一階微分方程解的存在定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三章一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo).理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。. 了解解的延拓定理及延拓條件。.理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點(diǎn)解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法講授，實(shí)踐。教學(xué)時(shí)間12學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對(duì)初值的連 續(xù)性、可微性定理及其證明。考核目標(biāo).理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問題。.熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值的連續(xù)性及可微性公式。.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延

2、拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)解釋所 出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是， 大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始 條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性 在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。

3、例如方程卜2村dx過點(diǎn)（0,0）的解就是不唯一，易知 y=0是方程過（0,0）的解，此外，容易驗(yàn)證，y = x2或更一般地,函數(shù)y=02(x -c)20HxMccx 三1都是方程過點(diǎn)（0,0）而且定義在區(qū)間0WxW1上的解，其中c是滿足0c0,使對(duì)于R上任何一對(duì)點(diǎn)(x, y1) , (x, y2)均有不等式f (x, yi)-f(x, y2) L小一於成立，則方程(3.1 )存在唯一的解y =(x),在區(qū)間|xX0怪h上(3.3 )連續(xù)，而且滿足初始條件(xo) = yo=max x,y.Rf (x, y) , L 稱為 Lipschitz 常數(shù).b其中 h = min( a, ), MM思路

4、： 1)求解初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程xy=y0J(xy)dx的連續(xù)解。2)構(gòu)造近似解函數(shù)列Q(x)任取一個(gè)連續(xù)函數(shù) Q(x)，使得|中0(x) _y |b,替代上述積分方程右端的y,得到xi(x) =y0f (x, 0(x)dxx0如果Q(x)三90(x),那么Q(x)是積分方程的解，否則，又用 Q(x)替代積分方程右端的 y,得到x2(x)=y0f(x, ；(x)dxx如果平2(x)三51(x),那么?(x)是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到x中n (x) = y0 + f f (x,Q(x)dx( 3.4)x0于是得到函數(shù)序列：n(x).3)函數(shù)序列9n(x)在區(qū)間Xo h,

5、 Xo +h上一致收斂于中(x),即lim n (x) =q：(x) n 5-存在，對(duì)(3.4)取極限，得到xlim. n(x)=yo lim一 f (x,1q(x)dxnr-n ? - Xox二 yof(x, (x)dxx0 x即(x)=y0. f(x, (x)dx.xx4) 4(x)是積分方程y = y0 + f f (x, y)dx在x0h,x0+h上的連續(xù)解.x0這種一步一步求出方程解的方法一一逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下，分五個(gè)命題來證明定理.為了討論方便，只考慮區(qū)間x0WxEx0+h,對(duì)于區(qū)間x0 -h E x工x0的討論完全類似.命題1 設(shè)y =中(x)是方程(3.1)定義于區(qū)

6、間x0 Ex Ex0+h上，滿足初始條件*(x0) = y0(3.3 )的解，則y =(p(x)是積分方程xw f (x, y)dx x0 _ x _ x0 h(3.5)-x0的定義于x0 x x0 +h上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因?yàn)閥 =平(x)是方程(3.1)滿足中(x0) = y0的解，于是有UI =f(x, (x) dx兩邊取x0到x的積分得到x(x) -(x。) = f(x, (x)dxx0 x x0 hx)x即有(x) = y0-I f(x, (x)dxx) x x hxx所以y =9(x)是積分方程y = y0+J f (x, y)dx定義在區(qū)間x0 E x E x0 + h上

7、的連續(xù)解. x0反之，如果y =邛(x)是積分方程(3.5)上的連續(xù)解，則x邛(乂)=丫0+1f(xg(x)dxx0 x x0 +h(3.6)x由于f(x, y)在R上連續(xù)，從而f (xW(x)連續(xù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得d (x) f(x, (x)dx而且(x0)=y0,故y =邛(x)是方程(3.1)定義在區(qū)間x Ex Ex。+h上，且滿足初始條件 中(x0) = y0的解.構(gòu)造Picard的逐次逼近函數(shù)序列Q(x).查=y)k上x蘆 s 蘆 A 上(n =1,2,111)(3.7)n(x) = y0 . f ( , . n/ )dx0 0hx0命題2對(duì)于所有的n , (3.6)中的函數(shù) *(

8、x)在Xo Wx Ex。+h上有定義，連續(xù)且滿足不等式陽(x) y0 1Mb(3.8)證明用數(shù)學(xué)歸納法證明x當(dāng)n=1時(shí)，邛1(乂)= 丫0十f (卻y0)d U ,顯然51 (x)在x0 E x E x0+h上有定義、連續(xù)且有 xoxx網(wǎng)(x) yo H j f( = yo)d?區(qū)(| f仁,yo) |d EM (x xo) Mh b即命題成立.假設(shè)n = k命題2成立，也就是在 xo x xj + h上有定義、連續(xù)且滿足不等式| ；(x) - yo |_b當(dāng)n=k+1時(shí)，xki(x)=yoxnf( ,( )dxxo由于f(x,y)在R上連續(xù)，從而f( x,Q (x)拄xo Wxxo +h上連

9、續(xù)，于是得知中k書(x)在xo x xo +h上有定義、連續(xù)，而且有x| i 1(x)-y0 | .)c|f( , ( )|d M(x-xo)Mhbxo即命題2對(duì)n = k +1時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的n均成立.命題3函數(shù)序列Q(x)在xo x xo +h上是一致收斂的.記 lim n(x) = (x), xo - x - xo hn.證明構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)o(x)八 Lk(x) - k4(x)xo - x - xo h(3.9)k 1它的部分和為nSn(x) = o(x) ：k(x) - k4(x) =，(x)kW于是Q(x)的一致收斂性與級(jí)數(shù)(3.9)的一致收斂性等價(jià).為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3

10、.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).x| i(x) - o(x)| |f( , o( )|d M(x-xo)(3.1o)xx| 2(x)- i(x)|f( , i( )-f( , o( )|dxo由Lipschitz條件得知x|巴(x) 一叼(x)|wL叼仁)3。住)|dE- xx L M( -xo)dx。ML2-2f (x-xo)設(shè)對(duì)于正整數(shù)n ,有不等式| ；n(X)n(X)|M*x”)n n!成立,則由Lipschitz 條件得知，當(dāng)x0 W x E x0 + h時(shí)，有xI ；l(x)- n(x) |f( , n( ) - f( , ：n()|dxoxLf | Wn 睛)|dx.MLnMLnxJ -x

11、jdx0(n+1)!(x-xo)n1于是由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)所有正整數(shù)k,有k 1k J| k(x)- k(x)(x -xo)khkxo - x - xo hk!k!hk由正項(xiàng)級(jí)數(shù) M MLK 一的收斂性，利用Weierstrass判別法，級(jí)數(shù)(3.9)在x0ka k!(3.11) x xo + h上一致收斂.因而序列Q (x)在x0 x x0 +h上一致收斂.設(shè) lim Q(x) =9(x)，則 *(x)也在 x0 x Ex。+h上連續(xù)，且 n. ,(x) -yo 性 b命題4叭x)是積分方程(3.5)的定義在x0 x x0 + h上的連續(xù)解.證明由Lipschitz 條件| f(x, ：(

12、x) -f(x, ：(x) |L| n(x)- ：(x)|以及Q(x)在x M x M x + h上一致收斂于中(x)，可知f(xWn(x)在x0 xxo + h上一致收斂于f (x*x).因此x lim n(x) =y。 lim f(,；()d n 二二n i： xox=yoim_f( , )dx0 n -x即n(x) = yf(,()dx故中(x)是積分方程(3.5)的定義在x0 x x0 +h上的連續(xù)解. TOC o 1-5 h z 命題 5 設(shè)干(x)是積分方程(3.5)的定義在x0 W x E x0 + h上的一個(gè)連續(xù)解，則 (x) = - (x), x0 _ x _ x0h.證明

13、設(shè)g(x) 49(x)-中(x)|，則g(x)是定義在x0 Mx Wx0+h的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由于xx(x) =yf( , ( )d- (x) = yf (尸()dx0 x)而且f (x, y)滿足Lipschitz 條件，可得xg(x)H (x)-, (x)H , f( , ( )-f( ,1- ( )d | x0 xIf( , ：( )-f( ,- ( )|d x0 xx-L xl；：( )- ( )|d =L g( )d x0, x0 x令u(x) = L f g仁)d。，則u(x)是x0 Ex x0十h的連續(xù)可微函數(shù)，且u(x0) = 0,x)0Mg (x) u(x), u (x)= L

14、g(x), u (x)三 Lu(x), (u (x) - Lu(x)ex 三 0,即(u(x)eLx) 0 ,于是在 x0 x x0 + h上,u(x)e_Lx u(x0)e_Lx0 =0故 g(x) 0,使得| f(x, y)-f(x,0) | L|y|所以方程右端函數(shù)在 y = 0的任何鄰域并不滿足 Lipschitz 條件.此題說明Lipschitz 條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件2)考慮一階隱方程F(x, y, y )=0(3.12)F由隱函數(shù)存在定理，若在(x0, y0, y0)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(x0,y0,y0)=0，而#0,則必可把y ：:y唯一地表為x,

15、 y的函數(shù)y： =f(x, y)(3.13)并且f (x, y)于(M, yO)的某一鄰域連續(xù)，且滿足y0 = f (x, y)如果F關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則f (x,y)對(duì)x,y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且(3.14)f ：:F JF=-/ :y :y ：:y顯然它是有界的，由定理1可知，方程(3.13)滿足初始條件的y(x0) =0解存在且唯一.從而得到下面的定理.定理2如果在點(diǎn)(X0,yo,y0)的某一鄰域中：i) F(x,y,y)關(guān)于所有變?cè)?x,y,y)連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；五)F(X0,y0,yo) u0話)干(X0, y, y)= 0- y則方程(3.12 )存在唯一的解

16、y=y(x) | x-x0 |h(h為足夠小的正數(shù))滿足初始條件y(x0) = y0,y (x0) = y0(3.15 )1、近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法一一Picard的逐次逼近法0(x) = y0n(x) -y0 x f ( , *()d x0 x x0 hx0對(duì)方程的第n次近似解Q(x)和真正解中(x)在|x-x0 |Eh內(nèi)的誤差估計(jì)式MLnn 1(3.16 )n(x)- ：(x)|hn1(n 1)!此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明.x| 0(x)- (x)|三 |f( , ( )|d M(x-x0)Mh x0設(shè)有不等式 n 4n 4| 2)- ：(x)|E*(x-x0)n -hnn!n!

17、成立，則.MLn /、n1 . ML(x -%)(n+1)!(n+1)!hn 1X| ；(x)- (X) | x| f( , ( )-f()|dx0XML | ()-()|dE x0Xn!(-x)ndX0例1討論初值問題y(0) = 0dy二x dx解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解，其中,R: -1 _x_1,-1_y_1.解 M =(mgXj f (x, y | = 2,a =1,b =1,h = min a,1 阡,一 一一,由于|=|2y|E2= L,根據(jù)誤2二 y差估計(jì)式(3.16)| n(X)- ：(X)|MLn h(n 1)!(n 1)!:二

18、0.05可知n =3.于是0(X) = 0i(X)= 0X202(X)dX = 33x o oX2(x) = ：0 x1 (x)dx =-7X+63X OO3(x) = .0 x2(x)dx =3711工人，.15X363 2079 59535. 1Q(x)就是所求的近似解，在區(qū)間-Mx上，這個(gè)解與真正解得誤差不超過0.05.2 2 解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng) dy = f (x, y)的右端函數(shù)f (X, y)在R上滿足解的存 dxdy = f (x, y)在性唯一性條件時(shí)，初值問題(dx ,的解在|x-x0|Wh上存在且唯一.但是，這個(gè)定理的結(jié)V。=y(x)果是局部的，也

19、就是說解的存在區(qū)間是很小的.可能隨著f(x, y)的存在區(qū)域的增大， 而能肯定的解得 存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例1,當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)镽：-2wxw2,2wy W2時(shí)，.2、1“ 1M =8,h=min2, 解的范圍縮小為|xx0區(qū)一.在實(shí)際引用中，我們也希望解的存在區(qū)間844能盡量擴(kuò)大，下面討論解的延展概念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部 的變成大范圍的.1、飽和解及飽和區(qū)間定義1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的微分方程dy=f(x,y)(3.1)dx設(shè)y =9(x)是方程(3.1)定義在區(qū)間I1UR上的一個(gè)解，如果方程(3.1)還有一個(gè)定義在區(qū)間I2匚R上的另一解y=W(

20、x),且滿足(1) I1 = I2 ；但是 I1 日2(2)當(dāng)xW I1時(shí)，平(x)三中(x)則稱y =(x), xw I1是可延拓的，并稱 y=W(x)是y = 邛(x)在心上的延拓.否則如果不存在滿足上述條件的解y =W (x),則稱y =P(x), x W I1是方程(3.1)的不可延拓解或飽和解，此時(shí)把不可延拓解的區(qū) 間I1稱為一個(gè)飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2若函數(shù)f (x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對(duì)G內(nèi)每一點(diǎn)P,都存在以P點(diǎn)為中心，完全含在G 內(nèi)的閉矩形域Rp,使得在Rp上f(x, y)關(guān)于y滿足李普希茲條件(對(duì)于不同的點(diǎn)，閉矩形域Rp的大小和李普希茲常數(shù) L可能不同)，則稱

21、f(x, y)在G上關(guān)于y滿足局部李普希茲條件.定理3 (延拓定理)如果方程 dy = f (x, y)的右端函數(shù)f (x, y)在(有界或無界)區(qū)域 G亡R2上 dx連續(xù)，且在關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)(x0, y0) w G ,方程 電=f (x, y)以(x0,y0)dx為初值的解邛(x)均可以向左右延展，直到點(diǎn)(xW(x)任意接近區(qū)域G的邊界.以向x增大的一方來說，如果y =邛(x)只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)xt m時(shí)，(xW(x)趨于區(qū)域G 的邊界。證明V(xo, y0)亡G ,由解的存在唯一性定理，初值問題(1)dy=f(x,y)y0 - y(x0)存在唯一的解y = P

22、(x),解的存在唯一區(qū)間為| x x05h0.取x1 =x0+h0,yi =中()，以(x，yi)為中心作一小矩形 Ri WG ,則初值問題dy =f (x, y)dx 一”(2)yi = y(xi)存在唯一的解y =W(x),解的存在唯一區(qū)間為|xx11Mhi.因?yàn)橹?x1)=中(x1),有唯一性定理，在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有中(x)=中(x)，即當(dāng)x1-h1E x Ex1時(shí)平(x)=中(x).定義函數(shù).(x),xo - ho x *(x)看作方程(3.1)的解y=(x)在定義區(qū)間|x%1Eh。的向右延拓，延拓到更大區(qū)間x0 ho x Ex。+% + %.同樣的方法， 也可把解y=(x)向左延

23、拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去，最后將得到一個(gè)解y (x),不能再向左右延拓了 .這個(gè)解稱為方程(3.1)的飽和解.推論1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的初值問題dy = f (x, y)dx I ” 其中(x,y)WG yo =y(x。)若f(x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部Lipschtiz條件，則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2 設(shè)y = Rx)是初值問題dy = f(x y) ：G.推論3如果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)通過(x0, y0)點(diǎn)的解y =中(x)可以延拓，以向x增大(減小)一方的延拓來說，有以下兩種情況：(1)解y =平(x

24、)可以延拓到區(qū)間 風(fēng)，收)(或(-=0,%)；(2)解y=%x)只可延拓到區(qū)間xo,m)(或(m,xo),其中為有限數(shù)，則當(dāng)xt m時(shí)，或者y=P(x)無界，或者點(diǎn)(xW(x)T cG.dyy2 -1例1討論萬程 =$一分別通過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(ln 2,-3)的解的存在區(qū)間.dx 2y2 -1解 此萬程右端函數(shù)f (x, y)=-在整個(gè)xy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理2的條件.易知方程的通解為1 cexy X1 -ce故通過點(diǎn)(0,0)的解為y =(1eX)/(1+eX),這個(gè)解的存在區(qū)間為一比 x 十 ;通過點(diǎn)(ln 2,-3)的解為y =(1+eX)/(1ex),這個(gè)解的存

25、在區(qū)間為 0 x0上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.區(qū)域G (右半平面)是無界開域，y軸是它的邊界 易知問題的解為y=xlnx,它于區(qū)間0 x收 上有定義、連續(xù)且當(dāng)xt 0時(shí)，yT 0 ,即所求問題的解向右方可以延拓到十看,但向左方只能延拓到 0,且當(dāng)xt 0時(shí)積分曲線上的點(diǎn)(x, y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點(diǎn).例3考慮方程dy=(y2 -a2)f(x, y),假設(shè)f(x,y)和fy(x, y)在xoy平面上連續(xù)，試證明：對(duì) dx于任意x0及y0| aa,方程滿足y(x0) =y0的解都在(-,依)上存在.證明根據(jù)題設(shè)，易知方程右端函數(shù)在整個(gè)xoy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的

26、延拓定理的條件.又y = a為方程在(一叫+s)上的解，由延拓定理可知，對(duì)Vx0 ,| y0 | a ,滿足y(x0) = y0的解 y = y(x)應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是，由解的唯一性，y = y(x)又不能穿過直線 y = a,故只能向兩側(cè)延拓,而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而解應(yīng)在(-o, +=c)存在.注：如果函數(shù)f (x, y)于整個(gè)xoy平面上定義、連續(xù)和有界，同時(shí)存在關(guān)于 y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間一組x十.練習(xí) 試證對(duì)任意x0 , y0,方程包=-22滿足初始條件 y(x0)=y0的解都在(-,收)上dx x y 1存在.dy 二 f(xy) 在初值問題d

27、x f(x,y)、。二 y(%) 3解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理中我們都是把初值(x0, y)看成是固定的數(shù)值，然后再去討論方程dy=f (x, y)經(jīng)過點(diǎn)(x0, y)的解.但是假如(x, y)變動(dòng)，則相應(yīng)初值問題的解也隨之變動(dòng)，也就是 dx=y時(shí)，方程y = y的解說初值問題的解不僅依賴于自變量x ,還依賴于初值(x0, y0).例如：f (x, y)是y=cex,將初始條件y(x) =y帶入，可得y = 丫a,告.很顯然它是自變量 x和初始條件(比，丫0)的dy = f (x. V)函數(shù).因此將對(duì)初值問題d dx的解記為y =9(x, x0, y),它滿足y0 =9(x0, x0, y0

28、).y0 = y(%)當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程解的變化是否也很小呢？為此就要討論解對(duì)初值的一些性質(zhì).1、解關(guān)于初值的對(duì)稱性設(shè)方程(3.1)滿足初始條件y(xo) = y0的解是唯一的，記為y =?(x, Xo, y0),則在此關(guān)系式中,(x, y)與(xo, yo)可以調(diào)換其相對(duì)位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式y(tǒng)o = (xo,x, y)證明 在方程(3.1)滿足初始條件y(xo) = yo的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)為，顯然yi =平(xi, %, y。,)則由解的唯一性知，過點(diǎn)(不，)的解與過點(diǎn)(x, y)的解是同一條積分曲線，即此解 也可寫為y 二q

29、：(x,x，yi)并且，有yo =tp(x,xi,yi).又由(xi, yi)是積分曲線上的任一點(diǎn)，因此關(guān)系式y(tǒng)o =*(x0,x,y)對(duì)該積分 曲線上的任意點(diǎn)均成立.2 、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性由于實(shí)際問題中初始條件一般是由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的，肯定存在誤差.有的時(shí)候誤差比較大，有的時(shí)候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)(xo, yo)變動(dòng)很小的時(shí)候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動(dòng)，這就是解對(duì)初值的連續(xù)依賴性所要研究的問題：在討論這個(gè)問題之前， 我們先來看一個(gè)引理：引理：如果函數(shù)f (x, y)于某域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足Lipschtiz條件(Lipschtiz常數(shù)為L(zhǎng)),則

30、對(duì)方程(3.i )的任意兩個(gè)解 中(x)及中(x),在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式| 平(x)川(x)田中(xo)(xo) | eL2( 3.i7 )其中xo為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè)9(x),中(x)于區(qū)間a Wx Mb上均有定義，令V(x) = (x)(x)2, a - x - b則V (x) =2 (x)(x) f(x, :)- f(x,1-)于是 V (x) V (x)|=2| ；(x)(x)| f(x, ) - f(x,1- )| 2LV(x)V 蟲-2LV(x)e = Lx o從而立(V(x)eLx)三odx所以，對(duì)Vx0a,b,有V(x) V(Xo)e2L(xJ0),X

31、0 x b對(duì)于區(qū)間a x xo ,令xt,并記Xo Eto,則方程(3.1)變?yōu)閐y - - f (-t,y) dx而且已知它有解y =(_t)和y =中().類似可得 V(x) V(x0)e2L(x -),a x x0因此，V(x)V(xo)e2L|xP|,aMxb,a xo b兩邊開平方即得(3.17).利用此引理我們可以證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴性：解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理假設(shè)f(x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足局部李普希茲條件，如果(,yo)wG ,初值問題dy = f (x, y)一d dx有解y =9(x, %, yo),它于區(qū)間a o ,yo = y(xo)2 一.22三每二6

32、(苒a,b) a。，使得當(dāng)( - xo) + (Yo - yo)芻 時(shí)，萬程(3.1)滿足條件y(x0)=yo的解y =(x,xo, yo)在區(qū)間a x b上也有定義，并且有：(x,xD,yo) - (x,xo,yo)| - ,a x0,iE P = d(cG,S),n =min(S, P/2),L = max(L,IMLN),則以 S上的點(diǎn)為中心，以“為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域 D u G仁G ,且f (x, y)在D上關(guān)于y滿足 Lipschitz 條件,Lipschitz 常數(shù)為 L .第二步：證明*=6(名ab,)50。，使得當(dāng)(又。一x02+一(y0 -y0)出2時(shí)

33、，解 y =(x) =P(x,xo, yo)在區(qū)間a Ex Wb上也有定義.由于D是一個(gè)有界閉域，且f (x, y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，由解的延拓定理可知，解 y =W(x) =%x,x0,yo)必能延拓到區(qū)域D的邊界上.設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為(c川c )打 (dW(d), cd,這時(shí)必有ca,d b,由引理有| Xx)- (x)|_| ；(xo)二(xo)| e- c x0存在，使當(dāng)|x -Xo怪&2時(shí)有即(x)邛(Xo)|6i ,2222取 d =min( 61,62),則當(dāng)( x。)2 +(y0 y。)2 M 62 時(shí)就有1| ;：(x) -1- (x)|2|(X0)

34、：(X0)|2e2L12三卜(又)(%)1 T：(x。),：(Xo)|)2e2L11M2(| 二伉)-:(X0)|2 | 1x0) J (X0) |2)e23(3.18)22、 2L(b_a):二 2(-1 | y0 -y01 )e2 2L(bx)2_ 4、1 e =(c - x _ d)于是對(duì)一切xec,d,| P(x) -V(x)|n成立，特別地有| ；(c)仁)卜：，| ；(d)，(d)|；即點(diǎn)(c,(c)和(d,中(d)均落在域D的內(nèi)部，這與假設(shè)矛盾，故解y=W(x)在區(qū)間a,b上有定義.第三步證明|甲(x)-中(x) | a a W x Wb .在不等式(3.18)中將區(qū)間c,d換成

35、a,b,可知當(dāng)(x0 -X0)2 +(y0 y0)2 52 時(shí),就有(x,X0,y0) - (x,%, y0)：二 一 ；,a Exb.根據(jù)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理及解對(duì)自變量的連續(xù)性有3、解對(duì)初值的連續(xù)性定理若函數(shù)f (x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則方程(3.1) 的解 y =q(x,x0, y0)作為x, M, y0的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的證明 對(duì)V(x0, y0) e G ,方程(3.1)過(x0,y0)的飽和解y =0, ma 0,使得當(dāng)(XoXo) +(yo yo)電時(shí)，1cp(X, Xo,yo)-中(X, Xo, yo) -,a X 。，使得當(dāng)|

36、X x怪時(shí)有卬(x,Xo,y0)中(x,Xo,y0) 2,X,xwa,b2、2、22取 5 =min(3i,%),則只要(x x) +(x-x) +(y-y)就有(X,Xo,yo) 一(X,Xo,yo)-I (x,Xo,yo) - (x,Xo,yo) | | (x,Xo,yo) - :(x,Xo,yo) | z , z 0, 36 =每（露a, b） a0 ,使得當(dāng)/_、2 一 、22.2(xo - xo)(y0 - y0) ,(- 0 ,0) 一。時(shí)，方程(3.19)通過點(diǎn)(X0,y0)的解y = 9(x,xo,yo1J在區(qū)間aMxMb上也有定義，并且(x,xo，yo, ) - (x,Xo, yo, o)二；,x a,b5、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理設(shè)函數(shù)f(x,y,九)在區(qū)域G；內(nèi)連續(xù)，且在G；關(guān)于y一致地滿足局部李普希茲條件 ，則方程(3.19) ftj的解y =5(x,xo,yo,*J作為x,x0, y,九的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.6、解對(duì)初值的可微性定理如果函數(shù)f(x,y)以及、f (x,y)都在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，則對(duì)初值問題 jdx =人的解 Ayo = y(xo)y =9(x,xo,yo)作為x,x0,yo的函數(shù)，在它有定義的范圍內(nèi)有連續(xù)可微的證明 由.(x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)