淺談定積分的應(yīng)用

1、-. z.淺談定積分的應(yīng)用* *商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，中國(guó)* 300134)摘要：定積分在我們?nèi)粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中有很多的用處，本文闡述了定積分的定義和幾何意義，并通過(guò)舉例分析了定積分在高等數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用條件及其應(yīng)用場(chǎng)合，通過(guò)分析可以看出利用定積分求解一些實(shí)際問(wèn)題是非常方便及其準(zhǔn)確的。關(guān)鍵詞 定積分 定積分的應(yīng)用 求旋轉(zhuǎn)體體積 變力做功The Application of Definite Integral* *(Tianjin University of merce，Tianjin，300134，China)Abstract:Definiteintegralinourdailyli

2、feandlearninghavealotofuse,thispapere*poundsthedefinitionofdefiniteintegralandgeometricmeaning,andthroughthee*ampleanalysisofthedefiniteintegralinthehighermathematics,physics,economics,andotherfieldsofapplicationconditionanditsapplications,throughtheanalysiscanbeseenthattheuseofdefiniteintegraltosol

3、vesomepracticalproblemsisveryconvenientandaccurate.Keywords:definiteintegral,theapplicationofdefiniteintegral,strivesforthebodyofrevolution,volumechangeforceswork0、前言眾所周知，微積分的兩大局部是微分與積分。一元函數(shù)情況下，求微分實(shí)際上是求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)，所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。在我們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中，定積分的應(yīng)用是十分廣泛的。定積分作為人類(lèi)智慧最偉大的成就之一，既可以作為根底學(xué)科來(lái)研究，也可以作為

4、一個(gè)解決問(wèn)題的方法來(lái)使用。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著并開(kāi)展起來(lái)的。定積分滲透到我們生活中的方方面面，推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支的開(kāi)展。并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，微積分是一門(mén)歷史悠久而又不斷開(kāi)展進(jìn)步的學(xué)科，歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家把畢生的心血投入到微積分的研究中，從生產(chǎn)實(shí)際的角度上看，應(yīng)用又是重中之重，隨著數(shù)學(xué)的不斷前進(jìn)，微積分的應(yīng)用也呈現(xiàn)前所未有的開(kāi)展1-5。本文將舉例介紹定積分在的我們?nèi)粘W(xué)習(xí)和生活當(dāng)中的應(yīng)用。1定積分的根本定理和幾何意義1.1、定積分的定義定積分就是求函數(shù)在區(qū)間中圖線(xiàn)下包圍的面積。即由，,所圍成圖形的面積。定積分

5、與不定積分看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個(gè)圖形無(wú)限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分。這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的容是：如果是上的連續(xù)函數(shù)，并且有，則用文字表述為：一個(gè)定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。正因?yàn)檫@個(gè)理論，提醒了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見(jiàn)其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱(chēng)作微積分根本定理。1.2、定積分的幾何意義當(dāng)時(shí)，是曲邊梯形的面積如圖1a所示；當(dāng)時(shí)，是曲邊梯形的面積的負(fù)值1b所示； a (b)圖1定

6、積分的幾何意義圖示2定積分的應(yīng)用1，解決求曲邊圖形的面積問(wèn)題例：求由拋物線(xiàn)與直線(xiàn)圍成的平面圖形D的面積S。2，求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)，在時(shí)間區(qū)間上的定積分。3，變力做功*物體在變力的作用下，在位移區(qū)間上做的功等于在上的定積分。3定積分的應(yīng)用舉例3.1、平面圖形的面積3.1.1、直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(1)*型與Y型平面圖形的面積把由直線(xiàn)，及兩條連續(xù)曲線(xiàn)，所圍成的平面圖形稱(chēng)為*型圖形如圖2a；把由直線(xiàn)，及兩條連續(xù)曲線(xiàn)*=g1(y)，*=g2(y)(g1(y)g2(y)所圍成的平面圖形稱(chēng)為Y型圖形。如圖2ba*型圖形 (b) Y型圖形圖2平面圖形的

7、面積注意：構(gòu)成圖形的兩條直線(xiàn)，有時(shí)也可能蛻化為點(diǎn)。把*型圖形稱(chēng)為*型雙曲邊梯形，把Y型圖形稱(chēng)為Y型雙曲邊梯形。用微元法分析*型平面圖形的面積取橫坐標(biāo)*為積分變量，。在區(qū)間上任取一微段，該微段上的圖形的面積dA可以用高為、底為d*的矩形的面積近似代替。因此從而微元法分析Y型圖形的面積對(duì)于非*型、非Y型平面圖形，我們可以進(jìn)展適當(dāng)?shù)姆指?，劃分成假設(shè)干個(gè)*型圖形和Y型圖形，然后利用前面介紹的方法去求面積。例1求由兩條拋物線(xiàn)，所圍成圖形的面積A。如圖4所示。圖4解解方程組得交點(diǎn)(0，0)，(1，1)。將該平面圖形視為*型圖形，確定積分變量為*，積分區(qū)間為0，1。由公式(5)，所求圖形的面積為=。例2求由

8、曲線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成圖形的面積A。如圖5所示圖5解解方程組得交點(diǎn)(，1)，(2，2)。積分變量選擇y，積分區(qū)間為2，1。所求圖形的面積為=。3.1.2、極坐標(biāo)系中曲邊扇形的面積在極坐標(biāo)系中，稱(chēng)由連續(xù)曲線(xiàn)及兩條射線(xiàn)，所圍成的平面圖形為曲邊扇形。在上任取一微段，面積微元dA表示這個(gè)角的小曲邊扇形面積，所以。例3求心形線(xiàn)，所圍成圖形的積A。如圖6所示。圖6解因?yàn)樾男尉€(xiàn)對(duì)稱(chēng)于極軸，所以所求圖形的面積A是極軸上方圖形A1的兩倍。極軸上方局部所對(duì)應(yīng)的極角變化圍為，由公式(7)，所求圖形的面積為=。3.2、空間立體的體積3.2.1一般情形設(shè)有一立體，它夾在垂直于*軸的兩個(gè)平面，之間(包括只與平面交于一點(diǎn)的情況)

9、，其中，如下圖。如果用任意垂直于*軸的平面去截它，所得的截交面面積A可得為，則用微元法可以得到立體的體積V的計(jì)算公式。過(guò)微段兩端作垂直于*軸的平面，截得立體一微片，對(duì)應(yīng)體積微元。因此立體體積，如圖7所示。圖7空間立體的體積例4經(jīng)過(guò)一如圖8所示的橢圓柱體的底面的短軸、與底面交成角的一平面，可截得圓柱體一塊楔形塊，求此楔形塊的體積V。如圖8所示。圖8解：據(jù)圖8，橢圓方程為。過(guò)任意處作垂直于*軸的平面，與楔形塊截交面為圖示直角三角形，其面積為應(yīng)用公式(8)V=16tan=tan。3.2.2、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面的一條直線(xiàn)l旋轉(zhuǎn)一周而成的空間立體，其中直線(xiàn)l稱(chēng)為該旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸

10、。把*型圖形的單曲邊梯形繞*旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)體，則公式(4)中的截面面積是很容易得到的。如:9、10，設(shè)曲邊方程為，旋轉(zhuǎn)體體積記作。圖9旋轉(zhuǎn)體繞Y軸旋轉(zhuǎn)的的體積圖10旋轉(zhuǎn)體繞*軸旋轉(zhuǎn)的的體積過(guò)任意處作垂直于*軸的截面，所得截面是半徑為的圓，因此截面面積。應(yīng)用公式(8)，即得類(lèi)似可得Y型圖形的單曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式其中的是曲邊方程，c，d(cd)為曲邊梯形的上下界。例5求曲線(xiàn)y=sin*(0*)繞*軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積V*。圖11解V*=。例6求由拋物線(xiàn)y=與直線(xiàn)y=0，y=1和y軸圍成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vy。圖12解拋物線(xiàn)方程改寫(xiě)為*=y2，y0

11、，1。由公式(10)可得所求旋轉(zhuǎn)體的體積為Vy=3.3、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)表示為直角坐標(biāo)方程的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算公式稱(chēng)切線(xiàn)連續(xù)變化的曲線(xiàn)為光滑曲線(xiàn)。假設(shè)光滑曲線(xiàn)C由直角坐標(biāo)方程，則導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)。圖13平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)如圖13所示，在上任意取一微段，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)微段為AB，C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)也有對(duì)應(yīng)微段AP。以AP替代AB，注意切線(xiàn)改變量是微分，即得曲線(xiàn)長(zhǎng)度微元ds的計(jì)算公式得到的公式稱(chēng)為弧微分公式。以C的方程y=f(*)代入，得。據(jù)微元法，即得直角坐標(biāo)方程表示的曲線(xiàn)長(zhǎng)度的一般計(jì)算公式假設(shè)光滑曲線(xiàn)C由方程給出，則在上連續(xù)，根據(jù)弧微分公式11、12及微元法，同樣可得曲線(xiàn)C的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為例7求曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)s。解，

12、ds=d*=d*，所求弧長(zhǎng)為。3.4物理上的應(yīng)用3.4.1、變力做功物體在一個(gè)常力F的作用下，沿力的方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)物體移動(dòng)距離s時(shí)，F(xiàn)所作的功。物體在變力作用下做功的問(wèn)題，用微元法來(lái)求解。設(shè)力F的方向不變，但其大小隨著位移而連續(xù)變化；物體在F的作用下，沿平行于力的作用方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。取物體運(yùn)動(dòng)路徑為*軸，位移量為*，則?，F(xiàn)物體從點(diǎn)*=a移動(dòng)到點(diǎn)*=b，求力F作功W。如圖14所示。圖14變力做功在區(qū)間上任取一微段，力F在此微段上做功微元為dW。由于F(*)的連續(xù)性，物體移動(dòng)在這一微段時(shí)，力F(*)的變化很小，它可以近似的看成不變，則在微段d*上就可以使用常力做功的公式。于是，功的微元為。作

13、功W是功微元dW在a，b上的累積，據(jù)微元法例8求長(zhǎng)0.02m要用9.8N的力，求把彈簧拉長(zhǎng)0.1m時(shí)，外力所做的功W。圖15解據(jù)虎克定律，在彈性限度，拉伸彈簧所需要的外力F和彈簧的伸長(zhǎng)量*成正比，即，其中k為彈性系數(shù)。據(jù)題設(shè)，*=0.02m時(shí)，F(xiàn)=9.8N，所以9.8=0.02k，得k=4.9102(N/m)。所以外力需要克制的彈力為F(*)=4.9102*。由(12)可知，當(dāng)彈簧被拉長(zhǎng)0.1m時(shí)，外力克制彈力作功。例9 一個(gè)點(diǎn)電荷O會(huì)形成一個(gè)電場(chǎng)，其表現(xiàn)就是對(duì)周?chē)钠渌姾葾產(chǎn)生沿徑向OA作用的引力或斥力；電場(chǎng)單位正電荷所受的力稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度。據(jù)庫(kù)侖定律，距點(diǎn)電荷r=OA處的電場(chǎng)強(qiáng)度為(k為比

14、例常數(shù)，q為點(diǎn)電荷O的電量)?，F(xiàn)假設(shè)電場(chǎng)中單位正電荷A沿OA從r=OA=a移到r=OB=b(ab)，求電場(chǎng)對(duì)它所作的功W。圖16解這是在變力F(r)對(duì)移動(dòng)物體作用下作功問(wèn)題。因?yàn)樽饔昧鸵苿?dòng)路徑在同一直線(xiàn)上，故以r為積分變量，可應(yīng)用公式(14)，得。3.5 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用3.5.1利用定積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)管理中, 由邊際函數(shù)求總函數(shù)( 即原函數(shù)) , 一般采用不定積分來(lái)解決,或求一個(gè)變上限的定積分?？梢郧罂傂枨蠛瘮?shù),總本錢(qián)函數(shù), 總收入函數(shù)以及總利潤(rùn)函數(shù)。設(shè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)u( * ) 的邊際函數(shù)為 ,則有例10生產(chǎn)*產(chǎn)品的邊際本錢(qián)函數(shù)為, 固定本錢(qián)C (0) =10000, 求出

15、生產(chǎn)*個(gè)產(chǎn)品的總本錢(qián)函數(shù)。3.5.2 利用定積分計(jì)算資本現(xiàn)值和投資假設(shè)有一筆收益流的收入率為f(t) , 假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復(fù)利率r 計(jì)息, 從而總現(xiàn)值。例11 現(xiàn)對(duì)*企業(yè)給予一筆投資A, 經(jīng)測(cè)算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 假設(shè)年利潤(rùn)為r, 試求:(1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值;(2) 收回該筆投資的時(shí)間為多少解(1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值: 因收入率為a, 年利潤(rùn)為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為Y= 從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為 ( 2) 求收回投資的時(shí)間: 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資。由得T =即收回投資的時(shí)間為T(mén)=例如, 假設(shè)對(duì)*企業(yè)投資A = 800( 萬(wàn)元) , 年利率為5% , 設(shè)在20 年中的均勻收入率為a= 200( 萬(wàn)元/ 年),則有投資回收期為 =(年)由此可知,該投資在20年可得純利潤(rùn)為1728.2萬(wàn)元, 投資回收期約為4.46年.4 總結(jié)定積分在數(shù)學(xué)中占主導(dǎo)地位，以上幾個(gè)方面的應(yīng)用也只是定積分在我們能夠接觸到的應(yīng)用的一局部, 定積分還有很多在我們生活、學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中的應(yīng)用之處。只要勤于學(xué)習(xí), 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感受到定積分的無(wú)窮魅力, 同