層次分析法簡介

1、層次分析法簡介1層次分析法美國運籌學(xué)家薩蒂（T.L.Saaty）在70年代初提出的層次分析法（Analytical Hierarchy Process，簡稱AHP）是一種具有定性分析與定量分析相結(jié)合的決策方法，可將決策者對復(fù)雜對象的決策思維過程系統(tǒng)化、模型化、數(shù)量化。AHP基本思想是通過分析復(fù)雜問題包含的各種因素及其相互關(guān)系，將問題所研究的全部元素按不同的層次進行分類，標(biāo)出上一層與下層元素之間的聯(lián)系，形成一個多層次結(jié)構(gòu)。在每一層次，均按某一準(zhǔn)則對該層元素進行相對重要性判斷，構(gòu)造判斷矩陣，并通過解矩陣特征值問題，確定元素的排序權(quán)重，最后再進一步計算出各層次元素對總目標(biāo)的組合權(quán)重，為決策問題提供數(shù)

2、量化的決策依據(jù)。2層次分析法基本步驟明確問題建立層次構(gòu)造判斷矩陣層次單排序?qū)哟慰偱判蛞恢滦詸z驗3明確問題建立層次對問題涉及的全部元素按各其相互間的影響與作用分類,每類作為一個層次,按最高層(即目標(biāo)層,表示解決問題的目的)、若干有關(guān)的中間層(表示采用某種措施或根據(jù)某種準(zhǔn)則來實現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié))和最低層(表示解決問題的措施和方案)的形成排列起來形成一個層次結(jié)構(gòu)圖。4構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)建立后,明確了上下層次之間的從屬關(guān)系。假定A層中元素Ak與下層中元素B1,B2,Bm有聯(lián)系，構(gòu)造如下的判斷矩陣：AkB1B2BmB1b11b12b1mB2b12b22b2mBmbm1bm2bmn其中bij表

3、示對于Ak而言，Bi對Bj相對重要性的標(biāo)度(MBi/MBj) 。顯然判斷矩陣B= (bij)有關(guān)系式 bij0，bii=1，bji= 1/ bij ，i,j=1,2,m因此對m階判斷矩陣, 僅需對m(m-1)/2個元素給出標(biāo)度。5標(biāo)度值意義及一致性標(biāo)度值意義說明1Bi與Bj同樣重要Bi,Bj對一個目標(biāo)貢獻相同3Bi比Bj重要性稍高一些二者間判斷差異輕微5Bi比Bj重要性明顯高二者間判斷差異明顯7Bi比Bj重要性明顯多二者間判斷差異強烈9Bi比Bj極端重要差異達到可能范圍極限2,4,6,8表示相鄰判斷的中間值用于需要達成妥協(xié)場合上述各值倒數(shù)相應(yīng)的反比較,即Bi和Bj比較其相對重要性用上述之一值進

4、行標(biāo)度,則Bj和Bi比較以該值的倒數(shù)標(biāo)度。判斷矩陣的數(shù)值是根據(jù)客觀數(shù)據(jù)、專家意見和分析者的認識綜合平衡后給出的，因此對判斷矩陣的質(zhì)量有一致性的要求，即B中元素滿足要求：bijbjk=bik i，j，k=1，2，m滿足一致性的充分必要條件是：它的最大特征值*=m。6層次單排序利用判斷矩陣，計算對于上一層某元素而言，本層次與之有聯(lián)系的元素的重要性次序的權(quán)值（權(quán)向量）的過程，稱為層次單排序。層次的單排序可以歸結(jié)為計算判斷矩陣的特征值與特征向量的問題，即對于判斷矩陣B，求解滿足BU=U的最大特征值*以及對應(yīng)*的正規(guī)化(單位化)的特征向量U*，U*的分量即為相應(yīng)元素的單排序權(quán)重。7一致性指標(biāo)在一般情況下

5、，判斷矩陣的特征值為單根，且maxm，當(dāng)B具有滿意的一致性時，max稍大于m，其余的特征值接近于零，此時，層次分析得出的結(jié)論基本合理。我們可用CI= (*-m)/(m-1)作為檢驗B的一致性指標(biāo)。顯然，當(dāng)判斷矩陣具有一致性，CI=0；*-m越大，CI越大，一致性越差。此外還要考慮判斷矩陣的平均隨機一致性指標(biāo)RI。通過多次隨機的構(gòu)造m階判斷矩陣,計算其最大特征根,然后取平均值得,于是得到RI = (-m)/(m-1)。注：112階判斷矩陣的RI值已編制成數(shù)表備查。8隨機一致比例CR一、二階判斷矩陣必有一致性，其RI值只是形式上的。當(dāng)判斷矩陣階數(shù)大于2時，CI與RI之比稱為判斷矩陣的隨機一致比例，

6、記為CR。當(dāng)CR=0.10時，認為判斷矩陣的一致性可以接受，否則需要調(diào)整判斷矩陣。對于112階的判斷矩陣，RI值表如下:階數(shù)123456789101112RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.521.549層次總排序為了得到層次結(jié)構(gòu)中某層元素對于總體目標(biāo)組合權(quán)重和它們與上層元素的相互影響，需要利用該層所有層次單排序的結(jié)果，計算出該層元素的組合權(quán)重，這個過程稱為層次總排序。層次總排序這一步，需要從上到下逐層排序進行，最終計算結(jié)果得到最低層次元素，即要決策方案優(yōu)先次序的相對權(quán)重。若有m層目標(biāo)(不含總目標(biāo)),把各方案作為m+1層,每相鄰兩層之間具有完全層次關(guān)系,

7、且設(shè)第i層目標(biāo)有ni個,第i+1層目標(biāo)(或方案)有ni+1個,用W(i)表示這兩層間的權(quán)重矩陣,它有ni行ni+1列?？梢灾栏鞣桨笇偰繕?biāo)的權(quán)重向量W為：W=W(0)W(1)W(m)。10層間的權(quán)重組合與權(quán)重矩陣W(j)若上一層所有元素A1，A2，Ak的層次單排序已完成，得到的權(quán)重為a1, a2,ak,與Ai(1ik)對應(yīng)的本層次元素為B1,B2,Bm單排序結(jié)果為Bi=(bi1,bi2,bim) (注：若bij=0,則表示Bi與Aj無關(guān))11一致性檢驗為評價層次總排序的計算結(jié)果的一致性如何，需計算與層次單排序類似的檢驗量，記 CI層次總排序的一致性指標(biāo) RI層次總排序隨機一致性指標(biāo) CR層次

8、總排序隨機一致性比例其中 CIi為Ai對應(yīng)的下一層B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)。RIi為Ai對應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機一致性批標(biāo)。當(dāng)CR0.10時,則 認為層次總排序計算結(jié)果的一致性可以接受。12最大特征值的近似簡化算法-和積法（1）將判斷矩陣B每一列正規(guī)化；（2）每列正規(guī)化的判斷矩陣按行相加；（3）對相加后得到的向量再正規(guī)化，即得排序所要求的特征向量W； （4）計算判斷矩陣B的量大特征值*中(BW)i表示向量BW的第i個元素。13最大特征值的近似簡化算法-根法（1）將B的元素按行相乘（2）所得乘積分別開m次方（3）將方根向量正規(guī)化即得排序所要求的特征向量W（4）計算14應(yīng)用示例 某企業(yè)進行

9、決策時，確定其企業(yè)目標(biāo)分經(jīng)濟目標(biāo)和非經(jīng)濟目標(biāo)兩類。并具體將其目標(biāo)分為目標(biāo)C1,目標(biāo)C2,目標(biāo)C3和目標(biāo)C4(如年利潤增長10%，每年全國各地新開分支機構(gòu)5家，職工年收人年增20%,提高企業(yè)形象等)，并制定了三項具體政策方案，如下圖所示。今欲從中選擇一種政策加以實施。 經(jīng)專家討論給出各層判斷矩陣。15A層計算（和積法）將第1列加總、規(guī)范化: ak1=1+1/2=3/2,11=a11/ak1=0.6667, 21=a21/ak1=0.3333將第2列加總、規(guī)范化: ak2=2+1=3,12=a12/ak2=0.6667, 22=a22/ak1=0.3333構(gòu)成列向量規(guī)范的判斷矩陣： 將矩陣每行相加

10、得一列向量,再歸一化：二階矩陣不需作一致性檢驗。16B層計算對B1判別矩陣：對B2判別矩陣：B1和B2矩陣都通過一致性檢驗。17C層計算對C1判別矩陣：對C2判別矩陣：對C3判別矩陣：對C4判別矩陣：18權(quán)重合成-層次總排序各政策關(guān)于企業(yè)目標(biāo)的權(quán)重: 由于政策乙的權(quán)重最大，因此，應(yīng)該選擇政策乙。C層各目標(biāo)重要性的權(quán)重:即目標(biāo)2的重要程度最高，目標(biāo)4的重要程度最低，目標(biāo)2是應(yīng)優(yōu)先滿足的目標(biāo)。19R計算程序RIt=c(0,0,0.58,0.90,1.12,1.14,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54);RItA=matrix(c(1,2,1/2,1),ncol=2,byro

11、w=T);Aev=eigen(A);evWA=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WAW0=WAB1=matrix(c(1,1/4,2,4,1,3,1/2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);B1B2=matrix(c(1,2,2,3,1/2,1,5,2,1/2,1/5,1,2,1/3,1/2,1/2,1),ncol=4,byrow=T);B2ev=eigen(B1);evWB1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB1CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1RI1=RIt3;RI1CR1=CI1/RI1;CR12

12、0R計算程序續(xù)1ev=eigen(B2);evWB2=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB2CI2=(ev$values1-4)/(4-1);CI2RI2=RIt4;RI2CR2=CI2/RI2;CR2CI=c(CI1,CI2);RI=c(RI1,RI2)CR=(CI%*%W0)/(RI%*%W0);CRW1=rbind(c(WB1,0),WB2);W1C1=matrix(c(1,2,3,1/2,1,2,1/3,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C1C2=matrix(c(1,1/4,1/2,4,1,2,2,1/2,1),ncol=3,byrow=T)

13、;C2C3=matrix(c(1,1,1/4,1,1,1/3,4,3,1),ncol=3,byrow=T);C3C4=matrix(c(1,1/5,1/2,5,1,3,2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);C421R計算程序續(xù)2ev=eigen(C1);evWC1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC1CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1RI1=RIt3;RI1CR1=CI1/RI1;CR1ev=eigen(C2);evWC2=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC2CI2=(ev$values1-3)/

14、(3-1);CI2RI2=RIt3;RI2CR2=CI2/RI2;CR2ev=eigen(C3);evWC3=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC3CI3=(ev$values1-3)/(3-1);CI3RI3=RIt3;RI3CR3=CI3/RI3;CR322R計算程序續(xù)3ev=eigen(C4);evWC4=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC4CI4=(ev$values1-3)/(3-1);CI4RI4=RIt3;RI4CR4=CI4/RI4;CR4CI=c(CI1,CI2,CI3,CI4);RI=c(RI1,RI2,RI3,RI4)CR=(CI%*%t(W0%*%W1)/(RI%*%t(W0%*%W1);CRW2=rbind(WC1,WC2,WC3,WC4);W2 W=W0%*%W1%*%W2;WW0%*%W123應(yīng)用示例單位選經(jīng)理，設(shè)立道德、才能、學(xué)識、健康四類12條標(biāo)準(zhǔn)：道德B1-忠誠正派C1、責(zé)任心強C2、虛懷若谷C3才能B2-有遠見C4、協(xié)調(diào)力C5、善用人C6、善謀C7 、C8學(xué)識B3-精通業(yè)務(wù)C8、學(xué)歷高C9、有管理知識C10健康B4-身體健康C11、年齡合適C12三候選人打分匯總表及準(zhǔn)則判斷矩陣如下:A B1B