保險(xiǎn)精算第三章

1、知識(shí)回顧生命的分布函數(shù)、生存函數(shù)、余命、T的分布函數(shù)、 T的生存函數(shù)、概率密度函數(shù)K(x)、 K(x)與T(x)的關(guān)系死力的定義，計(jì)算公式，與生存函數(shù)的關(guān)系，與T的概率密度函數(shù)的關(guān)系。1學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握生命表中生存數(shù)的表示方法，含義。掌握死亡數(shù)，死亡率的含義，計(jì)算。掌握生存率的含義，計(jì)算。掌握n年內(nèi)生存概率，n年內(nèi)死亡概率的計(jì)算公式，掌握平均余命或生命期望值的計(jì)算。掌握完全平均余命的計(jì)算2 3.2 生命表生命表是壽險(xiǎn)精算的科學(xué)基礎(chǔ),它是壽險(xiǎn)費(fèi)率和責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算的依據(jù)，也是壽險(xiǎn)成本核算的依據(jù)。3.2.1 生命表的含義： 生命表是根據(jù)已往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制的由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯

2、總表。生命表是過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的記錄，通常用于預(yù)測(cè)那些將來(lái)和過(guò)去情況大致相同的未來(lái)事件 。生命表中最重要的就是設(shè)計(jì)產(chǎn)生每個(gè)年齡的死亡率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業(yè)、習(xí)性、以往病史、種族、居住環(huán)境等。一般情況下，在設(shè)計(jì)生命表時(shí)，只注重考慮年齡和性別。 3生命表可分為：(1) 國(guó)民生命表。國(guó)民生命表是根據(jù)全體國(guó)民或者以特定地區(qū)人口的死亡統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)編制的生命表，主要來(lái)源于人口普查的統(tǒng)計(jì)資料。(2) 經(jīng)驗(yàn)生命表。經(jīng)驗(yàn)生命表是根據(jù)人壽保險(xiǎn)、社會(huì)保險(xiǎn)以往的死亡記錄(經(jīng)驗(yàn))所編制的生命表。保險(xiǎn)公司使用的是經(jīng)驗(yàn)生命表，主要因?yàn)閲?guó)民生命表是全體國(guó)民生命表，沒有經(jīng)過(guò)保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)選擇，一般情況下與保險(xiǎn)公司

3、使用的生命表中的死亡率不同。生命表的特點(diǎn)構(gòu)造原理簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場(chǎng)合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）43.2.2 生命表的內(nèi)容在生命表中，首先要選擇初始年齡且假定在該年齡生存的一個(gè)合適的人數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為基數(shù)。一般選擇0歲為初始年齡，并規(guī)定此年齡的人數(shù)，通常取整數(shù)如10萬(wàn)、100萬(wàn)、1000萬(wàn)等。 在生命表中還規(guī)定最高年齡，用w表示，滿足lw+1=0。一般的生命表中都包含以下內(nèi)容： (1) x: 年齡. (2)lx: 生存數(shù)，是指從初始年齡至滿x歲尚生存的人數(shù)。 例：l25表示在初始年齡定義的基數(shù)中有l(wèi)25人活到25歲。 1) lx表示自出生至滿x歲時(shí)尚存活人數(shù)的期望值。 2) lx為

4、連續(xù)函數(shù)，隨年齡x增加而遞減。但生命表中則以5 整數(shù)年齡表示，在0歲附近死亡率變化較大，從而生存人數(shù)在短期內(nèi)也有顯著差異。 3) 通常以l0=10 000 000人為基數(shù)，表示出生時(shí)的人數(shù)，若存活函數(shù)s(x)為生存至x歲時(shí)的生存概率，則所有l(wèi)0人在x歲時(shí)有l(wèi)0 *s(x)人仍生存，此即為在x歲時(shí)的所有生存人數(shù)lx ，故 lx= l0 *s(x)(3) dx：死亡數(shù)，是指x歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù),即指x歲的生存數(shù)lx人中，經(jīng)過(guò)1年死亡的人數(shù)。 1) dx表示x歲的生存人數(shù)lx中，經(jīng)過(guò)整1年所死亡的人數(shù)，亦即lx中自x歲至x+1歲間1年內(nèi)死亡的人數(shù)，稱為x歲的死亡人數(shù)。6例3.2.1 9 292

5、 079 -9 259 817 =32 262(人) (4) 極限年齡,即生命的最高年齡，以w表示，lw+1=0.(5) qx:死亡率，表示x歲的人在1年內(nèi)死亡的概率。 1) qx表示x歲的人在1年內(nèi)死亡的概率。 2)2)7另：8(6) px:生存率，表示x歲的人在1年后仍生存的概率。 即到x +1歲時(shí)仍生存的概率。 1) px 表示x歲的人經(jīng)過(guò)1年后仍生存的概率。 2) 3)（7）npx表示x歲的人在n年后仍生存的概率。9 意義： (x)在 x+m+n年后仍生存的概率等于x在m年后仍生存的概率，乘以至x+m歲時(shí)又生存了n年的概率，因?yàn)閮烧呤窍嘁朗录?，所以要用乘法?0（8）nqx: x歲的人

6、在n年內(nèi)死亡的概率。如下圖11（9）m|nqx：x歲的人在x+m歲與x+m+n歲的n年內(nèi)死亡的概率。12如圖所示：當(dāng)n=1時(shí)，用m| qx表示x歲的人在生存m年后的那一年(m+1年)中內(nèi)死亡的概率。則：1314(10)ex：平均余命或生命期望值 1) ex表示現(xiàn)年x歲的人尚可再生存若干年的平均數(shù)，即每一個(gè)到達(dá)x歲的人，今后仍生存的平均年數(shù)。 2) 假定死亡者都在年初死亡，則x歲后第1年全體生存的年數(shù)共lx+1年，同理，第2年全體生存年數(shù)為lx+2年。依此類推，此x歲的人的總生存年數(shù)為15 但事實(shí)上這一現(xiàn)象并不合理，因?yàn)椴豢赡芩械娜硕荚谀瓿跛劳?，于是假?年內(nèi)死亡人數(shù)呈均勻分布，或可假定于年中

7、死去，即每人應(yīng)該比年初死亡多活半年， 所以定義， 并稱此為完全平均余命或完全生命期望值。例3.2.4 下表為某個(gè)生命表的一部分1617根據(jù)這部分生命表，我們可以算出各種有用的概率。例如，查表可得34歲的人在35歲以前死亡的概率為q34=0.0015034歲的人在35歲仍活著的概率為p34=1- q34=0.99850兩年后仍活著的概率為2p34= p34 *p35=p34 *(1- q35) =0.99691在兩年內(nèi)死亡的概率為2q34 =1- 2p34=0.00309在36歲37歲之間死亡的概率為2|q34 =2p34 *q36=0.00169例3.2.5 已知20歲的生存人數(shù)為1 000人

8、，21歲的生存人數(shù)為998人，22歲的生存人數(shù)為992人。試求20歲的人在2l歲那年死亡的概率1|q20 (0.06)18例3.2.6 已知40歲的死亡率為0.04，41歲的死亡率為0.06，而42歲的人生存至43歲的概率為0.92。如果40歲生存人數(shù)為100人，求43歲時(shí)的生存人數(shù)。83.0208(人)(11) 完全平均余命 是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，即：19(3.2.11)式的證明過(guò)程：注意 ，因?yàn)?t 大于一定年數(shù)之后 等于零20取整平均余命是取整余命K(x)的數(shù)學(xué)期望，記為ex，即(3.2.12)(3.2.13)(3.2.14)2122知識(shí)小結(jié)生命表中生存數(shù)的表示方法，含義。死亡數(shù)，死亡率的含義，計(jì)算。生存率的含義，計(jì)算。n年內(nèi)生存概率，n年內(nèi)死亡概率的計(jì)算公式，理解平均余命或生命期望值的計(jì)算。完全平均余命的計(jì)算23練習(xí)題：1.給出生存函數(shù) ，求： (1)人在50歲60歲之間死亡的概率。 (2)50歲的人在60歲以前死亡的概率。 (3)人能活到70歲的概率。 (4)50歲的人能活到70歲的概率。 2.已知 求3.已知24練習(xí)題：4.設(shè)某群體的初始人數(shù)為3000人，20年內(nèi)的預(yù)期死亡人數(shù)為240人，第21年和第22年的死亡人數(shù)分別為15人和18人。求生存函數(shù)s(x)在20歲、21歲和22歲的值。5. 如果 若 則 在該生命表中1歲到4歲之