新編數(shù)學(xué)數(shù)列專(zhuān)題復(fù)習(xí)之典型例題含答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-求通項(xiàng)一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)：觀察法和分拆與類(lèi)比法-猜測(cè)-證明（略）二、由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n1，則它的通項(xiàng)公式為an_.答案23n1練1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)答案aneq blcrc (avs4alco1(2，n1,6n5，n2)三、由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)例3、（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 答案: ，（2）（4）在數(shù)列中，且（）（）設(shè)（），證明是等比

2、數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；答案: （3）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；答案:（4）已知數(shù)列滿(mǎn)足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求答案: 注意：由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)常見(jiàn)類(lèi)型（請(qǐng)同學(xué)們查看高一筆記）1. 2 . .3 （其中p，q均為常數(shù)，）。4 . （1） .（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q, r均為常數(shù)）（2）5.遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿(mǎn)足6、 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)7、8. 9.或 10.雙數(shù)列型數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-求和問(wèn)題一、掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法：1.公式法求和：（1）等差數(shù)列 （2）等比數(shù)列 2.錯(cuò)位相減法

3、：主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中、中一個(gè)為等差數(shù)列，另一個(gè)為等比數(shù)列。3.裂項(xiàng)相消法：一般適用于通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中為等差數(shù)列。常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧有：4.倒序相加法： 5.分類(lèi)相加法：將數(shù)列適當(dāng)拆分，重新組合，變成幾個(gè)可以求和的部分再分別求和。6.分奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)求和二、例題鞏固例1.求和：解：例2求和Sn1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)f(1,2n1).解：Sn2eq blcrc(avs4alco1(nf(f(1,2)blc(rc)(

4、avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(1,2n1)2n2.例3（08安徽卷）在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿(mǎn)足條件， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（）。（）例4在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解 (1) Sneq f(1,2n1).(2) Tneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1).例5正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)

5、任意的，滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列前n項(xiàng)和為，求證：解：（1）（）數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的單調(diào)性例1、已知函數(shù)（1）求的反函數(shù)；（2）設(shè) （nN*），求；（3）設(shè),否存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由例2、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求的取值范圍解：（） ，（）所求的的取值范圍是例3設(shè)為常數(shù)，且（1）證明對(duì)任意；（2）假設(shè)對(duì)任意有，求的取值范圍.解： a0的取值范圍為數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例1(2012南昌模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y

6、bxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bneq f(n1,4an)(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：（1）r1.(2)Tneq f(3,2)eq f(1,2n)eq f(n1,2n1)eq f(3,2)eq f(n3,2n1).練1 (2011福建)已知等比數(shù)列an的公比q3，前3項(xiàng)和S3eq f(13,3).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)f(x)Asin(2x)(A0,0)在xeq f(,6)處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f(x)的解析式解 (1) aneq f(1,3)3n13n2.(2)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)3sin

7、eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).二、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用例2、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,=an-2n+1+,n=1,2,3,.(I)求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an; (II)設(shè)Tn=, n=1,2,3,.,證明:解：（） n=1，2，3， 練2在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（）證明：解：（）練3.數(shù)列()求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ()設(shè)證明：當(dāng)解 ()的通項(xiàng)公式為三、數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用（點(diǎn)列問(wèn)題）例3如圖，從點(diǎn)P1（0,0）作x軸的垂線(xiàn)交于曲線(xiàn)y=ex于點(diǎn)Q1（0

8、,1），曲線(xiàn)在Q1點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸交與點(diǎn)P2。再?gòu)腜2作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）（k=1,2，n）。（）試求與的關(guān)系（2kn）；（）求解（）。（）四、數(shù)列與三角交匯例4(2011安徽) 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作，再令，n1.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（）（）所以五、數(shù)陣問(wèn)題例5練習(xí)個(gè)正數(shù)排成幾行幾列: 其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有公比相等,已知, 試求的值.解：.數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-求通項(xiàng)一、由數(shù)

9、列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)：觀察法和分拆與類(lèi)比法-猜測(cè)-證明（略）二、由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n1，則它的通項(xiàng)公式為an_.答案23n1練1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)答案aneq blcrc (avs4alco1(2，n1,6n5，n2)三、由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)例3、（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 答案: ，（2）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；答案:（3）已知數(shù)列滿(mǎn)足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求答案: （4）在數(shù)列中，且（）（）設(shè)（），證明是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

10、；答案: 注意：由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)常見(jiàn)類(lèi)型（請(qǐng)同學(xué)們查看高一筆記）1. 2 . .3 （其中p，q均為常數(shù)，）。4 . （1） .（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q, r均為常數(shù)）（2）5.遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿(mǎn)足6、 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)7、8. 9.或 10.雙數(shù)列型數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-求和問(wèn)題一、掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法：1.公式法求和：（1）等差數(shù)列 （2）等比數(shù)列 2.錯(cuò)位相減法：主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中、中一個(gè)為等差數(shù)列，另一個(gè)為等比數(shù)列。3.裂項(xiàng)相消法：一般適用于通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中為等差數(shù)列。常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧有：4.倒序相

11、加法： 5.分類(lèi)相加法：將數(shù)列適當(dāng)拆分，重新組合，變成幾個(gè)可以求和的部分再分別求和。6.分奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)求和二、例題鞏固例1.求和：解：例2求和Sn1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)f(1,2n1).解和式中第k項(xiàng)為ak1eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2k1)eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)k,1f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2k).Sn2eq blcr

12、c(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,22)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)2eq blcrc(avs4alco1(111o(,sdo4(n個(gè))blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,22)f(1,2n)2eq blcrc(avs4alco1(nf(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(1,2n1)2n2.例3（08安徽卷）在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿(mǎn)足條件， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為

13、,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，= 即例4在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，anSnSn1(n2)，Seq oal(2,n)(SnSn1)eq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得eq f(1,

14、Sn)eq f(1,Sn1)2，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首項(xiàng)為eq f(1,S1)eq f(1,a1)1，公差為2的等差數(shù)列eq f(1,Sn)12(n1)2n1，Sneq f(1,2n1).(2)又bneq f(Sn,2n1)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，Tnb1b2bneq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco1

15、(f(1,2n1)f(1,2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1).例5正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列前n項(xiàng)和為，求證：解：（1），令，且）數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，（且）當(dāng)時(shí)，（）（2）14分?jǐn)?shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的單調(diào)性例1、已知函數(shù)（1）求的反函數(shù)；（2）設(shè) （nN*），求；（3）設(shè),否存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由例2、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求的取值范圍解：（）依題意，即，由此得因此，所

16、求通項(xiàng)公式為，（）由知，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又綜上，所求的的取值范圍是例3設(shè)為常數(shù)，且（1）證明對(duì)任意；（2）假設(shè)對(duì)任意有，求的取值范圍.（1）證法一：（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知a1=12a0（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k1）等式成立，則那么 也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）和（ii），可知等式對(duì)任何nN，成立. 證法二：如果設(shè) 用代入，可解出. 所以是公比為2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列. 即 （2）解法一：由通項(xiàng)公式 等價(jià)于 （i）當(dāng)n=2k1，k=1，2，時(shí)，式即為 即為 式對(duì)k=1，2，都成立，有 （ii）當(dāng)n=2k，k=1，2，時(shí)，式即為 即為 式對(duì)k=1，2，都成立，有 綜上，式對(duì)任

17、意nN*，成立，有故a0的取值范圍為解法二：如果（nN*）成立，特別取n=1，2有 因此 下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意nN*， 由an的通項(xiàng)公式 （i）當(dāng)n=2k1，k=1，2時(shí)， （ii）當(dāng)n=2k，k=1，2時(shí)， EMBED Equation.3 故a0的取值范圍為數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例1(2012南昌模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bneq f(n1,4an)(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)將點(diǎn)(n，Sn)代入函數(shù)解

18、析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)問(wèn)錯(cuò)位相減求和解(1)由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，eq f(a2,a1)b，即eq f(bb1,br)b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bneq f(n1,42n1)eq f(n1,2n1).Tneq f(2,22)eq f(3,23)eq f(4,24)eq f(n1,2n1)，eq f(1,2)Tneq f(2,23)eq f(3,24)eq f(

19、n,2n1)eq f(n1,2n2)，兩式相減得eq f(1,2)Tneq f(2,22)eq f(1,23)eq f(1,24)eq f(1,2n1)eq f(n1,2n2)eq f(3,4)eq f(1,2n1)eq f(n1,2n2)，Tneq f(3,2)eq f(1,2n)eq f(n1,2n1)eq f(3,2)eq f(n3,2n1).此類(lèi)問(wèn)題常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等二、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用例2、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和 (I)求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an; (II)設(shè)Tn=, n=1,2,3,.,證明:解：（）由 得 所以

20、 a1=2再由有 將和相減得 整理得 ，因而數(shù)列是首項(xiàng)為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，即 ，n=1，2，3，因而 n=1，2，3，（）將代入得所以，練2在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（）證明：解：（）由條件得由此可得猜測(cè)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立（）n2時(shí)，由（）知故綜上，原不等式成立 練3.數(shù)列()求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ()設(shè)證明：當(dāng) 解 ()因?yàn)橐话愕?/p>

21、，當(dāng)時(shí)，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為()由()知， -得， 所以 要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立. 證法一 (1)當(dāng)n=6時(shí)，成立. (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 由(1)、(2)所述，當(dāng)n6時(shí)，即當(dāng)n6時(shí)， 證法二 令，則 所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，三、數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用（點(diǎn)列問(wèn)題）例3如圖，從點(diǎn)P1（0,0）作x軸的垂線(xiàn)交于曲線(xiàn)y=ex于點(diǎn)Q1（0,1），曲線(xiàn)在Q1點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸交與點(diǎn)P2。再?gòu)腜2作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）（k=1,2，n）。（）試求與的關(guān)系（2kn）；（）求解（）設(shè)，由得點(diǎn)處切線(xiàn)方程為由得。（），得，所以于是，例4如圖，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)P。直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)直線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)，。點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列。OP1P2QOP1P2Q2P3PQ1xyl1l2（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）比較與的大小。（）證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是，由已知條件得點(diǎn)Qn