控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型課件

1、0 在經(jīng)典控制理論中，對(duì)一個(gè)線性定常系統(tǒng)的，可用常微分方程或傳遞函數(shù)加以描述。將某個(gè)變量作為輸出，和輸出聯(lián)系起來(lái)。 在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述，能同時(shí)給出系統(tǒng)全部獨(dú)立變量的響應(yīng)，因而能同時(shí)確定系統(tǒng)的全部?jī)?nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。1如圖所示R-L-C電路，其中電壓u(t)為電路的輸入量，電容上的電壓uc(t)為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的關(guān)系。2整理得到：3例1 設(shè)有一質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。F(t)為輸入力， y(t)為質(zhì)量塊的輸出位移。解：4則有：5寫成矩陣的形式：6輸入方程: 系統(tǒng)的輸入量與中間變量之間的函數(shù)關(guān)系輸出方程: 系統(tǒng)的輸出量與中間變量之間的函數(shù)

2、關(guān)系7狀態(tài)空間表示法的基本概念狀態(tài)變量狀態(tài)向量狀態(tài)空間狀態(tài)方程狀態(tài)：表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息和行為狀態(tài)變量：能完全表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量由狀態(tài)變量構(gòu)成的向量x1(t)x2(t) :xn(t)以各狀態(tài)變量x1(t), x2(t), , xn(t)為坐標(biāo)軸組成的幾維空間。由系統(tǒng)的狀態(tài)變量與輸入變量之間的關(guān)系構(gòu)成的一階微分方程組。8狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程和輸出方程的總和即稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。它構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的完整描述。y : 輸出向量 u : 輸入向量A : 系數(shù)矩陣 B : 控制矩陣（輸入矩陣）C : 輸出矩陣D : 直接矩陣910狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖一、模擬結(jié)構(gòu)圖 用來(lái)反

3、映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，對(duì)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式很有幫助。11二、繪制步驟1、根據(jù)所給的輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器、比例器和狀態(tài)變量；2、積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量個(gè)數(shù)，將他們畫在適當(dāng)?shù)奈恢茫總€(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)變量3、最后根據(jù)所給的狀態(tài)方程用箭頭將這些元件連接起來(lái)。12例：畫出一階標(biāo)量微分方程 的系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)框圖：13例1-3：畫出三階微分方程 的模擬框圖：上式可改成： 其模擬結(jié)構(gòu)圖如下：14同樣，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，也可畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，下圖是下列三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。15狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)） 用狀態(tài)空間分析系統(tǒng)時(shí)，首先要建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間

4、表達(dá)式。建立表達(dá)式的三個(gè)方法如下：1由系統(tǒng)框圖（傳遞函數(shù)方塊圖）來(lái)建立；2從系統(tǒng)的物理或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；3由描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。16（一）從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 3、根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際連結(jié)，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2.把每個(gè)積分器的輸出選作為一個(gè)狀態(tài)變量xi1.將系統(tǒng)框圖的各個(gè)環(huán)節(jié)變換成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖17例1-4 系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖所示，輸入為u，輸出為y。試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。18從圖可知狀態(tài)方程輸出方程1920 建立小車-倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。假設(shè)小車和擺僅在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，忽略磨擦及空氣阻力。解：建立小車水平方向上建立平衡方程在

5、垂直方向上，建立小球的平衡方程（二）從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 21假設(shè) 很小， 。因此，上面兩個(gè)式子可化簡(jiǎn)為：選擇狀態(tài)變量：建立狀態(tài)空間表達(dá)式22設(shè) M = 1，m = 0.1，l = 1（三）高階微分方程出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 n 階常系數(shù)微分方程（單入單出）（以輸入函數(shù)不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)情況為例）1. 選狀態(tài)變量 x 選各階導(dǎo)數(shù)2、建立關(guān)于 x 的方程方程3、系統(tǒng)輸出方程 能控標(biāo)準(zhǔn)型A的對(duì)角線上方的元素均為1，最后一行為微分方程各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，其余為0，這樣的矩陣叫做友陣。B陣的特征：最下邊一行元素為單位陣，其余為0。系統(tǒng)的A B具有上述特征時(shí)，系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)型。 系統(tǒng)的方程為 ，求系

6、統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖能控性：是控制作用u(t)支配系統(tǒng)x(t)的能力不能控系統(tǒng)30（三）高階微分方程出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 n 階常系數(shù)微分方程（單入單出） 首先將n 階常系數(shù)微分方程通過(guò)拉氏變換轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)：微分方程拉氏變換傳遞函數(shù) G(s)31(1)一、直接法32拉氏反變換(1)33拉氏反變換所以由于34能控標(biāo)準(zhǔn)型35例1.4 求其能控標(biāo)準(zhǔn)型解：（1）解決分母比分子高一階將分母最高次冪變?yōu)?36（2）直接應(yīng)用公式即 y = Cx + DuD為直接矩陣，輸入對(duì)輸出的直接作用37二、串聯(lián)法已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：系統(tǒng)模擬框圖如下：38分別寫出每個(gè)一

7、階環(huán)節(jié)的狀態(tài)方程消去中間變量39則狀態(tài)空間表達(dá)式為：系統(tǒng)的模擬框圖為：40二、并聯(lián)法極點(diǎn)ci 可通過(guò)拉氏變換求留數(shù)41輸入與狀態(tài)變量的關(guān)系輸出與狀態(tài)變量的關(guān)系將 拆分為2部分分別進(jìn)行拉氏逆變換，求解狀態(tài)空間表達(dá)式42由反變換：得43由反變換：得即：44輸出方程拉氏逆變換4546解耦系統(tǒng)圖形特點(diǎn)：n個(gè)子系統(tǒng)互不相關(guān)，都是獨(dú)立的，即解耦系統(tǒng)47習(xí)題 將傳遞函數(shù) 轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式可知：狀態(tài)方程48多輸入、多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn) 一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為：現(xiàn)采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解：對(duì)每一個(gè)方程積分：49多輸入、多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn) 50狀態(tài)空間表達(dá)

8、式？ 51傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間模型間的轉(zhuǎn)換現(xiàn)代控制理論： 引入了狀態(tài)變量，采用狀態(tài)空間來(lái)表述系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系。G(s)ABCD?經(jīng)典控制理論： 傳遞函數(shù)為單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下：狀態(tài)空間表達(dá)式唯一么?52如圖所示R-L-C電路，其中電壓u(t)為電路的輸入量，電容上的電壓uc(t)為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的關(guān)系。53如圖所示R-L-C電路，其中電壓u(t)為電路的輸入量，電容上的電壓uc(t)為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的關(guān)系。5455狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)G(s)? A, B, C, Duxy56對(duì)于由此得到：T57例題：考慮以下?tīng)顟B(tài)空間模

9、型選變換矩陣則，通過(guò)變換得到：狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型這里的問(wèn)題是如何將 變換為：58有重根時(shí)無(wú)重根時(shí)1.系統(tǒng)特征值系統(tǒng)預(yù)備知識(shí)系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程的根：方陣 A 且有 n 個(gè)特征值系統(tǒng)特征值的不變性59一個(gè) 維矢量 ：經(jīng)過(guò)以 作為變換陣的變換，得到一個(gè)新的矢量矢量 經(jīng)過(guò)線性變換后，方向不變，僅長(zhǎng)度變化 倍，則稱 為 的對(duì)應(yīng)于 （特征值）的特征向量，此時(shí)有系統(tǒng)矩陣 A 的特征向量60P35 例1-961系統(tǒng)當(dāng) A 陣的特征值無(wú)重根時(shí)，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換矩陣 T 由 A 的特征矢量 構(gòu)成，即 證明有重根P3862由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣 G(s)拉氏

10、變換：G(s)ABCD?63由上式得：由于意義：建立現(xiàn)代與經(jīng)典的關(guān)系，從現(xiàn)代的狀態(tài)方程的ABCD可求出傳遞函數(shù)G(s)則64解：例求傳遞函數(shù)65多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) P4466狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)G(s)T？67等價(jià)的狀態(tài)空間模型是否有相同的傳遞函數(shù)？T假設(shè)：則：根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系：68系統(tǒng)的特征方程和特征根系統(tǒng)的特征方程為 | sI - A | = 0 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)矩陣A的特征值。系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換（線性變換），特征值不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)比連續(xù)系統(tǒng)用微分方程來(lái)表示，采用拉普拉斯變換傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。離散系統(tǒng)用差分方程來(lái)描述，用Z變換脈沖傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。離散系統(tǒng)的狀

11、態(tài)空間表達(dá)式可通過(guò)差分方程或脈沖傳遞函數(shù) 69離散系統(tǒng)的信號(hào)采用數(shù)字形式，輸入和輸出都是脈沖序列或數(shù)字序列。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)屬離散系統(tǒng)。70差分方程和脈沖傳遞函數(shù)線性定常離散系統(tǒng)可用 n 次差分方程表示：脈沖傳遞函數(shù)：71狀態(tài)方程的建立1、由差分方程設(shè) T = 1, 輸入僅有 u( kT )項(xiàng)，b0=1, 則整個(gè)方程可以寫為： y(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k) = u(k) 設(shè) x1(k) = y(k), x2(k) = y(k+1) , x3(k) = y(k+2). xn(k) = y(k+n-1) x1(k+1) = y(k+1) = x2(k) x2(k+1) = y

12、(k+2) = x3(k) xn-1(k+1)= y(k+n-1)= xn(k) xn(k+1) = y(k+n) = -a0 x1(k)-a1 x2(k)-an-1xn(k)+u(k)72向量矩陣形式73離散系統(tǒng)方塊圖74矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為：式中 的求法，類似于1.4節(jié)中式(34)求 的計(jì)算公式，即：75例1.9：已知離散系統(tǒng)的差分方程為試寫出其狀態(tài)方程和輸出方程 。76例1.10 已知輸入如下77 線性定常系統(tǒng)，其特征是它的狀態(tài)空間表達(dá)式中的A、B、C、D 等矩陣的元素固定不變，與輸入、輸出或者時(shí)間無(wú)關(guān)。線性時(shí)變系統(tǒng)有：時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式78非線性系統(tǒng) 非

13、線性的動(dòng)態(tài)特性是用如下的n個(gè)一階微分方程組描述的：用矢量矩陣表示，則為：79式中， 為矢量函數(shù)； 如果我們只局限于考察輸入 偏離 為 時(shí)，對(duì)應(yīng)于它， 也偏離 也偏離 時(shí)的行為，則可以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的一次近似而予以線性化。為此，將 附近作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：它們分別是n x n，n x r，m x n，n x r維矩陣，其相應(yīng)定義如下：令 將 這些微增量分別用 表示，則線性化后的表達(dá)式就成了一般線性表達(dá)式了，即例1-12 P5283 利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)模型間的互相轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為按照順序輸入分子分母的系數(shù)采用tf2ss命令實(shí)現(xiàn)由 G(s) 到 ABCD的轉(zhuǎn)換84得到如下結(jié)果例如執(zhí)行以下m文件85

14、對(duì)于給定的狀態(tài)空間表達(dá)式num和den為分子分母的系數(shù)矩陣函數(shù) ss2tf 命令實(shí)現(xiàn)由 ABCD到 G(s) 的轉(zhuǎn)換86求由以下?tīng)顟B(tài)空間模型所表示的傳遞函數(shù)執(zhí)行以下m文件 得到如下結(jié)果A= 0 1 0; 0 0 1; -5 -25 -5 ;B= 0; 25; -120 ;C= 1 0 0 ;D= 0 ;num, den = ss2tf (A, B, C, D)872 不同狀態(tài)空間之間的互相轉(zhuǎn)換T(1) 構(gòu)建第一個(gè)狀態(tài)空間 sys1 = ss (A, B, C, D)(2) 轉(zhuǎn)換第二個(gè)狀態(tài)空間 sys2 = ss2ss (sys1, T)或者 aa, bb, cc, dd = ss2ss (a, b, c, d, T)方法88例題：考慮以下?tīng)顟B(tài)