調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的多種證明

1、調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明方法姓名：范璐嬋摘要：本文給出了調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的18種證明方法。其中前13種散見于各種資料，筆者進行了整理，有的采用與原證不同的敘述，比原證更具體明了；后5種是筆者用有關(guān)定理或方法導(dǎo)出的。關(guān)鍵詞：調(diào)和級數(shù)發(fā)散性部分和收斂ProofsofthedivergencyofharmonicseriesName:FanLuchanDirector:WangYingqianAbstract:Eighteenmethodstoprovethedivergencyofharmonicseriesarepresentedinthispaper.Someareknownandsomearene

2、w.Keywords:harmonicseries;divergency;partialsum;convergency引言1調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性最早是由法國學(xué)者尼古拉奧雷姆(13231382)在n1n極限概念被完全理解之前的400年證明的。他的方法很簡單：1111111TOCo1-5hz1L234567811111111)L22448888注意后一個級數(shù)每一項對應(yīng)的分?jǐn)?shù)都不大于調(diào)和級數(shù)中相對應(yīng)的項，而且后面11級數(shù)的括號中的數(shù)值和都為1,這樣的1有無窮多個，所以后一個級數(shù)是趨向無22窮大的，進而調(diào)和級數(shù)也是發(fā)散的。后來，大數(shù)學(xué)家約翰伯努利也作出了經(jīng)典的證明。他的證明是以萊布尼茨的收斂級數(shù)11丄L1

3、L1為基礎(chǔ)的。以下是他的證明2612n(n1)證明：11丄，22證明：11丄，22111623丄11,L123451n(n1)所以sn111111L2233411,11-nn1n11234n則ALL261220n(n1)11111C-LL1261220n(n1)111111DLLC61220n(n1)22111111ELLD.122030n(n1)63，111111FLLE203042n(n1)124，111111GLLF304256n(n1)205；LL小ll-,12345,11,CDEFGLL1-L2612203023則接著設(shè)則接著設(shè)slimsnlim(1nn1)1.即AA1.沒有一個有限

4、數(shù)會大于等于自己，即A是無窮大，所以調(diào)和級數(shù)發(fā)散由上可知，伯努利是以一種“整體論”的態(tài)度來對待無窮級數(shù)的，他證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的方法與現(xiàn)代方法形成了鮮明的對比。伯努利作出這一論證之后的150年，才有真正的級數(shù)理論出現(xiàn)。他用簡明的AA1來證明級數(shù)的無窮性，這是證明量的無窮性的一個最獨特的方法。而今，隨著級數(shù)理論的不斷完善，我們可以應(yīng)用更多更精彩的方法證明調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性。例如：利用歐拉常數(shù)，級數(shù)與廣義積分?jǐn)可⑿缘年P(guān)系，級數(shù)及數(shù)列斂散性的定義和性質(zhì)，級數(shù)斂散性的各種判別法，均值不等式等。在級數(shù)斂散性的討論中，調(diào)和級數(shù)的應(yīng)用很廣泛。了解這些證明方法，對級數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的，特別在其證明方面能

5、起到舉一反三，融會貫通的作用。本文給出了調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的18種證明方法。其中前13種散見于各種資料，筆者進行了整理，有的采用與原證不同的敘述，比原證更具體明了；后5種是筆者用有關(guān)定理或方法導(dǎo)出的。1證法一：利用反證法從而11111S=1+-LLn1n232n12n11假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂，記其和為S,即S=ninnin由于正項級數(shù)若收斂，加括號后仍收斂，且和不變，可知:L(1+-)11-)L(42n2111,、(1LL)22n1S2S1S2111=(1+2(34)L（的矛盾，所以調(diào)和級數(shù)必發(fā)散2證法二：證明調(diào)和級數(shù)丄的部分和可任意大n1n(11111LL23n丄）（丄丄L丄）11(100101L9

6、1011991依次將九項，九十項，九百項，L括在一起得n1nL919)111)L1104424440090丄L-)L11004414OO4441OOO9009109109090010010009L10從上式中可以看出1的和可任意大，故級數(shù)1發(fā)散.n1nn1n3證法三：利用柯西收斂準(zhǔn)則證明部分和數(shù)列Sn發(fā)散.Sn2mo12mo2mo據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則的否定敘述,Sn發(fā)散,從而4證法四：證明部分和數(shù)列Sn的子列S2m發(fā)散.1111111.1S2m1(-)(-)L(_m1.23456782m11112141L2皿11248?m,111,1、1(222L2)2m12m2于是lims2mlim(1m2m2）

7、事實上，存在0-，對任意自然數(shù)，總能找到兩個自然數(shù),n2mo,當(dāng)然也有2mo，使得12mo2momolimSmm2故數(shù)列Sn發(fā)散，從而調(diào)和級數(shù)丄發(fā)散.n1n5證法五：利用歐拉常數(shù)證明證明數(shù)列an存在極限C（歐拉常數(shù)），這里11%111L1.Inn，n即111L1Inn=C+n,其中n0(當(dāng)n時)23n因為ln(11)1nn所以ln(n1)Inn15n從而有l(wèi)n2ln11In3ln2-2LLanan1anan1ln(n1)Inn1ln(1-)n0.ln(n1)lnn1n上述n個不等式兩邊相加得11ln(n1)1L1，23n于是11an11L111ln(n1)23nn1n1即an有下界其次應(yīng)用不等

8、式1n1ln(1丄），有nlim(11L31nInn)C.也就是111L1.lnnCn(imn0)23n顯然lims*nlim(lnnnCn).故調(diào)和級數(shù)1發(fā)散.n1n故an有是一個單調(diào)下降的數(shù)列，因此lima*存在，用C表示，即6證法六:應(yīng)用級數(shù)an(其中n132LanL0)與級數(shù)2na2nn1有相同的收斂性.3n1-(n1,2,L)n1l而級數(shù)2na2nn1nn12莎發(fā)散.故調(diào)和級數(shù)1發(fā)散.1r7證法七：利用廣義積分法對于部分和數(shù)列Sn:Snn11dxx因此故調(diào)和級數(shù)1-發(fā)散.n8證法八:ln(n1),limsnn1n11dx，n1xlimln(nn證明由調(diào)和級數(shù)中分母末位含有調(diào)和級數(shù)中分

9、母末位含有0的項組成的子級數(shù)是1)，0的項組成的子級數(shù)發(fā)Unn1110000110丄L20110010111001101100000在此級數(shù)中，分母從10到100的項共有10項,丄丄L10001010其和大于101009100900分母從110到1000的項共有90項，其和大于-901000900項，其和大于-10000分母從1010到10000的項共有分母從10n10到10n1的項共有910n1項,9100從而1n1Un1091009100910n1其和大于910n1109100顯然Un發(fā)散，于是調(diào)和級數(shù)n11-發(fā)散.n1n9證法九：利用命題“設(shè)正項級數(shù)an收斂,n1且an1an，niman

10、0，則有l(wèi)imnan0”.n以下是這個命題的證明:因正項級數(shù)an收斂，則對于任意給定的0，總存在自然數(shù)，n1當(dāng)n時，下式成立|an1an2La?/i1a2n丨an1an2La2n1a2n由已知an1an(n1,2,3,L)，而an1an2La2n1a2n(n1,2,3丄)，得na2n，2na2n，2故有l(wèi)im2na2n0.n又a2n1a2n，故有(2n1)a?n12n1(2n1)a2n2ng%，2n得0lim(2nn2n11)a2n1nim2ngSn0.故有l(wèi)im(2n1)a2n10.n所以無論n為奇數(shù)或偶數(shù)時，下式成立limnan0.即通項下降趨于零的正項級數(shù)收斂的一個必要條件證畢運用該定理

11、可得故調(diào)和級數(shù)1發(fā)散.limnannng110nn1n10證法十：利用不等式xln(1x).,11,11-L23nln(11)ln(11T)Lln(1丄)2n3n1ln2ln-LIn2nSnc34nn、ln(2g2g3g-百廠)ln(1n)(n)1即-，故調(diào)和級數(shù)發(fā)散.11證法十:利用平均值不等式ai去L%(aLan)n11,1a1,a2,a3丄an2n,11,11-L-/123n119n23n11,1n12-L3nnn!.故當(dāng)n，左邊為1，n1n右邊為limnn7n!丄發(fā)散.1n12證法十二：利用不等式-(n2,n)來證明.n首先證明上述不等式成立因為1n1(-n1(n1)n2n(n所以所以

12、1n1.1n3n1n11(n1)n1)n(n1)3(n2,n4)10(511TOCo1-5hz21L.23111所以1-L-L是無窮數(shù).23n1所以調(diào)和級數(shù)發(fā)散.n1n13證法十三：任意給定M0，總可以找到一有理數(shù)衛(wèi)M，而任何正有q理數(shù)可寫成互異的形如丄的數(shù)有限和(見文獻9),其中m為自然數(shù),m-M,當(dāng)nq-M,當(dāng)nqN時，具的形如丄的數(shù)有限和，假定最大的分母為N，則有sNm有SnM，也就是limsn，所以調(diào)和級數(shù)1發(fā)散.nn1n以下是由作者用有關(guān)定理或方法獨立導(dǎo)出的證法14證法十四：利用拉阿伯判別法：14證法十四：利用拉阿伯判別法：Unn1是正項級數(shù)，nN，有n(nUn11)r1(n(出1)

13、Un11)，則級數(shù)Un收斂(發(fā)n1散).在調(diào)和級數(shù)1中,n1n,均有Un(nUm1)1n(十n11)所以調(diào)和級數(shù)n-發(fā)散.1n15證法十五:應(yīng)用厄耳瑪可夫判別法:若f(x)為單調(diào)減少的正值函X一X數(shù)，且lime(e)，則當(dāng)1時，級數(shù)f(n)收斂；當(dāng)1時,Xf(X)n1級數(shù)f(n)發(fā)散.令f(x)limxexf(ex)f(x)x1eglim11ximX，x故級數(shù)n1f(n)發(fā)散.證法十六:應(yīng)用咼斯判別法:在級數(shù)an中，若an0(n1,2,3丄)及n1anan1Hn|C,0),則(1)當(dāng)n1時，級數(shù)收斂；1時級數(shù)發(fā)散;當(dāng)1時，若1則級數(shù)收斂，若1則級數(shù)發(fā)散.在調(diào)和級數(shù)1中,n1nanan11-n1

14、1-n1據(jù)高斯判別法知，調(diào)和級數(shù)-發(fā)散.1n17證法十七：設(shè)an0,Snan,級數(shù)ann1，則色發(fā)散.n1Sn以下是這個命題的證明:因為an0，Sn單調(diào)增加，所以npakn1Sknpakkn1SnpSnpS1S1pSnS1p因為Sn，故n，充分大時,SnSnp從而npakkn1Sk所以an發(fā)散n1sn令an1,n1,2丄，則sn11L1n,所以an=1發(fā)散.n1n1n18證法十八：利用匚丄的發(fā)散性.n1n記an記an(1)，為研究級數(shù)an的斂散性,n1我們引進集合Akn|Innkk(1,2,L)那么集合Ak內(nèi)的元素n具有性質(zhì)kInnk1或?qū)懗蒭knegpk其個數(shù)pk(e1)ek，將Ak內(nèi)的元素

15、從小到大排列，可記為mm1,L,nkPk1.現(xiàn)考慮Uk(1)Innk1k(1)k-(1)kVknAkn其中VkPk11Pk11kvonkvvoegp=七一4(e1)ekegpegp11k萌卵1)ge2eF面證明級數(shù)an是發(fā)散的，采用反證法，假設(shè)an收斂,n1n1則由柯西收斂準(zhǔn)則，對于任給的0，存在No，使得當(dāng)nNo時，對于一切自然數(shù)P，均有e1今取0,對于有此所找到的N0，在nN0中選一個數(shù)nk，此處k4e是適當(dāng)大的一個自然數(shù)，有nkAk，即kkenkege.又取自然數(shù)pPk1，則此時應(yīng)有|ankank1Lpk1丨（1）但另一方面卻有e1|ankank1LankPk11IUkIVk22e（1）

16、式與（2）式矛盾，因而級數(shù)an發(fā)散n1利用這個結(jié)論我們可以證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散由于3的部分和大于n由于3的部分和大于n的部分和,n所以由(1嚴(yán)發(fā)散知1發(fā)散.n1n結(jié)束語調(diào)和級數(shù)作為去判別另外一個級數(shù)的發(fā)散的一把“尺子”起到了重要作用，它的發(fā)散性證明精彩紛呈。本文在綜合已有證明方法的同時，再給出了筆者自己用有關(guān)定理或方法導(dǎo)出的另外幾種證明，具有一定的創(chuàng)新意義。參考文獻朱永生，龔曉歐拉常數(shù)的性質(zhì)及在解題中的應(yīng)用J.高師理科學(xué)刊，2005（08）:15-173.王連昌，王銳.P級數(shù)斂散性的一個新證法J.第四軍醫(yī)大學(xué)學(xué)報，2005（12）：86-86.夏曉峰.調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的幾種證明J.本溪冶金高等?？茖W(xué)校院報，2000（12）：44-45.韓宗霖.不完整調(diào)和級數(shù)的斂散性J.唐山師范學(xué)院院報，2005（9）：24-25.楊翰深，夏代月.調(diào)和級數(shù)和P級數(shù)斂散性的一次簡單證法J.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2000（7）:342-344.王連昌，王銳.P級數(shù)斂散性的一個新證法J.第四軍醫(yī)大學(xué)學(xué)報，2005（12）：86-86.1于文凱調(diào)和級數(shù)一發(fā)散性證明及討論J.天津輕工業(yè)學(xué)院院報，1996（1）:91-92.n1n張永利對調(diào)和級數(shù)性態(tài)的研究J.高等數(shù)學(xué)研究，2005（8）：16-17.1姜洪文.對于調(diào)和級數(shù)的分析J.沈陽師范學(xué)院院報，2002（7）：170-172.n1n張軍學(xué).關(guān)于調(diào)