蘇教版高中數(shù)學選擇性必修一第4章習題課《等差數(shù)列的性質(zhì)》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來習題課等差數(shù)列的性質(zhì)學習目標1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).2.能運用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化計算導語同學們，前面我們學習了等差數(shù)列的概念，明白了等差數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在學習過程中，我們發(fā)現(xiàn)了一個非常有意思的事情，比如說ann，這是一個正整數(shù)列，如果我們把其中的偶數(shù)拿出來，即2,4,6,8,10容易發(fā)現(xiàn)這也是一個等差數(shù)列，同樣，如果我們把所有的奇數(shù)拿出來，也能構成一個新的數(shù)列，今天我們就具體研究等差數(shù)列中有哪些性質(zhì)

2、一、由等差數(shù)列構造新等差數(shù)列問題1若數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，在eq blcrc(avs4alco1(an)中每相鄰兩項之間都插入4個數(shù)，若要使之構成一個新的等差數(shù)列，你能求出它的公差嗎？提示設新數(shù)列為eq blcrc(avs4alco1(bn)，公差為d，則有b1a1，b6a2，所以b6b1a2a1d，故有5dd，所以deq f(1,5)d.知識梳理若an，bn分別是公差為d，d的等差數(shù)列，則有數(shù)列結論can公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))can公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))anank公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，kN*)pa

3、nqbn公差為pdqd的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))例1有兩個等差數(shù)列2,6,10，190和2,8,14，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的項數(shù)為()A15 B16 C17 D18答案B解析易知，第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差為具有相同首項的兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，其公差為12，首項為2，所以通項公式為an12n10，所以12n10190，解得neq f(50,3)，而nN*，所以n的最大值為16.反思感悟對于任何形式的構造數(shù)列，判斷是否為等差數(shù)列，一般從兩個方面進行判斷：(1)定義：anan1是否為常數(shù)；(2)其通項公式是

4、否為關于n的一次函數(shù)跟蹤訓練1已知兩個等差數(shù)列an：5,8,11，與bn：3,7,11，它們的公共項組成數(shù)列cn，則數(shù)列cn的通項公式cn_；若數(shù)列an和bn的項數(shù)均為100，則cn的項數(shù)是_答案12n125解析由于數(shù)列an和bn都是等差數(shù)列，所以cn也是等差數(shù)列，且公差為3412，又c111，故cn1112(n1)12n1.又a100302，b100399，所以eq blcrc (avs4alco1(1112n1302，,1112n1399，)解得1n25.25，故cn的項數(shù)為25.二、等差數(shù)列中任意兩項之間的關系問題2如果eq blcrc(avs4alco1(an)是等差數(shù)列，a35，d2

5、，如果不求首項，你能求數(shù)列的通項公式嗎？提示由定義可知a3a12d，ana1(n1)d，兩式相減得ana3(n3)d，即ana3(n3)d.知識梳理設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則(1)andn(a1d)(nN*)；(2)anam(nm)d(m，nN*)；(3)deq f(anam,nm)(m，nN*，且mn)注意點：若anm，amn(nm)，則anm0.(證明：eq f(anam,nm)eq f(anman,nmn)，eq f(mn,nm)eq f(anmm,nmn)，eq f(anmm,m)1，故anm0)例2已知an為等差數(shù)列，a158，a6020，求a75.解方法一(利用ana

6、m(nm)d)設數(shù)列 an的公差為d，則a60a15(6015)d845d，所以deq f(208,45)eq f(12,45)eq f(4,15)，所以a75a60(7560)d2015eq f(4,15)24.方法二(利用隔項成等差數(shù)列)因為an為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，設其公差為d，a15為首項，則a60為第四項，所以a60a153d，解得d4，所以a75a60d24.反思感悟靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運算令m1，anam(nm)d即變?yōu)閍na1(n1)d，可以減少記憶負擔跟蹤訓練2已知bn為等差數(shù)列，若b32，b1012，則b8_.答案8

7、解析方法一bn為等差數(shù)列，可設其公差為d，則deq f(b10b3,103)eq f(122,7)2，bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由eq f(b8b3,83)eq f(b10b3,103)d，得b8eq f(b10b3,103)5b325(2)8.三、等差數(shù)列中多項之間的關系問題3若數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是等差數(shù)列，公差為d，mnpq(m，n，p，qN*)，則am，an，ap，aq這四項之間有什么樣的關系？提示由等差數(shù)列的定義可知，ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，容易發(fā)現(xiàn)aman2a1(mn2)d，ap

8、aq2a1(pq2)d，因為mnpq，故有amanapaq.知識梳理1下標性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.2特別地，若mn2p(m，n，pN*)，則有aman2ap.注意點：(1)推廣：若mnpxyz，則amanapaxayaz；(2)該性質(zhì)要求下標的和相等，且左右兩側項數(shù)相同；(3)在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，即a1ana2an1.例3已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1a9a177，則a3a15等于()A7 B14 C21 D7(n1)答案B解析因為a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714

9、.延伸探究在等差數(shù)列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一設數(shù)列an的公差為d.則a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.反思感悟等差數(shù)列運算的兩種常用思路(1)基本量法：根據(jù)已知條件，列出關于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量(2)巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，則amanapaq2ar.跟蹤訓練3數(shù)列an滿足3anan1且a2a4a69，則log6(a5a7a9)的值是()A

10、2 Beq f(1,2) C2 D.eq f(1,2)答案C解析由3anan1，得an1an3.所以an是公差為3的等差數(shù)列又a2a4a69，且a2a62a4，所以3a49，則a43，所以a7a43d33312，故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.1知識清單：(1)由等差數(shù)列構造新的等差數(shù)列(2)等差數(shù)列中任意兩項之間的關系(3)等差數(shù)列中多項之間的關系2方法歸納：公式法、構造法、解方程組法3常見誤區(qū)：不注意運用性質(zhì)而出錯或解法煩瑣1在等差數(shù)列an中，已知a310，a820，則公差d等于()A3 B6 C4 D3答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得a8a3(83)d5d，所以d

11、eq f(2010,5)6.2在等差數(shù)列an中，a4a515，a712，則a2等于()A3 B3 C.eq f(3,2) Deq f(3,2)答案A解析由數(shù)列的性質(zhì)，得a4a5a2a7，所以a215123.3在等差數(shù)列an中，a3a74，則必有()Aa54 Ba64Ca52 Da62答案C解析因為a3a72a54，所以a52.4在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)(nN*)中，若a1a2a4，a83，則a20的值是_答案15解析數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是等差數(shù)列，a1a5a2a4，又a1a2a4，a50，deq f(a8a5,85)eq f(3,3)1

12、，故a20a515d15.課時對點練1已知數(shù)列an，bn為等差數(shù)列，且公差分別為d12，d21，則數(shù)列2an3bn的公差為()A7 B5C3 D1答案D解析由于an，bn為等差數(shù)列，故數(shù)列2an3bn的公差d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)2d13d21.2在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則a7等于()A5 B8C10 D14答案B解析方法一設等差數(shù)列的公差為d，則a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.3已知等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1

13、332，若am8，則m的值為()A12 B8C6 D4答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.4在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a1a5a7a9a13100，a6a212，則a1等于()A1 B2 C3 D4答案B解析a1a5a7a9a13100，5a7100，a720，a6a212，4d12，d3，a7a16d20，a12.5若等差數(shù)列an的首項a15，am3，則am2等于()A13 B3eq f(4,m1)C3eq f(2,m1) D5eq f(2,m1)答案B解析設等差數(shù)列an的

14、公差為d，因為a15，am3，所以deq f(ama1,m1)eq f(2,m1).所以am2am2d3eq f(4,m1)3eq f(4,m1).6(多選)若an是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是()A|an| Ban1anCpanq(p，q為常數(shù)) D2ann答案BCD解析數(shù)列1,1,3是等差數(shù)列，取絕對值后：1,1,3不是等差數(shù)列，A不成立若an是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的定義知，an1an為常數(shù)列，故是等差數(shù)列，B成立若an的公差為d，則(pan1q)(panq)p(an1an)pd為常數(shù)，故panq是等差數(shù)列，C成立(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1為常數(shù)，故2

15、ann是等差數(shù)列，D成立7在等差數(shù)列an中，若aeq oal(2,2)2a2a8a6a1016，則a4a6_.答案4解析在等差數(shù)列an中，aeq oal(2,2)2a2a8a6a1016，aeq oal(2,2)a2(a6a10)a6a1016，(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64.8設數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321，則a5b5_.答案35解析因為數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，所以數(shù)列anbn也構成等差數(shù)列，所以2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，所以2217a5b5，所以a5b535.9在等差數(shù)列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a

16、13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解(1)根據(jù)已知條件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.(2)由a2a3a4a534，得2(a2a5)34，即a2a517，由eq blcrc (avs4alco1(a2a552，,a2a517，)解得eq blcrc (avs4alco1(a24，,a513)或eq blcrc (avs4alco1(a213，,a54.)deq f(a5a2,52)eq f(134,3)3或deq f(a5a2,52)eq f(413,3)3.10在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，若a3a8a1312，a

17、3a8a1328.(1)求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的通項公式；(2)求a23的值解(1)根據(jù)題意，設等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的公差為d，若a3a8a1312，則3a812，則a84，又由a3a8a1328，得a3a13(45d)(45d)7，解得deq f(3,5)，當deq f(3,5)時，ana8(n8)deq f(3n4,5)；當deq f(3,5)時，ana8(n8)deq f(443n,5).(2)由(1)的結論，當deq f(3,5)時，aneq f(3n4,5)，此時a23eq f(3234,5)13，當deq f(3,5)時，

18、aneq f(443n,5)，則a23eq f(44323,5)5，則a2313或5.11在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則a9eq f(1,3)a11的值為()A14 B15 C16 D17答案C解析設公差為d，a4a6a8a10a12120，5a8120，a824，a9eq f(1,3)a11(a8d)eq f(1,3)(a83d)eq f(2,3)a816.12等差數(shù)列an中，若a2，a2 020為方程x210 x160的兩根，則a1a1 011a2 021等于()A10 B15 C20 D40答案B解析a2，a2 020為方程x210 x160的兩根，a2a2 02010，由等差數(shù)列的性質(zhì)得2a1 01110，即a1 0115，a1a1 011a2 0213a1 01115.13已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有()Aa1a1010 Ba2a1010Ca3a990 Da5151答案C解析由等