2021-2022學(xué)年山西省長治市校高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年山西省長治市校高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)，則（）ABCDC復(fù)數(shù)分子分母同時(shí)乘以，再化簡整理即可.【詳解】，故選：C本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2已知向量，若，則（）ABCDD【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，解?故選：D.3設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10 x1，10 x2，10 xn的方差為（）A0.01B0.1C1D10C【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題

2、.4正方體中，異面直線與所成角為（）ABCDB【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合異面直線所成角的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，作正方體，如下圖所示：連接，異面直線與即所成的角為.由題可得為等邊三角形，.異面直線與所成的角為60.故選：B.5已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）ABCDB【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.6四名同學(xué)各擲骰子7次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的是（）A平均數(shù)為

3、，中位數(shù)為B中位數(shù)為 ，眾數(shù)為C平均數(shù)為，方差為D中位數(shù)為 ，方差為C【分析】根據(jù)題意舉出反例，即可得出正確選項(xiàng)【詳解】對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，4，6，6，6時(shí)，滿足平均數(shù)為4，中位數(shù)為4，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為3，3，3，4，4，5，6時(shí)，滿足中位數(shù)為4，眾數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯(cuò)誤；對于C，若平均數(shù)為3，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，平均數(shù)為3，方差為1時(shí)，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C正確；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，3，6，6，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯(cuò)誤故選：C7甲乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人

4、能破譯密碼的概率分別為，則密碼至少被一人成功破譯的概率為（）ABCDC【分析】先結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法公式求出密碼未被成功破譯的概率，進(jìn)而根據(jù)對立事件的概率和為1即可求出結(jié)果.【詳解】結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法公式可得密碼未被成功破譯的概率，則根據(jù)對立事件的概率和為1，可知密碼被成功破譯的概率為,故選：C.8在空間，若直線與平面所成角為，則（）ABCDD【分析】根據(jù)線面角定義，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)作平面于，連接，則為直線與平面所成的角，分別作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以，同理，因?yàn)椋?，所以?所以，則為的角平分線，

5、由，可得， 令，則，即，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，于是在直角三角形中，即故選：D二、多選題9已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論中正確的是（）AB在上投影向量為C的最小值為（）DBCD【分析】對于A，由已知條件計(jì)算判斷即可，對于B，利用平面向量的幾何意義判斷，對于C，結(jié)合已知條件可求出其最小值，對于D，計(jì)算判斷【詳解】對于A，因?yàn)閱挝幌蛄浚膴A角為，所以，所以A錯(cuò)誤，對于B，在上投影向量為，所以B正確，對于C，因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以C正確，對于D，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：BCD10設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A的共軛復(fù)數(shù)為 BC若是方程的根，則DAD【分析】對于A，

6、由共軛復(fù)數(shù)的定義判斷即可，對于B，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求解判斷，對于C，由題意可知方程的根為和，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出，對于D，設(shè)，結(jié)合可表示出的值，再由可求出，從而可求出【詳解】對于A，因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為 ，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對于C，若，則由題意可知方程的根為和，所以，得，所以C錯(cuò)誤，對于D，設(shè)，因?yàn)?，所以解得，因?yàn)?，所以，解得，所?，所以D正確，故選：AD11某高中有學(xué)生人，其中男生人，女生人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為的樣本經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為，方差為；女生身高樣本均值為，方差為下列說法中正確的是（）A男生

7、樣本量為B每個(gè)女生入樣的概率均為C所有樣本的均值為D所有樣本的方差為AC【分析】由分層抽樣可判斷A；計(jì)算女生入樣的概率可判斷B；計(jì)算總體的均值可判斷C；計(jì)算總體的方差可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項(xiàng)A正確；對于B：每個(gè)女生入樣的概率等于抽樣比，故選項(xiàng)B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項(xiàng)C正確；對于D：設(shè)男生分別為，平均數(shù)，女生分別為，平均數(shù)，總體的平均數(shù)為，方差為，因?yàn)?，而，所以，同理可得，所以，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC12已知三棱錐中兩兩垂直，且，則下列結(jié)論正確的是（）A二面角 的正切值為B三棱

8、錐的內(nèi)切球的半徑為C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最小值為D是三棱錐的外接球上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到面距離的最大值為ACD【分析】將三棱錐嵌套在正方體內(nèi)，對于A：可證，結(jié)合二面角可知：二面角 的平面角為，運(yùn)算判斷；對于B：根據(jù)三棱錐內(nèi)切球的半徑公式，運(yùn)算判斷；對于C：根據(jù)正方體可證：，結(jié)合三角形面積分析可得：當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，面積取到最小值，運(yùn)算判斷；對于D：結(jié)合正方體可知：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，且為外接球的直徑，可證平面，則點(diǎn)到面距離的最大值為，運(yùn)算判斷【詳解】根據(jù)題意將三棱錐嵌套在正方體內(nèi)，如圖所示：連接交于點(diǎn)，在正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則二面角 的平面角為，則，A正確；三棱錐的表面積為，體積

9、為三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知：平面，則面積為當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，取到最小值面積的最小值為，C正確；三棱錐的外接球即為正方體的外接球，顯然為外接球的直徑，設(shè)，則平面同理可證：，則平面點(diǎn)到面距離的最大值為且，則為平行四邊形，則，D正確；故選：ACD三、填空題13已知一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是_5【分析】按照百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】一共是10個(gè)數(shù)，題目已將其從小到大排列好， ，即是第8位數(shù)和第9位數(shù)的平均值= ；故5.14拋擲兩枚大小質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為的概率是_【分析】先求出所有可能的點(diǎn)數(shù)組合數(shù)，再列舉出所有點(diǎn)數(shù)和為5的組合，應(yīng)用古典概率的求法求

10、概率.【詳解】兩枚骰子可能點(diǎn)數(shù)組合有種，而點(diǎn)數(shù)和為5的組合有、共有4種，所以向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為.故答案為.15在四面體中，都是邊長為的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的表面積為_.【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系找到球心，計(jì)算球的半徑和體積即可.【詳解】依題意作上圖，取BD的中點(diǎn)P，連接AP，CP，取 的中心E， 的中心G，分別作平面ABD和平面BCD的垂線，得交點(diǎn)H，則H點(diǎn)就是四面體ABCD外接球的球心，CH就是球的半徑r， ， ，外接球的面積為 ；故 .16的內(nèi)角的對邊分別為.若，邊角平分線，則邊的最小值為_【分析】由結(jié)合已知條件可得，再利用基本不等式可得，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)

11、時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，【詳解】因?yàn)椋堑钠椒志€，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值12，所以的最小值為，故四、解答題17在中，內(nèi)角的對邊分別為，點(diǎn)在邊上，且，邊.(1)求的面積；(2)求.(1)(2)【分析】（1）由已知條件可得為等邊三角形，從而得到各個(gè)邊長，然后利用面積公式求解即可.（2）由余弦定理可得AC長，然后利用正弦定理即可求解.【詳解】(1)且，為等邊三角形，,的面積(2)在中，由余弦定理可得在中，由正弦定理可得，18第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重

12、要保障某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并按照，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同(1)求，的值；(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的中位數(shù)，平均數(shù)（精確到0.1）；(3)若先用按比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從面試成績在段的候選者中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一分?jǐn)?shù)段的概率(1)，(2)中位數(shù)，平均數(shù)69(3)【分析】（1）根據(jù)第二、三、四組的頻率之和為0.9，即可求出，再根據(jù)頻率這和等于1，即可求出；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù)即可；（3）分別求出抽取

13、6中兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，再利用列舉法列舉出所有基本事件，再根據(jù)古典概型即可得出答案.【詳解】(1)解：因?yàn)榈诙?、三、四組的頻率之和為0.9，所以，解得，再由第一組、第五組的頻率之和為，即，得；(2)解：根據(jù)頻率分布直方圖可知，第一、二組的頻率之和為0.3，第一、二組、三組的頻率之和為0.75，所以中位數(shù)在第三組，且為，平均數(shù)為；(3)解：由（1）可得面試成績在段和段的候選者分別有5人和25人，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則需在段中抽取1人，設(shè)為A，在段中抽取5人，分別設(shè)為，該試驗(yàn)的樣本空間為，共有15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)“從這6人中隨機(jī)抽取2人，這2人來自同一分?jǐn)?shù)段”為事件，則，有10個(gè)樣本點(diǎn)，

14、所以2人來自同一分?jǐn)?shù)段的概率為19在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).(1)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證平面；(2)若ABC=60，求證：平面.(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由題意可證明，再由線面平行的判定定理可證明.（2）由題目條件證明到，再由線面垂直的判定定理可證明.【詳解】(1)分別取的中點(diǎn)，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面(2)證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為正三角形，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫?，平?所以；因?yàn)樗云矫?20的內(nèi)角的對邊分別為.的面積為，且.(1

15、)求角；(2)求的最大值.(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理及面積公式，可求出的值，進(jìn)而即得；（2）由題可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】(1)，；(2)由正弦定理得：，所以的最大值為.21如圖，三棱臺(tái)ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC （I）證明：EFDB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值（I）證明見解析；（II）【分析】（）方法一：作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據(jù)勾股定理可證得，又，可得，即得平面，即證得；（II）方法一：由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的

16、正弦值【詳解】（）方法一：幾何證法作交于，連接平面平面，而平面平面，平面，平面，而平面，即有，在中，即有，由棱臺(tái)的定義可知，所以，而，平面，而平面，方法二【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系方法作交于O平面平面，而平面平面，平面，平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)OC=1,，,，,BCBD,又棱臺(tái)中BC/EF,EFBD；方法三：三余弦定理法平面ACFD平面ABC，,，又DC =2BC,即,又，（II）方法一：幾何法因?yàn)椋耘c平面所成角即為與平面所成角作于，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)樗云矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面即在平面?nèi)的射影為，即為所求角在中，設(shè)，則，故與平面所成角的正弦值為方

17、法二【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系法設(shè)平面BCD的法向量為,由（）得,令,則,，,由于，直線與平面所成角的正弦值為 方法三：空間向量法以為基底,不妨設(shè)，則(由（）的結(jié)論可得）設(shè)平面的法向量為，則由得取，得設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角也為，由公式得方法四：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分線上設(shè)直線與平面所成角為，則與平面所成角也為由由（）的結(jié)論可得，由三余弦定理，得，從而方法五：等體積法設(shè)H到平面DBC的距離為h，設(shè),則,設(shè)直線與平面所成角為，由已知得與平面所成角也為由，,求得，所以【整體評價(jià)】（）的方法一使用幾何方法證明，方法二利用空間直角坐標(biāo)系方法，簡潔清晰，通性通法，

18、確定為最優(yōu)解；方法三使用了兩垂直角的三余弦定理得到，進(jìn)而證明，過程簡潔，確定為最優(yōu)解（II）的方法一使用幾何做法，方法二使用空間坐標(biāo)系方法，為通性通法，確定為最優(yōu)解；方法三使用空間向量的做法，避開了輔助線的求作；方法四使用三余弦定理法，最為簡潔，確定為最優(yōu)解；方法五采用等體積轉(zhuǎn)化法，避免了較復(fù)雜的輔助線.22某學(xué)校舉行知識(shí)競賽，第一輪選拔共設(shè)有四個(gè)問題，規(guī)則如下：每位參加者計(jì)分器的初始分均為分，答對問題分別加分、分、分、分，答錯(cuò)任一題減分；每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰