排列組合問(wèn)題種方法

1、解排列組合問(wèn)題的十七種常用策略1 完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有 m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2 種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法復(fù)習(xí)鞏固1.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)2完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。3解決排列組合綜合性

2、問(wèn)題的一般過(guò)程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還 是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多 少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問(wèn)題(有序)還是 組合(無(wú)序)問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多 少個(gè)元素.解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交 叉，因此必須掌握一些常用的解題策略4從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。1.排列的定義:2.組合的定義:3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:排列與組合的關(guān)鍵是問(wèn)題與次序有無(wú)

3、關(guān)系。5 加法原理和乘法原理：完成任務(wù)時(shí)是分類進(jìn)行還是步進(jìn)行。5一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù). 解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有_ 然后排首位共有_最后排其它位置共有_由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件67種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不

4、種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？練習(xí)題解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位：第二步由其余元素占位：小結(jié)：當(dāng)排列或組合問(wèn)題中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的時(shí)候，那么，一般先按排這些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。7二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰, 共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同

5、時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。 要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.8某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ）練習(xí)題209三.不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè) 獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出 場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共 有 種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 不同的方法 由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求

6、的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端10某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）30練習(xí)題11四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多 少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： （空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法 1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?12（

7、插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法4*5*6*7定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？13五.重排問(wèn)題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有 多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配 到車間有 種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配 到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有 種不同的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為

8、種nm141. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 422. 某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們 到各自的一層下電梯,下電梯的方法（ ）練習(xí)題15六.環(huán)排問(wèn)題線排策略例6. 5人圍桌而坐,共有多少種坐法? 解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人A并從 此位置把圓形展成直線其余4人共有_ 種排法即 ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有16練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成

9、幾種鉆石圈60設(shè)六顆顏色不同的鉆石為a,b,c d,e,f.與圍桌而坐情形不同點(diǎn)是a,b,c,d,e,f與f,e,d,c,b,a在圍桌而坐中是兩種排法，即在鉆石圈中只是一種排法,即把鉆石圈翻到一邊,所求數(shù)為：(61)!/260 要考慮“鉆石圈”可以翻轉(zhuǎn)的特點(diǎn) 17七.多排問(wèn)題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有_種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有_種,則共有_種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考

10、慮,再分段研究.18有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_346練習(xí)題甲乙都在前排： 1、都在左面4個(gè)座位 =6種 2、都在右面4個(gè)座位 同上，6種 3、分列在中間3個(gè)的左右 =32種 一共6+6+32=44種 甲乙都在后排： A(22)*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=110種 甲乙分列在前后兩排 A(22)*12*8=192種 一共44+110+192=346種 19八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi), 每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝 法.

11、解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共 有_種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合 元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?20練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有_ 種19221九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,這兩個(gè)奇數(shù)之 間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把,當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與排隊(duì)共有_種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_種排法，由分

12、步計(jì)數(shù)原理共有_種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。22.計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà),其中1幅水彩畫(huà),幅油畫(huà),幅國(guó)畫(huà), 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_(kāi)2. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_種23十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有_種分法。一班二班三班四

13、班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為24練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一 有多少裝法？2 .x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解 的組數(shù)25十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三 個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很 困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有_,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_,和為偶數(shù)的取法共有_再淘汰

14、和小于10的偶數(shù)共_符合條件的取法共有_ 9013015017023025027041045043+- 9+有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.26我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?練習(xí)題27十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？解: 分三步取書(shū)得 種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則 中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,E

15、F),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共 有 種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。281 將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4 個(gè)隊(duì), 有多少分法？2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人 但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同 的分組方法 （1540）3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_(kāi) 29十三. 合理分類與分步策略例13.

16、在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能 能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人 唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞 3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有_種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員_種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有_種，由分類計(jì)數(shù)原理共有_種。+30本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)

17、過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。311.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_ 34 練習(xí)題2. 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人, 2 號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x 2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法.2732十四.構(gòu)造模型策略例14. 馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān) 掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型

18、在6盞 亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈 有_ 種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決33練習(xí)題某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？12034十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2 3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,. 有多少投法 解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種 還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)

19、盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒34535十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2 3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,. 有多少投法 解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種 還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法, 同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2 種 36對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)

20、收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題 同一寢室4人,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái), 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則 不同的著色方法有_種213457237十六. 分解與合成策略例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=235 7 1113依題 意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè) 因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有 的偶因數(shù)為：例17.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面 直線38解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四 體共有體共_每個(gè)四面體有_對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成_對(duì)異面直線