反證法在中學數(shù)學中的應用

1、-. z.引言有一個故事講的是奸臣彈劾賢能的大臣，最后賢能的大臣被陷害要被皇上處死，可是皇上覺得這位大臣罪不該死，就把生死兩個字分別寫在兩紙條上，讓這個大臣自己選擇其中一紙條，是生便生，是死便死。但是，奸臣卻在紙條上做了手腳，讓他抽出的任何一紙條上面寫的都是死字。這個陰謀被賢能之臣的好友發(fā)現(xiàn)了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前揭發(fā)奸臣的詭計。但是這個快要被處死的大臣卻沒讓好友這么做，而是很快樂的告訴好友：不要有任何舉動，當我拿到紙條以后，就快速吃進嘴里，則監(jiān)斬官就不得不看剩下的那紙條了，這樣監(jiān)斬官可以推斷出我吃進去的紙條上面寫的是生字，則我不就得救了 REF _Ref446843322 r

2、 h * MERGEFORMAT 1。通過這個故事，我們能夠看出這個即將走上死路的大臣是通過什么方法挽救了自己的生命，賢臣是利用了生相對于死的反證法，這樣就輕松解決了自己被殺掉的危機。哈代是一位非常優(yōu)秀的英國數(shù)學家，他說出過這樣的言論：反證法對于數(shù)學家來說，就是最強有力的一件武器，比起象棋開局讓子以取得優(yōu)勢的方法還要高明很多，象棋對弈最多犧牲一子，而數(shù)學家在運用反證法的時候索性全盤否認，拱手相讓，最終卻取得了勝利REF _Ref446843457 r h * MERGEFORMAT REF _Ref446843457 r h * MERGEFORMAT 2。這些表達了反證法的神奇之處和不可動搖

3、的地位。反證法是如此神奇，反證法即可以應用到生活當中去解決危機，又可以解決數(shù)學中的難題。本文就是具體分析反證法在數(shù)學中是如何應用的，希望能為大家學習和運用反證法提供幫助。反證法的介紹反證法的概念要證明一個命題成立，有時候不容易直接證明，就可以考慮從反向思考證明。則先提出與求證的結(jié)論相反的假設，然后推導出和證明的定理或公理、定義、原題設相矛盾的結(jié)果，這樣就證明了跟求證的結(jié)論相反的假設是不能成立，從而肯定了原來求證的結(jié)論是成立的，這種間接證明的方法叫反證法 REF _Ref448388451 r h * MERGEFORMAT 3。反證法的證明步驟大概能夠把運用反證法證明命題的方式分為以下三步：1

4、反設假設命題的結(jié)論的反面是成立的。2歸謬通過假設的結(jié)論去證明，從而推出一些相矛盾的結(jié)論。3結(jié)論說明要證明命題的結(jié)論的反面是不能成立的，那就證明了命題的結(jié)論是成立的。反證法的邏輯依據(jù)在邏輯思想學中有兩個規(guī)律一個是矛盾律另一個就是排中律，這兩個規(guī)律為反證法提供了思想理論依據(jù) REF _Ref446843617 r h * MERGEFORMAT 4。矛盾律就是在同樣的一個思維方式情況下，兩個相反的或者是有矛盾點的定義或者結(jié)論之間都是真的情況是不可能的，至少有一個是假的 REF _Ref446843644 r h * MERGEFORMAT 5；排中律就是結(jié)論與相反的結(jié)論，在這兩個結(jié)論之間是不能夠出

5、現(xiàn)都是假的情況的，必定有一個是真的 REF _Ref446843692 r h * MERGEFORMAT 6。運用反證法的時候，根據(jù)矛盾律在兩個相反的結(jié)論當中，一定不能夠出現(xiàn)這兩個結(jié)論都是真的情況，在原來已經(jīng)知道或者已經(jīng)證明推導出的真的結(jié)論的根底上，則假設的結(jié)論，也就是相反的結(jié)論，就必定是假的 REF _Ref448156308 r h * MERGEFORMAT 7。依照排中律中的規(guī)律，得出其中的這兩個結(jié)論都是假的情況也是不可能出現(xiàn)的，則結(jié)論真假的情況就一定是一個真一個假，通過最終證明，最后的假設一定是假的，則就可以推導出原有的結(jié)論就一定不能假，必定是真。所以，有了邏輯思維的理論根底作為反

6、證法的依據(jù)，反證法就是可信的。反證法就是通過矛盾律證明與命題相矛盾的命題是假的，即根據(jù)排中律確定命題是真的證明方法，是一種間接證明方法。其證明過程如下：要證明命題p。第一步：假設反命題非p。第二步：證明非p虛假依據(jù)矛盾律。第三步：所以命題p為真依據(jù)排中律。反證法的分類目前根據(jù)我所了解到關于反證法的分類，主要是按照了反設方面出現(xiàn)的不同類型可以分為兩類，一類就是歸謬反證法，另一類就是窮舉反證法 REF _Ref446843814 r h * MERGEFORMAT 8。歸謬反證法如果結(jié)論的反面只有一種類型，則反設就只有一種，則要做的就是證明這個反設是錯誤的，從而可以證明出結(jié)論正確。這個證明方法就是

7、反證法分類的第一類歸謬反證法 REF _Ref446843814 r h * MERGEFORMAT 8。例1 是整數(shù)，同時為偶數(shù)，求證；是偶數(shù)。分析：如果想要直接就用什么方法進展證明，可能沒有任何想法，雖然題中給的條件很簡單，很明了，我們也能夠很清楚的讀明白題意，但是正面解題沒有什么關鍵點，這時候就需要換個角度對此題進展證明，如果我們從反面進展思考，在題中給的條件中進展反面分析，偶數(shù)相對的就只有奇數(shù)這一種情況，這樣就有了比擬清晰的思路，這道題反面分析，就是可以證明在是奇數(shù)的情況下，而不是偶數(shù)，這樣到達了證明的目的。證明：假設是一個奇數(shù)。則也就是偶數(shù)，就可以得出結(jié)果也是一個偶數(shù)，最后得出是一個

8、奇數(shù)，結(jié)論和題目中是偶數(shù)產(chǎn)生了矛盾點。假設不成立，即是偶數(shù)。窮舉反證法假設是出現(xiàn)了結(jié)論的反面不只是一種，則就要把反面的類型一一列舉出來，分情況去證明它們都是錯誤的，這樣就可以到達證明原來結(jié)論是正確的，這個證明方法就是反證法分類的第二類窮舉反證法 REF _Ref446843814 r h * MERGEFORMAT 8。窮舉法就是要把可能的情況都列舉出來，帶入實際，一個個的去檢驗是否符合。計算機經(jīng)常采用種窮舉法進展工作，由于計算機的高速運轉(zhuǎn)，工作過程耗時很短，所以得到結(jié)論的時間就很短，想要知道結(jié)論是真是假，就不用消耗則長時間。窮舉法能夠看成是一個最簡單的搜索：就是在一個集合中包含了所有的可能的

9、狀況元素，對這些元素都一一進展的排查，目的是查看其元素的可行性是不是存在 REF _Ref446843874 r h * MERGEFORMAT 9。例2設都是整數(shù)，且能被整除，求證：和都能被整除 REF _Ref449695671 r h * MERGEFORMAT 10。分析：從題中可以看出結(jié)論是和都能被整除，則需要假設出它的反面，和不都能被整除，那就不只是一種情況，而分多種情況，就需要把它的反面都列舉出來，分情況去證明。證明：假設和不都能被整除，則有三種情形：1；2；3。1如果?？稍O，則所以，與條件能被整除相矛盾。2如果。同理可證這個假設也是錯誤的。3如果。則可設,這樣又有四種可能的情形

10、：；。對于情形，有這就說明，與條件相矛盾。同理可證，三種情形也是不能成立的。綜上所述，假設和不都能被整除是不成立的，由此原題得證。反證法的推理方法為什么使用反證法證明題如果從正向思考證明可以得出結(jié)論，我們就不用反向考慮，但正向思維比擬難以得出結(jié)論時，我們就需要考慮用反證法去證明，會比擬容易得出所需的結(jié)論。我們可以發(fā)現(xiàn)，反證法在數(shù)學證明題里運用是比擬常見的，數(shù)學教師曾經(jīng)教過我們解答證明題時從正向思考比擬困難的時候，可以反向思考，因為正難則反，字面上理解就是正著想的時候，無從下手的情況下，就要反著思考，使用反證法進展證明，首先想要證明結(jié)論為真，就要先進展假設，得到矛盾結(jié)論，這樣就能夠?qū)υ窘Y(jié)論進展

11、真假的證明。反證法的本質(zhì)就是根據(jù)假推導出真，則反命題和原命題的關系就必然相反，成對立關系，判斷其中一個真假則另一個命題的真假自然就出現(xiàn)了。使用反證法解題可以證明出從正向思考較難的命題，在反證法證明前都假設假設成立，則，無形中給我們增加了一個條件，只要導出矛盾所在即可。并且使用反證法可以使復雜的題目很快變的容易起來，做題思路也就會更加清晰。在現(xiàn)代數(shù)學中，反證法已經(jīng)成為要解決的問題的最常見和有效的方法之一。反證法不僅能反夠反響出證明的智慧，也表達了數(shù)學的神奇之處。當我們在應用反證法的時候熟練掌握做題的要領，認真思考證明過程，會使難解決的問題變的非常簡單，也對學習數(shù)學增加了信心。如何正確的做出反設假

12、設證明題從正面思考比擬難以證明結(jié)論，我們則反其道去證明。如何能正確是做出反設，也是反證法里面重要的步驟，運用反證法證明命題的第一步就是首先要進展假設，在原有的命題的根底上，對命題的結(jié)論進展否認，然后從這個結(jié)論的否認開場進展證明，證明其命題為假，但是首先要假設其成立才能進展后續(xù)的證明。這個步驟十分關鍵，重點在于要正確的做出反設，只有這樣后續(xù)的證明才能進展下去，最后的結(jié)論才能夠保證是正確的，如果一開場的反設就是錯誤的，則后面進展的推理證明就會因為開場的錯誤而錯，對證明命題沒有一點作用。如果想要正確的做出反設，就一定要注意下面幾個方面：將題目中的和結(jié)論理解透徹，將結(jié)論與相反假設之間的關系弄明白。如果

13、結(jié)論的反面不是一種類型，而是有很多種類型，則將這些類型都要考慮全面，一個個分類去進展證明，不能遺漏一點問題。總的來說，在將要對命題的結(jié)論做出否認之前，首要的任務就是理解結(jié)論，在結(jié)論的對立結(jié)論只有一種類型的時候，只需要假設這一種類型成立就行，很容易進展證明了。如果原本的結(jié)論的假設不只是一種類型，這種情況下，如果沒有考慮到還有其它的情況，沒有否認完全。想要進展證明就很難了。這時候認真理解題目，分析結(jié)論就十分關鍵，然后才能正確的做出反設。有以下幾種常見的類型：例如：第一，至少類型結(jié)論：至少有一個錯誤假設：至少有兩個或兩個以上正確假設：沒有一個第二，全部類型結(jié)論：全部都是。錯誤假設：全部的都不是。正確

14、假設：存在一個不是第三，最多類型結(jié)論：最多有一個錯誤假設：最少有一個正確假設：至少有兩個還有*些常用詞的否認形式：原結(jié)論詞假設詞原結(jié)論詞假設詞是不是存在不存在都是不都是至少有 n 個至多有n1個大小于不大小于至多有一個至少有兩個都大于至少有一個不大于都小于至少有一個不小于如何正確導出矛盾反證法有一個明顯常用的方法就是歸謬，歸謬不僅僅是反證法中的一個重點，也是一個難點。在剛剛接觸反證法的時候，做出反設的時候，證明過程中要找到矛盾點時，我們會感覺到不是很容易，有時候可能都不懂矛盾點在哪里。反證法的核心就是從證明結(jié)果的反面出發(fā)，運用爭取的理論方法求得矛盾的結(jié)果，因此如何導出矛盾的結(jié)果就是反證法的關鍵

15、所在。假設是要順利的找到結(jié)論和反設之間的矛盾，證明結(jié)論的正確性，首先要進展題目中邏輯關系的分析，弄清關系，這樣就可以進展相關的證明。在進展反證法證明過程中有兩個方面值得關注：第一點：導出矛盾，首先進展假設，從假設開場著手怎么去證明。第二點：證明過程一定要嚴謹，要有條理有依據(jù)的證明。從整體方面來說，歸謬的情況可能會出現(xiàn)下面幾個類型；推導出與命題條件相矛盾的結(jié)果。推導出與已經(jīng)證明過的定理相矛盾的結(jié)果。推導出與公理相矛盾的結(jié)果。推導出與定義相矛盾的結(jié)果。推導出與假設相矛盾的結(jié)果。反證法的應用反證法在中學數(shù)學中的應用是比擬常見，有些命題是適用于反證法的，只要掌握了它的特點，對于我們運用反證法是很好的幫

16、助，根據(jù)命題的特點分類有以下幾種適用于反證法的命題：唯一性命題當命題的結(jié)論需要證明唯一性，存在性時，適用于反證法。例3是兩條相交直線，求證只有一個交點 REF _Ref446844647 r h * MERGEFORMAT 11。證明：假設直線和不只有一個交點，則就是直線和至少有兩個交點。設這兩個交點為兩點，所以直線通過兩點，直線也通過兩點。從這我們可以得到，經(jīng)過兩點會有兩條直線和。這個結(jié)論和公理經(jīng)過兩點有且只有一條直線相矛盾。所以假設不成立，則只有一個交點。例4求證：方程的解是唯一的 REF _Ref450298709 r h * MERGEFORMAT 12。證明：由對數(shù)的定義可以得到是這

17、個方程的一個解。假設這個方程的解不是唯一的，它還有解，則。因為，則,即。由假設得,即當?shù)臅r候，有：。當?shù)臅r候，有。很明顯與都矛盾，這說明假設不成立，所以原方程的解是唯一的。否認性命題這種命題常出現(xiàn)以不是，不能，沒有這些否認性詞語，如果從正面考慮的話，就不容易進展證明，沒有思路，這時就需要考慮反證法了。例5求證：不存在條棱的多面體 REF _Ref447226429 r h * MERGEFORMAT 13。證明：假設存在條棱的多面體。則，組成這個多面體的每個面只能是三角形。如果有四邊形或者邊數(shù)更多的多邊形，除過這些邊最多只有條棱，根本不可能與個以上的頂點相連接。設每個面都是三角形的多面體有個面

18、為整數(shù)，由于每條棱都是兩個面的邊，所以，即，與是整數(shù)相矛盾。即證明不存在條棱的多面體。例6如果是不全相等的實數(shù)，且成等差數(shù)列，求證：不成等差數(shù)列 REF _Ref450324084 r h * MERGEFORMAT 14。證明：假設能成等差數(shù)列，則可以得出，因為成等差數(shù)列，即，則，即，由可以得出，與條件是不全相等的實數(shù)相矛盾。即假設錯誤，故原命題正確。至多至少型命題命題結(jié)論中有至多、至少的詞語時，可以考慮用反證法。例7求證：在一個三角形中，至少有一個角小于或等于。證明：假設三角形的三個角都大于，則三角形的角和大于，即三角形的角和大于，與三角形角和定理相矛盾，所以假設不成立，即在一個三角形中,

19、至少有一個角小于或等于。例8假設是正整數(shù)，且，求證或中至少有一個成立 REF _Ref450324177 r h * MERGEFORMAT 12。證明：假設與同時成立。又因為都大于，所以， QUOTE ,將兩式相加得到，這與條件相矛盾，因此假設不成立。所以或中至少有一個成立。必然性命題命題結(jié)論出現(xiàn)總是、都、全是等詞語。例9求證：任意凸多邊形不可能有四個角都是銳角 REF _Ref448598763 r h * MERGEFORMAT 15 REF _Ref446843585 r h * MERGEFORMAT 。證明：假設存在一個凸多邊形，其有四個角小于，即這四個角所對應的外角分別大于，則其

20、外角和大于.，這與任意凸多邊形的外角和為相矛盾。假設不成立，故任意凸多邊形不可能有四個角都是銳角。例10函數(shù)，如果數(shù)列滿足，求證：當時，恒有成立。證明：假設，則由可以得出，所以當時，又易證所以當時，即當時，；而當時，可以得出當，。與假設矛盾，所以假設不成立，原命題成立。起始性命題命題中的條件或者能夠應用的定理，公式較少，直接證明比擬困難，用反證法比擬容易證明。例11用周期定義證明的最小正周期是 REF _Ref450324781 r h * MERGEFORMAT 13。證明：因為，對一切成立，所以是的周期。要證明是的最小正周期。設是的最小正周期。即還有，對一切有成立，則，即1，取，則。因為，

21、所以，于是1式成為，取，則上式成為，矛盾。因此是最小正周期。例12在同一平面設有四條直線。假設與相交,，則與也相交。證明:假設。因為,所以。又因為，所以。這與條件與相交矛盾。假設不成立，故與也相交。無限性命題命題結(jié)論中包含各種無限的命題。例13求證：素數(shù)有無數(shù)個。證明：假設素數(shù)是有限的，設最大的一個素數(shù)為，作，表示的是被這中任意一個整除都會余的數(shù)，即只有和兩個約數(shù)，所以是個素數(shù)而且是比大的數(shù)，但這與最大的一個素數(shù)是相矛盾。即假設不成立，所以素數(shù)有無數(shù)個。例14 求證：是無理數(shù)。分析：看到題目會給人一種沒有方法證明的感覺，毫無思路可言。而且無理數(shù)從小數(shù)的角度分析是屬于無限不循環(huán)的，這樣就更加沒有

22、思路了。如果用反證法進展分析，把這個無理數(shù)假設成為一個有理數(shù)，則就會簡單許多。證明：假設是有理數(shù)，則存在互質(zhì)，使從而為偶數(shù)，記作，則也是偶數(shù)。即得出,都是偶數(shù)，與，互質(zhì)相矛盾，假設不成立，所以證明是無理數(shù)。不等式證明命題命題結(jié)論中有不等式的命題，可以考慮用反證法。例15，是大于等于的整數(shù)，求證。證明：假設。因為，所以，則，即。與條件相矛盾，所以假設不成立，故成立。例16在中，,求證： REF _Ref450325000 r h * MERGEFORMAT 16。分析：這個題也可以考慮用反證法進展證明，首先對的結(jié)論進展反設，所以就需要證明或這兩種結(jié)論不成立，就自然證明了原命題的結(jié)論是正確的。證明

23、：假設，所以有以下兩種情況：當，則為等腰三角形，所以,與條件相矛盾。當,在的延長線上取一點記為點，讓,連結(jié)。因為，所以為等腰三角形，所以，又因為為的一個外角，所以。而,所以即,與條件相矛盾。綜上所述，假設不成立，即原命題成立。反證法的教學價值及建議反證法在中學數(shù)學里有廣泛的應用，根據(jù)我自己在高中實習的經(jīng)歷，對于學生的學習能力和對知識的認識有一定的了解，對反證法的教學價值與建議，提出自己的一點看法。關于反證法，要早點向?qū)W生灌輸這種思想，讓學生自己慢慢的去認識反證法,只要學生能夠明白、認可其中的原理即可。反證法的教學價值培養(yǎng)思維嚴密性反證法在證明的過程中思維要十分的嚴密，思考周到。反證法和直接證法

24、之間也有十分密切的聯(lián)系,它們之間也相互作用?？傮w看來我們運用的是反證法，但是從局部看,在假設之后的推理過程中運用會運用直接證法。有時候在根本直接證法的推理中,又會運用一段反證法,用來確定*些所需的條件,假設的時候,一定要明白原題結(jié)論的反面是什么，詳細的寫出與原題結(jié)論相反的所有不同情況，再去否認，不能遺忘任何情況。反證法可以培養(yǎng)學生思維嚴密性，增加學生的耐心，也可以改掉他們粗心的缺點。培養(yǎng)數(shù)學思維的形成數(shù)學思維是科學的思維方法和技巧，是數(shù)學的本質(zhì)?，F(xiàn)在上課的模式改為高效課堂，它強調(diào)自主，高效，創(chuàng)新。我們都知道中國小學數(shù)學教育比西方顯著較好，但大學生的創(chuàng)新能力沒有西方學生的強，我們的教育著重于教誨

25、數(shù)學解題訓練，題海戰(zhàn)術(shù)，很少去啟發(fā)學生思考，理解題目，很少意識到的思維方式從而形成學生成績兩極分化，討厭數(shù)學，甚至學習好的學生也是對數(shù)學有恐懼心理，覺得數(shù)學是一門特別難學的科目。反證法可以很好的鍛煉學生思考問題的能力，通過練習反證法是培養(yǎng)數(shù)學思維方法的一種好方法。訓練逆向思維當我們看到一個數(shù)學問題時，都是會從正面思考怎么解答。就是根據(jù)條件，思考已經(jīng)掌握了可以運用的數(shù)學知識，由的條件慢慢導出未知。如果從正面的條件開場思考覺得比擬困難，則就可以考慮從反面去思考問題，這種逆向思維往往能解決看起來無法解答的問題，反證法的教學可以訓練學生的逆向思維，簡化計算過程，明確解題思路，提高解決問題的速度，促進創(chuàng)

26、新思維。了解數(shù)學史早在古希臘，反證法是數(shù)學家用來證明許多重要的數(shù)學命題的一種廣泛使用的方法，歐幾里得的幾何原本已經(jīng)開場使用反證法，我國在五世紀時邱建算經(jīng)中也有應用反證法 REF _Ref450327011 r h * MERGEFORMAT 2。牛頓曾經(jīng)說過；反證法在許多方面有不可替代的作用，是最精當?shù)臄?shù)學家武器之一。著名的費馬大定理，這個數(shù)學問題被克制，就是反證法的作用。歐幾里得曾用它來證明有無窮多個素數(shù)。而且反證法對培養(yǎng)學生的辯證思維有很大的幫助，在學習反證法的同時也可以了解數(shù)學的歷史，可以提高學生學習的興趣。反證法的教學建議要想讓學生徹底明白反證法的應用要點，必需要先明白學生在反證法的應

27、用中有什么困惑，一一對應去分析，才能對癥下藥，讓學生學習到反證法證明過程中的精華。第一，學生可能在以前的學習中有接觸過反證法，但是不太會獨立的應用反證法去證明命題。所以學生在學習過程中有可能會在這兩個方面出現(xiàn)問題：1在反設中怎樣否認結(jié)論，不清楚結(jié)論的反面有哪些。有時候不太清楚怎樣去否認，比方命題自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)的正確反設，學生可能就會假設為自然數(shù)都是奇數(shù)，讀到命題的時候?qū)W生應該想到的就是偶數(shù)的反面是奇數(shù)，就直接做出反設，其實還有至少有兩個偶數(shù)的時候這種情況，學生因為做題經(jīng)歷缺乏，不能夠考慮全面。這個命題正確的反設就是自然數(shù)都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)。在對命題的否認應該加強對學生的訓練。2導出

28、矛盾局部，有的時候是與*些定義、定理、公式或事實互相矛盾，有的時候是與條件互相矛盾，而有的時候又是與假設互相矛盾。因為可能矛盾的情況會有多種可能性，學生就會容易混淆，不太清楚矛盾點是屬于哪種類型。所以也要向?qū)W生多講解練習怎么樣導出矛盾。第二，反證法和直接證法是相對的，要學會靈活運用這兩種方法。有可能一個證明題里，會交替運用用這兩種證法。在一個直接證明中的過程中有可能會運用到反證法，要讓學生在做題中靈活運用反證法，善于發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，總結(jié)出更多做題的規(guī)律。第三，要清楚反證法的適用題型，了解了屬于哪類題型就會很快找到證明的要點。重點是要明白反證法應用的逆向思維，推斷出與命題中的條件或假設否認的結(jié)論或與定義、定理、事實等矛盾是反證法思考過程的特點。反證法這種證明方法也很好的表達了數(shù)學領域的邏輯思維，對于培養(yǎng)學生的邏輯思維方式，是一個值得選擇的方法?？梢猿浞值睦眠@種方法對學生的邏輯思維進展培養(yǎng)。教學里的反證法應該以教思想教誨為主的題目作為載體，應側(cè)重于教學生學會去運用反證的意識，提高他們的邏輯思維能力?？梢赃x取經(jīng)典的例題，題目的難度和個數(shù)都不重要，要使學生能深