圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）S_12、（哈爾濱市）將兩邊長分別為4厘米和6厘米的矩形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱體的表面積為_平方厘米13、（陜西?。┤鐖D，在O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BCD130，則BOD的度數(shù)是_14、（甘肅省）正三角形的內(nèi)切圓與外接圓面積之比為_15揚州市）邊長為2厘米的

9、正六邊形的外接圓半徑是_厘米，內(nèi)切圓半徑是_厘米（結(jié)果保留根號）16、（貴陽市）某種商品的商標(biāo)圖案如圖所求（陰影部分），已知菱形ABCD的邊長為4，A，是以A為圓心，AB長為半徑的弧，是以B為圓心，BC長為半徑的弧，則該商標(biāo)圖案的面積為_17、寧夏回族自治區(qū)）圓錐的母線長為5厘米，高為3厘米，在它的側(cè)面展開圖中，扇形的圓心角是_度18、（沈陽市）要用圓形鐵片截出邊長為4厘米的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小要_厘米19、（重慶市）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ADBC，若AD4，BC6，則四邊形ABCD的面積為_20、（天津市）已知O中，兩弦AB與CD相交于點E，若E為AB的中點，CEE

10、D14，AB4，則CD的長等于_21（北京市海淀區(qū)）一種圓狀包裝的保鮮膜，如圖所示，其規(guī)格為“20厘米60米”，經(jīng)測量這筒保鮮膜的內(nèi)徑、外徑的長分別為3.2厘米、4.0厘米，則該種保鮮膜的厚度約為_厘米（取3.14，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）22、（北京市東城區(qū)）在RtABC中，C，A3，BC1，以AC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圓錐的側(cè)面展開圖的面積是_23、山東省）如圖，點P是半徑為5的O內(nèi)一點，且OP3，在過點P的所有弦中，長度為整數(shù)的弦一共有 個24、（寧夏回族自治區(qū)）已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長為18，那么圓的面積為 25、（甘肅省）如圖，在ABC中，BAC，ABAC2，以AB為直徑的圓交B

11、C于D，則圖中陰影部分的面積為 26、（甘肅省）弧長為6的弧所對的圓心角為，則弧所在的圓的半徑為 27、北京市朝陽區(qū)）如果圓錐的側(cè)面積為20平方厘米，它的母線長為5厘米，那么此圓錐的底面半徑的長等于 28、（北京市西城區(qū)）“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學(xué)菱九章算術(shù)中的一個問題，“今在圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“如圖，CD為O的直徑，弦ABCD，垂足為E，CE1寸，AB寸，求直徑CD的長”依題意，CD長為 29、（河南?。┤鐖D，A、B、C、D、E相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部

12、分）的面積之和是 。 （第32題）30、（貴陽市）一個形如圓錐的冰淇淋紙筒，其底面直徑為6厘米，母線長為5厘米，圍成這樣的冰淇淋紙筒所需紙片的面積是31、（哈爾濱市）如圖，圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，AC、BF交于點M則_32、如圖，RtABC中，C=90，ABC=30，AB=6點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B、C重合），且DA=DE，則AD的取值范圍是_典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是O的直徑，點E、C是O上的兩點，基本結(jié)論有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切線”三個論斷中，知二推一。（2）如圖2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（

13、或弓形BCE的半弦EF）。（3）如圖（4）：若CKAB于K，則：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的條件、中任選兩個條件，當(dāng)BGCD于E時（如圖5），則：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 圖形2：如圖：RtABC中，ACB=90。點O是AC上一點，以O(shè)C為半徑作O交AC于點E，基本結(jié)論有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切線”;“BD=BC”。四個論斷中，知一推三。（2）G是BCD的內(nèi)心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、

14、AE、AD中，知二求四。（4）如圖（3），若BC=CE，則：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）設(shè)BE、CD交于點H，,則BH=2EH圖形3：如圖：RtABC中，ABC=90,以AB為直徑作O交AC于D，基本結(jié)論有：如右圖：（1）DE切OE是BC的中點； （2）若DE切O，則：DE=BE=CE； D、O、B、E四點共圓CED=2ACDCA=4BE2, 圖形特殊化：在（1）的條件下如圖1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如圖2：若DE的延長線交AB的延長線于點F，若AB=BF，則：;圖形4：如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O，交BC于點D，交AC于

15、點F，基本結(jié)論有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中點。與基本圖形1的結(jié)論重合。連AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于， 基本結(jié)論有：（1）如圖1：AD+BCCD； COD=AEB=90； OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切線”四個論斷中，知一推三）ADBC2=R2；（2）如圖2，連AE、CO，則有：COAE，COAE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EFAB于F，交AC于G，則：EG=FG.圖形6：如圖：直線PRO的半徑OB于E，PQ切O于Q，BQ交直線

16、PQ于R?；窘Y(jié)論有：（1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2圖形7：如圖，ABC內(nèi)接于O，I為ABC的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有：（1）如圖1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ACB;（2）如圖2，若BAC=60，則：BD+CE=BC.圖形8：已知，AB是O的直徑，C是 中點，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F?；窘Y(jié)論有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中點)（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BEBG=

17、BDBA（4）若D是OB的中點，則：CEF是等邊三角形； 四、范例講解：例題1：ABP中，ABP=90，以AB為直徑作O交AP于C點，弧=，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長線交BP于D.（1）求證：CD為O的切線；（2）連BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。例題2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線若，求的值例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線，點C在O上，ACOP。（1）求證：PC為O的切線。（2）過D點作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。例題4（2009調(diào)考）

18、：如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的O與邊AB交于點D，點E為 的中點，AF為ABC的角平分線，且AFEC。（1）求證：AC與O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的長五、練習(xí)：1如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點D， ，過D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.（1）求證：DF為O的切線；（2）若DF=3，O的半徑為5，求的值.2如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點， ，過D作直線BC的垂線交直線AB于點E，F(xiàn)為垂足.（1）求證：EF為O的切線；（2）若AC=6，BD=5，求的值.3如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長線上一點，過D作O的切線，E為切點，連結(jié)CE交AB于點F.（

19、1）求證：DE=DF；（2）連結(jié)AE，若OF=1，BF=3，求的值.4如圖，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一點O為圓心過B、D兩點作O，O交AB于點一點E，EFAC于點F.（1）求證：O與AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求的值.5如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點D，DEAC于E.（1）求證：DE為O的切線；（2）若BC=，AE=1，求的值. 6如圖，BD為O的直徑，A為 的中點，AD交BC于點E，F(xiàn)為BC延長線上一點，且FD=FE.（1）求證：DF為O的切線；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面積為，求的值.7、如圖，AB是O的直徑，M是線段

20、OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且ECF=E（1）求證：CF是O的切線；（2）設(shè)O的半徑為1，且AC=CE，求的長8、如圖，AB是O的直徑，BCAB，過點C作O的切線CE，點D是CE延長線上一點，連結(jié)AD，且AD+BC=CD.（1）求證：AD是O的切線；（2）設(shè)OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求線段BC的長.9、如圖，ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O交AC于點D，且CD=BD.（1）求證：BC是O的切線；（2）已知點M、N分別是AD、CD的中點，BM延長線交O于E，EFAC，分別交BD、BN的延長線于H、F，若DH=2，求EF的長.10、如圖，AB是半O上的直徑，E是 eq o(sup 5( ),BC)的中點，OE交弦BC于點D，過點C作交AD的平行線交OE的延長線于點F. ADO=B.（1）求證：CF為O的O切線；11、如圖，ABC中，ABAC，以AC為直徑的O與AB相交于點E，點F是BE的中點（1）求證：DF是O的切線（2）若AE14，BC12，求BF的長如圖，為的直徑，分別和相切于點，點為圓上不與，重合的點，過點作的切線分別交，于點，連結(jié)，分別交，于點，（1）若，求的半徑及弦的長；（2）當(dāng)點在上運動時，試判定四邊形的形狀，并給出證明解：（1），分別切于，為的直徑，過點作于