雍浩浩-南浩張

1、對(duì)定位問題的和解決摘要目前如何確定已經(jīng)成為信息的重要傳遞載體，數(shù)據(jù)的分析顯得愈發(fā)重要。其中，的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是數(shù)據(jù)分析的重要方面。就是通過分析中物體的變化，確定拍攝的地點(diǎn)和日期的法。以此項(xiàng)技術(shù)為背景提出了 4 個(gè)問題。整個(gè)地球看做直角坐標(biāo)系并將所有的經(jīng)緯度轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)對(duì)四個(gè)問題進(jìn)行了分析計(jì)算。針對(duì)第一問，通過計(jì)算光線的直線方程，再根據(jù)確定出直桿所處位置的計(jì)算出直桿的直線方程，通過向量計(jì)算出兩直線的夾角，從而得到高度角的變化，進(jìn)而計(jì)算出長度的變化。在這個(gè)過程中采用了時(shí)間，以此來確定不同時(shí)刻直射點(diǎn)所處的經(jīng)度。針對(duì)第二問，因?yàn)槊刻斓母叨冉嵌加幸粋€(gè)最大值，故會(huì)有最短的時(shí)刻。根據(jù)第一問的結(jié)果用給數(shù)

2、據(jù)進(jìn)行擬合，從而找到擬合出了變化的曲線，找到擬合的方法后對(duì)問題二所長度的最短時(shí)刻，而這個(gè)時(shí)刻正是當(dāng)?shù)貢r(shí)間的正午時(shí)間，根據(jù)正午時(shí)間的時(shí)間即可以確定此地經(jīng)度。確定經(jīng)度后，位于不同緯度的地點(diǎn)在某兩個(gè)時(shí)刻的高度角的比值是是確定的，所以畫出隨緯度變化這個(gè)比值的變化曲線，從圖像交點(diǎn)得到所求緯度。針對(duì)第三問，由于題目中減少了時(shí)間這一信息，所以的緯度，從而得到每個(gè)日期的可能地點(diǎn)?？梢援嫵霾煌掌趯?duì)應(yīng)針對(duì)第四問，主要是從中得到影長的數(shù)據(jù)。為了便處理中的信息，對(duì)原始用 XVID 方式進(jìn)行了轉(zhuǎn)碼，轉(zhuǎn)碼后的的幀大小是 856*480。截圖后用 PS處理，得出必要的信息，如桿的像素長度，桿和地面接觸部分的坐標(biāo)等。再利用

3、OpenCV 計(jì)算機(jī)視覺庫結(jié)合 VC，每兩分鐘從中算，從而得到影長的數(shù)據(jù)。一幀，人工點(diǎn)選，然后程序計(jì)關(guān)鍵字：坐標(biāo)系變換向量計(jì)算多項(xiàng)式擬合影長比一、問題重述1.1 引言四個(gè)問題均與桿在下的投影有關(guān)。問題一通過給出已知的日期、地點(diǎn)，從而求出的長度隨時(shí)刻的變化規(guī)律。問題二和三則于問題一相反，已知各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的長度及位置，反求桿子所處的地點(diǎn)與日期。至于問題四，則是通過前三問得到的模型和方法，對(duì)給出的一段進(jìn)行分析，得到的拍攝地點(diǎn)。1.2 問題的提出圍繞日期、地點(diǎn)、時(shí)刻和的長度和位置，本文提出以下 4 個(gè)問題：(1)建立長度變化的數(shù)學(xué)模型，分析長度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用建立的模型畫出 2015 年

4、 10 月 22 日時(shí)間 9:00-15:00 之間廣場（北長度的變化曲緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直桿的線。(2)根據(jù)某固定直桿在水平地面上的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的桿所處的地點(diǎn)。將地點(diǎn)。的模型應(yīng)用于附件 1 的(3)根據(jù)某固定直桿在水平地面上的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將的模型分別應(yīng)用于附件 2 和附件 3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。(4)附件 4 為一根直桿在桿的高度為 2 米。請(qǐng)建立確定下的變化的，并且已通過某種方式估計(jì)出直拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用的

5、模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)確定出拍攝地點(diǎn)與日期？二、模型假設(shè)1.地球是標(biāo)準(zhǔn)的球體。2.光是平行光。3.桿的長度相對(duì)于地球半徑可忽略不計(jì)（可將地面視為沒有弧度的平面）。4.一年有 365 天。5.3 月 21 日為春分，當(dāng)天直射赤道。6.同一天里直射點(diǎn)所在的緯度不變。7.直桿垂直于地面，及延長線通過球心。三、符號(hào)說明四、問題分析4.1 問題一分析題目要求建立長度變化模型。首先，建立坐標(biāo)系，設(shè)出桿所在地點(diǎn)的坐標(biāo)；然后，推算出直射點(diǎn)位置與日期和時(shí)間的關(guān)系，得到光與桿的夾角，從而求出的長度；最后，通過得到的各個(gè)時(shí)刻的長度，繪制出一條曲線，擬合出曲線的方程。題目要求建立長

6、度變化模型。由投影知識(shí)知道，光照射在物體上時(shí)所形成的長度與光和直桿的夾角大小相關(guān)，這個(gè)夾角可以看做直桿所在直線的方向向量和光所在直線的方向向量的夾角。直桿所在坐標(biāo)確定了直桿所在直線的直線方程，所以直桿的坐標(biāo)是會(huì)影響長度的；而直射點(diǎn)的坐標(biāo)確定的長度，而決定。日期決定了了光線所在直線的方程，所以直射點(diǎn)的坐標(biāo)也會(huì)影響到直射點(diǎn)位置的變量就是時(shí)間，所以時(shí)間是必不可少的影響直射點(diǎn)的緯度，時(shí)刻決定了直射點(diǎn)的經(jīng)度。所以由時(shí)間以及待測點(diǎn)的坐標(biāo)就可以得到高度角，從而計(jì)算出長度。第一步，建立坐標(biāo)系，設(shè)出桿所在地點(diǎn)的坐標(biāo)。第二步，推算出的方向向量。直射點(diǎn)位置與日期和時(shí)間的關(guān)系，計(jì)算出光線所在直線第三步，由投影關(guān)系計(jì)算

7、4.2 問題二分析長度。與第一問相反，第二問題目給出了長度的數(shù)據(jù)以及測量的時(shí)間。要求給出測桿所在地點(diǎn)的緯度(北緯為正，南緯為負(fù))桿所在地點(diǎn)的經(jīng)度(東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù))(x0,y0,z0)桿所在地點(diǎn)的坐標(biāo)直射點(diǎn)的緯度直射點(diǎn)的經(jīng)度(x1,y1,z1)直射點(diǎn)的坐標(biāo)l桿長d影長影長比得的地理位置。從日出到日落的長度變化規(guī)律為先變短，再變長，所以只需要找出最短的時(shí)間即為當(dāng)?shù)氐恼鐣r(shí)間。所以找出一個(gè)可以找到最短的方法就可以找到當(dāng)?shù)氐恼鐣r(shí)間，再與時(shí)間進(jìn)行對(duì)比得到該地的經(jīng)度。對(duì)第一問中時(shí)間和長度的數(shù)據(jù)進(jìn)行四階多項(xiàng)式擬合，所以對(duì)問題二給出的數(shù)據(jù)依然進(jìn)行四階多項(xiàng)式擬合，得到最低點(diǎn)從而計(jì)算出經(jīng)度。針對(duì)緯度，由于題

8、目中未給出桿長，所以無法計(jì)算高度角的大小。當(dāng)固高度角的正切值和定經(jīng)度時(shí)，在同一緯度的同一天里，某一時(shí)刻（當(dāng)?shù)貢r(shí)間）的另一時(shí)刻（也為當(dāng)?shù)貢r(shí)間）高度角的正切值的比值是確定的，如下午三點(diǎn)與中午十二點(diǎn)的高度角正切值的比值。而這個(gè)比值恰恰就是長度的比值。在該經(jīng)度上取點(diǎn)作出緯度與這個(gè)比值的函數(shù)關(guān)系，再畫出測量地點(diǎn)的比值，得出交點(diǎn)即為所求解。4.3 問題三分析由于題目中減少了時(shí)間這一信息，所以無法根據(jù)日期來確定緯度。一年中的天數(shù)是有限的，所以可以用畫出每天的影長比隨緯度的變化曲線，再與測量地點(diǎn)的數(shù)據(jù)算出的影長比求圖像交點(diǎn)，從而得出不同時(shí)期對(duì)應(yīng)的緯度信息。4.4 問題四分析這一問給出的是信息，所以主要的難點(diǎn)是

9、從中得到影長的數(shù)據(jù)。為了便處理中的信息，選擇了對(duì)原始用 XVID 方式進(jìn)行了轉(zhuǎn)碼，轉(zhuǎn)碼后的的幀大小是 856*480。截圖后用 PS 處理，得出必要的信息，如桿的像素長度，桿和地面接觸部分的坐標(biāo)等。再利用 OpenCV 計(jì)算機(jī)視覺庫結(jié)合 VC，每兩分鐘從視頻中一幀，人工點(diǎn)選，然后程序計(jì)算，從而得到影長的數(shù)據(jù)。再結(jié)合前面的分析進(jìn)行求解。五、模型的建立與解決問題一的模型建立和解決模型的準(zhǔn)備（1）符號(hào)說明：桿所在地點(diǎn)的緯度(北緯為正，南緯為負(fù))：桿所在地點(diǎn)的經(jīng)度(東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù))(x0,y0,z0)：桿所在地點(diǎn)的坐標(biāo)：直射點(diǎn)的緯度：直射點(diǎn)的經(jīng)度(x1,y1,z1)：桿長：l影長：d(2)資料查找

10、直射點(diǎn)的坐標(biāo)北回歸線緯度為 232621”。時(shí)間是指東經(jīng) 120上的當(dāng)?shù)貢r(shí)間，并非當(dāng)?shù)貢r(shí)間。處于+8 時(shí)區(qū)，即時(shí)間比時(shí)間(0經(jīng)線的當(dāng)?shù)貢r(shí)間)超前 8 小時(shí)。5.1.2 模型的建立以地心為原點(diǎn)，地心到 0經(jīng)線與 0緯線交點(diǎn)為x方向，地心到東經(jīng) 90經(jīng)線方向建立空間直角坐標(biāo)系，由于與 0緯線交點(diǎn)為y方向，地心到北極點(diǎn)為 z計(jì)算的均為角度，地球半徑不會(huì)產(chǎn)生干擾，所以假設(shè)地球半徑為1。已知桿所在的位置 = 395426”, = 1162329”，轉(zhuǎn)化到該坐標(biāo)系內(nèi)，得到桿所在的位置的坐標(biāo)：x0=cos cos，y0= cos sin，z0= sin.再考慮直射點(diǎn)的位置，它由日期和當(dāng)天的時(shí)刻所決定。其期決

11、定緯度，當(dāng)天的時(shí)刻決定經(jīng)度。根據(jù)假設(shè) 3 月 21 日直射赤道，之后直射點(diǎn)向北移，又已知北回歸線緯度為0 =232621”，設(shè)經(jīng)過 n 天后，直射點(diǎn)的緯度為，那么有： = sin (2 ).0365從 3 月 21 日到 10 月 22 日，總共經(jīng)歷了 214 天，得 = 12546”.直射點(diǎn)的經(jīng)度由當(dāng)天時(shí)刻決定。設(shè)時(shí)間為x 時(shí) y 分 z 秒，則直射點(diǎn)經(jīng)度應(yīng)為360 = 180 3600 24 3600 + 60 + 時(shí)間 9 時(shí)和 15 時(shí)時(shí)，= 75.時(shí)間為 1 時(shí)和 7 時(shí)，帶入得到1 = 165，2由 、轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系內(nèi)，得到直射點(diǎn)的位置的坐標(biāo)：x1=cos cos，y1= cos

12、 sin，z1= sin.這樣得到了兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)(x0,y0,z0) (x1,y2,z3)，亦即原點(diǎn)到這兩點(diǎn)的向量?，F(xiàn)在我們只需求出這兩個(gè)向量的夾角，然后用桿長 l 乘以的正切值便能得出陰影的長度 d。由余弦定理，01 + 01+01cos =02 + 02 + 02 12 + 12 + 12從而得到1 2tan =進(jìn)一步有d= .5.1.3 問題的解決在 9 時(shí)到 15 時(shí)之間等間隔取 61 個(gè)點(diǎn)，根據(jù)上述的方法，利用分別計(jì)算出這 61 個(gè)時(shí)間點(diǎn)的的長度，并畫出曲線。問題二的模型建立和解決模型的準(zhǔn)備桿的長度公式 = 1 2= 01 + 01+011 ()202 + 02 + 02 12 + 1

13、2 + 1201 + 01+01= 02 + 02 + 02 12 + 12 + 120 cos cos + 0 cos sin+0 sin1 ()202 + 02 + 02 (cos cos)2 + (cos sin)2 + sin20 cos cos + 0 cos sin+0 sin= 02 + 02 + 02 (cos cos)2 + (cos sin)2 + sin2其中，x0,y0,z0 均為已知常量，在一天中也為常量，為時(shí)間的變量，且隨時(shí)間線性變化。由于該式過于復(fù)雜，不便于處理，決定用相對(duì)簡單的多項(xiàng)式并利用來進(jìn)行擬合。(1)二次曲線f(x) = p1*x2 + p2*x + p3

14、系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1=0.3415 (0.3319, 0.3511)p2=-8.38 (-8.61, -8.149)p3 =55.2 (53.84, 56.56)誤差項(xiàng)平方和: 0.6245R2: 0.9899(2)三次曲線f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1=-0.01342 (-0.01858, -0.008261)p2=0.8246 (0.6387, 1.011)p3=-14.1 (-16.31, -11.89)p4=77.49 (68.85, 86.14)誤差項(xiàng)平方和: 0.4231R2: 0.9931(3)四次曲線f(x

15、) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1 = 0.01251 (0.01196, 0.01307)p2 = -0.614 (-0.6407, -0.5873)p3 = 11.54 (11.06, 12.01)p4 = -98.19 (-101.9, -94.43)p5 = 322.7 (311.7, 333.7)誤差項(xiàng)平方和: 0.01137R2: 0.9998(4)五次曲線f (x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6系數(shù)(95%置信區(qū)間)：p1 = -0.0009598 (-0

16、.001221, -0.0006991)p2 = 0.0701 (0.05445, 0.08575)p3 = -1.986 (-2.36, -1.613)p4 = 27.76 (23.34, 32.19)p5 = -193.4 (-219.5, -167.4)p6 = 544.6 (483.8, 605.5)誤差項(xiàng)平方和: 0.005715R2: 0.9999根據(jù)擬合結(jié)果，可以看出，二階和三階多項(xiàng)式擬合效果一般，四階和五階效果較好，故排除前兩者。而五階多項(xiàng)式中五次項(xiàng)系數(shù)過小，意義不大，故階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。5.2.2 模型的建立決定選擇四知道，某地在當(dāng)?shù)貢r(shí)間 12 時(shí)時(shí)，光與桿的夾角最小，桿的影

17、長最短。故可以通過桿的影長最短的時(shí)刻，與時(shí)間進(jìn)行比較，從而推算出該地的經(jīng)度。將給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出一條四次曲線，設(shè)該曲線的極點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x 時(shí) y 分z 秒，那么該地經(jīng)度應(yīng)為 = 120 15 |x + 60 + 3600 12|下面計(jì)算緯度。首先說明不同時(shí)刻的影長之比和桿長無關(guān)。設(shè)桿在兩個(gè)時(shí)刻的影長為d1 和 d2，比值為1 11 = = 222與桿長無關(guān)。同一日期，設(shè)某地 12 時(shí)的影長與 15 時(shí)的影長比為，則有1 = 2在第一問中知道1 和2 是緯度的函數(shù)，故亦為緯度的函數(shù)，又由地球的對(duì)稱性可知，在同一緯度的各個(gè)經(jīng)度上，的照射規(guī)律是一樣的，故與經(jīng)度無關(guān)。現(xiàn)在， 從南緯 60到北緯

18、 60每隔 0.1取一點(diǎn)，計(jì)算出當(dāng)?shù)?12 時(shí)與 15 時(shí)的影長之比，得到了與的一個(gè)關(guān)系曲線。這時(shí)用之前擬合出的曲線，讀出 12 時(shí)和 15時(shí)的影長，得到該地的影長之比，再對(duì)應(yīng)到與的關(guān)系曲線中，最終得到，即該地的緯度。5.2.3 模型的解決(1)擬合曲線通過附件 1 的數(shù)據(jù)，計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻的長度：然后擬合出時(shí)間與影長的四次曲線：f(x) = 0.013874 0.80243+17.512 170.1x + 620該曲線的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為 12 時(shí) 39 分，可以得到該點(diǎn)經(jīng)度39 = 120 15 60 = 110.25通過曲線得到 12 時(shí)與 15 時(shí)影長的比值(12) = (15) =

19、0.3827再通過與的關(guān)系曲線，令=0.3827，得到的值，讀圖得=-14.77或 33.01，因?yàn)?14.77所在地點(diǎn)為海域，故舍去，所以得出測量地點(diǎn)為東經(jīng) 110.25，北緯 33.01。5.3 問題三的模型建立和解決5.3.1 模型的建立問題三和問題二類似，但沒有告訴日期，因此需將問題二的模型稍作改動(dòng)。首先，用附件二、三給的數(shù)據(jù)擬合出時(shí)間與影長的四次曲線。設(shè)該曲線的極點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x 時(shí) y 分 z 秒，那么該地經(jīng)度應(yīng)為 = 120 15 |x + 60 + 3600 12|同時(shí)可以算出 12 時(shí)與 15 時(shí)的影長比。然后由第二問可知，在同一天中桿子在 12 時(shí)和 15 時(shí)的影長之比為緯度

20、的函數(shù)，可以做出 關(guān)系曲線。那么不同的日期就會(huì)有不同的曲線。將計(jì)算出的分別帶入各個(gè)日期所對(duì)應(yīng)的曲線，可以得到交點(diǎn)，即為該地的緯度。5.3.2 模型的解決通過附件 2 的數(shù)據(jù)，計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻的長度：然后擬合出時(shí)間與影長的四次曲線：f(x) = 0.0042214 0.21613+4.2412 38.25x + 135.7解出最低點(diǎn)的橫坐標(biāo) 14 時(shí) 45 分 45 秒，得到經(jīng)度為東經(jīng)78.56。通過同時(shí)算出影長比(12) = (15) = 0.1487然后畫出各個(gè)日期的 關(guān)系曲線。由于一年有 365 天，無法每天都畫出，這里僅選出具有代表性的幾天畫出。以夏至日為例， = 0.1487與其有 3

21、個(gè)交點(diǎn)，考慮最左端的交點(diǎn)，從下降的趨勢來看，沒有實(shí)際意義，故舍掉。取右邊兩點(diǎn)，緯度為北緯 15.48和北緯 31.38。即得到附件二數(shù)據(jù)的拍攝地點(diǎn)有可能是6 月22 日（夏至）的東經(jīng)78.56，北緯15.48或31.38。取多組日期，用所示：分別計(jì)算桿所在的緯度，得到了日期和緯度的關(guān)系如下圖此曲線能夠清晰準(zhǔn)確地反應(yīng)測量地點(diǎn)的時(shí)空關(guān)系。附件三的數(shù)據(jù)同理附件二，進(jìn)行操作，得到如下結(jié)果：f(x) = 0.011224 0.58413+11.672 105.6x + 367.9極點(diǎn)所在橫坐標(biāo)為 12 時(shí) 27 分 24 秒，得到經(jīng)度為東經(jīng) 113.15。然后畫出各個(gè)日期的 關(guān)系曲線。從圖上可以得到，附

22、件三的拍攝的時(shí)間、地點(diǎn)可能 3 月 21 日（春分）的南緯 50，或 6 月 22 日（夏至）的北緯 58。問題四的解決問題分析問題的直接獲得在于如何提取中的長短的信息。由于拍攝角度刁鉆，無法的長度，這就需要用到、圖像處理的技術(shù)。得到的長度數(shù)據(jù)后，就可以用前面構(gòu)造的模型進(jìn)行求解。5.4.2 問題解決為了便處理中的信息，對(duì)原始用 XVID 方式進(jìn)行了轉(zhuǎn)碼，轉(zhuǎn)碼后的視頻的幀大小是 856*480。截圖后用 PS 處理（見示意圖中分析），得出必要的信息，如桿的像素長度，桿和地面接觸部分的坐標(biāo)等。再利用 OpenCV 計(jì)算機(jī)視覺庫結(jié)合 VC，每兩分鐘從中一幀，人工點(diǎn)選，然出來。后程序計(jì)算出影長（以桿長

23、為），把時(shí)間、xy 坐標(biāo)、影長，進(jìn)行四階擬合，得到：接著把數(shù)據(jù)導(dǎo)入f(x) = 1.2454 + 46.013637.62 3592x 9052極點(diǎn) 9 時(shí) 51 分 9 秒，可計(jì)算出經(jīng)度為東經(jīng) 1521245”。再根據(jù)當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午影長，算出光線和桿的夾角，然后緯度 = ，從而算出緯度。為北緯 841751“或南緯 40586“對(duì)于第四問的最后一個(gè)問題，經(jīng)度的計(jì)算方法不變。對(duì)于緯度， 與緯度就是那天的那么它的正午所以緯度不應(yīng)該在比不能算出。注意到。此地影長比是 0.0089，接近 0，也就是說該地可能的時(shí)期直射點(diǎn)所在緯度，高度角是 90 度，投影是 0，而計(jì)算出的正午影長離 0 較遠(yuǎn)，直射點(diǎn)緯度附近。所以，不能計(jì)算它的日期和地點(diǎn)，至少用影長六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1 建立時(shí)間與長度的函數(shù)模型，即運(yùn)用四階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，運(yùn)用最低點(diǎn)有效說明了經(jīng)度，模型假設(shè)大膽合理，且理論嚴(yán)謹(jǐn)。6.2 通過擬合時(shí)間-影長關(guān)系得到經(jīng)度，通過定義影長比來確定測量地點(diǎn)的緯度，方法具有一定的創(chuàng)新性且根據(jù)分析影長比確實(shí)是緯度的函數(shù)，而且在是 0，符合實(shí)際情況。直射點(diǎn)的緯度影長比6.3 由于日期是離散的，對(duì)于每天可以得出影長隨緯