課件第十一部分區(qū)間估計

1、第十一章 區(qū)間估計置信區(qū)間正態(tài)總體下的置信區(qū)間1第一節(jié) 置信區(qū)間對應(yīng)總體的某一個樣本觀測值，我們可以得到點估計量的一個觀測值，但是它僅僅是參數(shù)的一個近似值.由于 是一個隨機變量，它會隨著樣本的抽取而隨機變化，不會總是和相等，而存在著或大、或小，或正、或負(fù)的誤差.即便點估計量具備了很好的性質(zhì)，但是它本身無法反映這種近似的精確度，且無法給出誤差的范圍.為了彌補這些不足，我們希望估計出一個范圍，并知道該范圍包含真實值的可靠程度.這樣的范圍通常以區(qū)間的形式給出，同時還要給出該區(qū)間包含參數(shù)真實值的可靠程度.這種形式的估計稱之為區(qū)間估計.2第一節(jié) 置信區(qū)間例 對明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計為:若設(shè)X表示明年小

2、麥畝產(chǎn)量,則估計結(jié)果為P(800X1000)=80%明年小麥畝產(chǎn)量八成為800-1000斤.區(qū)間估計3第一節(jié) 置信區(qū)間例1某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X(單位)服從正態(tài)分布N(,2),今隨機抽取100畝進(jìn)行試驗,觀察其畝產(chǎn)量值x1,x2,x100,基此算出 ,因此的點估計值為500.由于抽 樣的隨機性, 的真值與 的值總有誤差,我們希望以95%的可靠度估計 與的最大誤差是多少?因為,從而存在c0,使得,因此,這個c就是可允許的最大誤差4第一節(jié) 置信區(qū)間定義 設(shè)X1,X2,Xn是來自總體f(x,)的樣本, 未知,對于任給（0 1),若有統(tǒng)計量 則稱隨機區(qū)間 為的雙側(cè)1的置信區(qū)間,1為置信水平,使得 5第

3、一節(jié) 置信區(qū)間6第一節(jié) 置信區(qū)間7第一節(jié) 置信區(qū)間8第一節(jié) 置信區(qū)間9第一節(jié) 置信區(qū)間10第一節(jié) 置信區(qū)間這時必有 11例1某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X(單位)服從正態(tài)分布N(,2),今隨機抽取100畝進(jìn)行試驗,觀察其畝產(chǎn)量值x1,x2,x100,基此算出 ,因此的點估計值為500.由于抽 樣的隨機性, 的真值與 的值總有誤差,我們希望以95%的可靠度估計 與的最大誤差是多少?因為,因此,就是c值，解此處,2=1002，n=100,因此置信區(qū)間12第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個正態(tài)總體N(,2)的情形一、均值估計（均值的置信區(qū)間）1. 2已知時X1,X2,Xn為取自N(,2)的樣本,求的1-置信區(qū)

4、間13第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個正態(tài)總體N(,2)的情形2. 2未知時14第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個正態(tài)總體N(,2)的情形例為估計一批鋼索所能承受的平均張力（單位：kg/cm2），從中隨機抽取10個樣品作試驗，由實驗數(shù)據(jù)算出 ， 假定張力服從正態(tài)分布，求平均張力的置信水平為95%的置信區(qū)間.解15第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個正態(tài)總體N(,2)的情形二、方差的估計（方差2的置信區(qū)間）1. 已知時X1,X2,Xn為取自N(,2)的樣本,求2的1-置信區(qū)間16第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間單個正態(tài)總體N(,2)的情形1. 未知時17第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體N(1,12

5、), N(2,22)的情形設(shè)X1,X2,Xm為取自N(1,12)的樣本, Y1,Y2,Yn為取自N(2,22)的樣本,且（X1,X2,Xm，）與（Y1,Y2,Yn）相互獨立，求二總體均值差1- 2的1-置信區(qū)間18第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體N(1,12), N(2,22)的情形1- 2 的置信區(qū)間1. 12, 22已知時19第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體N(1,12), N(2,22)的情形2. 12=22=2未知時20第二節(jié) 正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體N(1,12), N(2,22)的情形例甲、乙兩臺機床加工同一種零件，今在機床甲加工的零件中隨機抽取9件，在乙加

6、工的零件中隨機抽取6件，分別測量零件的長度（單位：mm），由測得的數(shù)據(jù)可算出假定零件長度服從正態(tài)分布，試求兩臺機床加工零件長度的均值差1-2的水平為95%的置信區(qū)間。解令n1=9,n2=6水平為95%的1-2的置信區(qū)間為-0.6056，0.616421例1 某工廠生產(chǎn)一批滾珠, 其直徑 X 服從正態(tài)解 (1)即分布 N( 2), 現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機抽 (1) 若 2=0.06, 求 的置信區(qū)間 (2) 若 2未知,求 的置信區(qū)間 (3) 求方差 2的置信區(qū)間.取 6 件, 測得直徑為15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信度均為0.9522 的置信區(qū)

7、間為(2) 取查表由給定數(shù)據(jù)算得23 2 的置信區(qū)間為(3) 選取樞軸量查表得 的置信區(qū)間為24第三節(jié) 抽樣推斷我們在對社會問題的抽樣調(diào)查中，通常關(guān)心的是總體中具某種特性的個體的比率，所以我們在個體具備某種特性的時候 ，不具備某種特性時，令其為0，稱樣本中具有某種特性的個體的百分?jǐn)?shù)為樣本成數(shù)。樣本成數(shù)的公式：25第三節(jié) 抽樣推斷例 欲調(diào)查某選區(qū)候選人A獲勝的百分比 ，從該選區(qū)抽取2500個選民進(jìn)行民意測試，其中1328人贊成選該候選人，則樣本成數(shù)為 ，而總體成數(shù) ，正是需推斷的通常用樣本成數(shù) 估計 ，其估計誤差為 - 有時也稱 - 為抽樣誤差，抽樣誤差為不可觀察的。大小用標(biāo)準(zhǔn)差 來度量，成為標(biāo)準(zhǔn)誤。記為SE26第三節(jié) 抽樣推斷當(dāng)抽樣無放回時，統(tǒng)一用 計算標(biāo)準(zhǔn)誤。而 作為 的估計 的分布由中心極限定理，可得 的漸進(jìn)分布：對給定的 有因此總體成數(shù) 的水平為 的漸進(jìn)置信區(qū)間為27例 某市大學(xué)生1987年注冊的有25000名，為調(diào)查住在家里的大學(xué)生