2022年專升本《高等數(shù)學》176復習題及答案復習進程

1、資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 專升本高等數(shù)學試題（176 題）一. 挑選題：1. 設函數(shù) f x24x4,x2, g x 是 f x 的反函數(shù),就（）A. g x 2xB. g x 2xC. g x 2xD. g x 2x2. 如 x0是 f x 的極值點,就（）A. fx0必定存在,且fx 00B. fx0必定存在,但fx0不肯定等于零C. fx0可能不存在D. fx0必定不存在3. 設有直線x 0yz,就該直線必定（）43A. 過原點且垂直于x 軸B. 過原點且平行于x 軸C. 不過原點,但垂直于x 軸D. 不過原點,且不平行于x 軸*4. 冪級數(shù)a xn在點 x2 處收斂,就級

2、數(shù)1 nan（）n0n0A. 肯定收斂B. 條件收斂C. 發(fā)散D. 收斂性與 an有關5. 對微分方程y3y2yex,利用待定系數(shù)法求其特解y * 時,下面特解設法正確選項（A. y*AexB. y *AxB exC. y *AxexD. y*2 Ax ex0 x06. 函數(shù) f x 1x0在點 x0 不連續(xù)是由于（）xA. f00f 0B. f00 f 0C. f 00 不存在D. f 00 不存在7. 設 f 為連續(xù)函數(shù),且af x dx0,就以下命題正確選項（）aA. f x 為 a,a上的奇函數(shù)B. f 為 a,a上的偶函數(shù)C. f 可能為 a,a上的非奇非偶函數(shù)D. f x 必定為

3、a,a上的非奇非偶函數(shù)8. 設有單位向量a0 ,它同時與 b3 ij4 k及 cik 都垂直,就 a0 為（）word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除A. 1i1j1kB. ijkC. 1i1j1kfD. ijk3333339. 冪級數(shù)n1ln n1xn的收斂區(qū)間是（）n1A. 1,1 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,1 10. 根據(jù)微分方程通解的定義,y sinx的通解是（）A. sin xc xc2B. sin xc 1c2C. sin xc xc2D. sin xc 1c2（其中 c 1、c2是任意常數(shù)）11. 微分方程yxy 2的通解為. 252112. 5972

4、. 3741. 462113. 曲線xyt2yt10在t0處的切線方程為te10014 已知 A 013, A* 為 A 的相伴陣,就* A1= 22015x在點 x=1 處連續(xù) . 215函數(shù)yxsinx1 ex的連續(xù)區(qū)間是_ _. 2x16x limx x124_ _ _. x17（ 1） x 軸在空間中的直線方程是_ _ _. （2）過原點且與x 軸垂直的平面方程是_ _ _.x12ex12,x11118設函數(shù)fx a ,x1,當a_, b_時,函數(shù)b x,1x119設參數(shù)方程xr2cos 2,yr3sin2（1）當 r 是常數(shù) ,是參數(shù)時,就dy_. dxword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡

5、,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（2）當 是常數(shù), r 是參數(shù)時,就 dy _ _ . dxn n n n20 lim n 2 3 5 _；21函數(shù) f x 2 6 x x 2 8 的間斷點是 _ x 2 x 3 x 522如 f x 1 1x x 1 x , x 0 在 x 0 處連續(xù),就 A _A , x 023設 y x ln x x 2 1,就 dy；dx _ 1 x 2 2 x x 224設 I 0 dx 0 f x y dy 1 dx 0 f x y dy,交換積分次序后 I _25已知 z arctan xy , 就 dz _26微分方程 dy 2 x 1 e x 2 x y的通解 y

6、_dx27. nlim 1+ 2n -n= A. 0 B e-2C e 2D 2e-2 28. 以下函數(shù)在（ -, +）內(nèi)單調(diào)遞減的是（）2 2 A y=-x B y=x C y=-x D y=cosx 1-29. 設 y=x 2 +5,設 y = 1-3 1 1 1-3 1-1A -2 x 2 B -2 x 2 C -2 x 2 +5 D -2 x 2 +5 30. 曲線 y=x 3-6x+2 的拐點坐標（）A （0,4）B （ 0,2）C（0,3）D 0,-2 31. cosx dx 等于 A sinx+c B sinx C cosx+c D cosx 132. xe xdx 等于（） A

7、 1 B 2 C 12 D -1 0233. （x 2+4x） dx = A 323 B 11 C 0 D 5 034. 設函數(shù) z=e x + y ,就dz dx = A 12 e x + y 1x dx+ 1y dy B 2e x + y 1x dx+ 1y dy C 1 2 e x+y 1 x dx+1 y dy D - 1 2 e x + y 1x dx+ 1y dy 35. 如 cotx 是 fx 一個原函數(shù),就 fx 等于（）word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除A csc 2x B -csc 2x C sec 2x D -sec 2x 36. 設 lim x 0

8、sinaxx =7,就 a 的值是（）A 1 7 B 1 C 5 D 7 37. 已知函數(shù) fx 在點 x 0處可等,且 f x 0=3,就 lim h 0 fx 0+2h-fx 0h 等于（）A 3 B 0 C 2 D 6 38. 當 x 0 時, sinx 2+5x 3與 x 2 比較是（）A 較高階無窮小量 B 較低階的無窮小量 C 等價無窮小量 D 同階但不等價無窮小量39. 設 y=x-5+sinx ,就 y 等于（）A -5x-6+cosx B -5x-4+cosx C -5x-4-cosx D -5x-6-cosx40. 設 y= 4-3x 2 ,就 f 1 等于（）A 0 B

9、-1 C -3 D 3 41. 2e x-3sinxdx 等于（）A 2e x+3cosx+c B 2e x+3cosx C 2e x-3cosx D 1 1dx42. 2 dx 等于（）A. 0 B. 1 C. D.1-x 20243. 設函數(shù) z=arctan yx,就 x z 等于（）x zy-y y x-xA. x 2+y 2 B. x 2+y 2 C. x 2+y 2 D. x 2+y 2244. 設 y=e 2x+y就 z=（）A. 2ye 2x+yB. 2e 2x+yC. e 2x+yD .e 2x+yx y二. 填空題：3lim x x 1 x1. x 3 2 _. x3lim

10、 x x 1 x lim 1 1 1xx 3 2 x 1x x 3 x 1 2 1x2. 設 y e 2,就 y _. 1 xx 23. 設 F n 2 x e dt t,就 F _. e 2dx4. 1 x 1 ln x _. 1 2 25. 設 z ln 1 x y ,就 dz 1,1 _. 2word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除6. 已知 a1, ,1,b2,1,1,就過點 M 0 1, ,1 且同時平行于向量a 和 b 的平面的方程為 _. 7. 微分方程dy dx3ye 2 的通解是 _. 1,1x8. 冪級數(shù)n0 x91 2n的收斂區(qū)間是 _. n9. 設 aij

11、2 k,就與 a 同方向的單位向量a0_. 10. 交換二次積分I1dxxf x,y dy的次序得0 x 2I_. 11. 設 f x ex2x21x0為連續(xù)函數(shù),就a_；12ax012. 函數(shù) y2x33x212x1的單調(diào)遞減區(qū)間是_；13. 設sin x x是 f 的一個原函數(shù),就xf x dx_；14. 設x 0 ft dt1x2arctanxex2,就 f _；15. 設0 xkxdx 5,其中 k 為常數(shù),就 k_；416. 設 zesin2xy2,就z_；y17. 微分方程1xydx1yxdy0 的通解為 _；18. 點 M 0 1, ,3到平面 x2yz20 的距離 d_ ；19

12、. 冪級數(shù)n01nx1n的收斂區(qū)間是 _（不含端點）；4n20. 方程 y2y5y0 的通解是 _；21. 已知x1,就lim n11xx2xnn . n1（A ）1 （B）1 ex（C）e（D）e1x22以下等式成立的是（）. 0（A ）如fx dx和fx dx均發(fā)散,就fx dx必發(fā)散；0word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（B）如fx dx和gx dx均發(fā)散,就fxgx dx必發(fā)散；fx在xc000（C）如fx dx和gx dx均發(fā)散,就fx gx dx必發(fā)散；000（D）如fx dx收斂,g x dx發(fā)散,就fxgxdx必發(fā)散00023設函數(shù)yfx在 a,b上連續(xù)可導

13、,ca ,b,且f c0,就當（）時,處取得極大值 . c時,f x x x x 0,當cxb時,f x x x x 0, A 當ax時,當時, B 當axcf0cxbf0時,當時, C 當axcf0cxbf0時,當時,. D 當axcf0cxbf024設函數(shù)y,fx在點xx0處可導,就lim h 0fx03h hfx0 x2h .A fx 0B3fx0,C4fx0,D5f0.ex2, x0125設函數(shù)fx0,x0,就積分fx dx（）. ex2,x01A ,1B0C1,D2.e26可微函數(shù)zfx,y在點x 0y0處有zz0是函數(shù)zfx ,y 在xy點x 0y0取得極值的（）. A 充分條件,

14、B 必要條件,C 充分必要條件,D 既非充分條件又非必要條件. 27設級數(shù)an和級數(shù)b 都發(fā)散,就級數(shù)anbn是（）. n1n1n1A 發(fā)散,B 條件收斂,C 肯定收斂,D 可能發(fā)散或者可能收斂. 28.函數(shù)f x 的定義域為0,1 ,就函數(shù)f x1f x1的定義域是 55A1 4 ,5 5B1 6 ,5 5C1 4 ,5 5D0,129. 當x0時,與 x 不是等價無窮小量的是Asin xx2Bx2 s i nxCt anxx3D s i nxxword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除30.設F x xf t dt,其中f x x2,0 xx1,就下面結(jié)論中正確選項 01,12

15、AF x 1x 3,0 x1BF x 1x 31 ,0 3x133x , 1x2x , 1x2CF x 13 x,0 x1DF x 1x3,0 x1331,1x2x2 ,1 3x2x31.曲線yx x12x ,0 x2與 x 軸所圍圖形的面積可表示為A 2x x12x dx 0B 1x x12x dx 2x x12x dx 0 1C 1x x12x dx 2x x12x dx 0 1D 2x x12x dx 032設a b 為非零向量,且ab ,就必有 AababBababCababDabab33.lim x 32x2-5x+4 ）= 34.lim x 0sin5x = 2x35. 設函數(shù) y

16、=x lnx , 求 y/ = 36.y=x3拐點坐標是137.xex2dx = 38.xexdx = 0439. tan2 d = 040. 設二元函數(shù)y=sinx2+y2, 就dy dx = k= 41. 已知 z arcsinxy,dz= 42. 曲線 y=e-x 在點（ 0,1 ）處的切線斜率43.xlim1-1 x 2x= word 可編輯Ke2x x0 資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除44.設函數(shù) fx= 在 x=0 處連續(xù),就k45.2cosx x0 函數(shù) -e-x 是 fx 的一個原函數(shù),就函數(shù) y=x-e x 的極值點 x= fx 46.47.設函數(shù) y=cos2x ,

17、求 y= 曲線 y=3x2-x+1 在點（ 0,1）處的切線方程y= 48.49.1 x-1 dx 50.2e x-3sinxdx = 51. 023 cosxsinxdx= 52.設 z=e xy,就全微分 dz= 三. 解答題：2x arctan 1. 運算 2 dx1 x12. 設 f x e x2,求 h lim0 f 1 h f h33. 判定函數(shù) y x2 的單調(diào)區(qū)間3 xy2 24. 求由方程 yx 0 1 t dt 0所確定的隱函數(shù) y y x 的微分dye e5 設函數(shù) f ln x 1 f x dx,求1 f x dx36. 求曲線 y x2 的漸近線 x 1 2 2 dx

18、dy7. 設區(qū)域為 D： 1 x y 2,y 0,運算2 2D 4 x yx8. 求極限 lim x 0 ex e x 11；29. 設 y x 1 arctan x 2x arctan x 1 ln 1 x 2,求 dy；2 2210. 求函數(shù) y x 3x 3 在區(qū)間 1,1 上的最大值與最小值；211. 求不定積分 sin xdx；word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除12. 設 zzxy , 由方程 x22y23z2xyzx9 確定,求z,z；xy13. 如區(qū)域 D： x2y21,運算二重積分D11y2dxdy；214. 求過三點 A（ 0,1,0）, B（1,-1,0

19、）, C（1,2,1）的平面方程；15. 判定級數(shù) 3 nn 1 n的收斂性；n 1 4 n16. 求方程 y y 2 y x 2 的一個特解；17. 設 f 為連續(xù)函數(shù),且 f x x 3 3 x 0 1f x dx,求 f x ；18. 設拋物線 y ax 2 bx c 過原點（ 0,0）且當 x 0,1 時, y 0 ,試確定 a、b、c 的值；使得拋物線 y ax 2 bx c 與直線 x 1, y 0所圍成圖形的面積為 4,且使該圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)9體的體積最小；3 5 719. 求冪級數(shù) x x x x 的和函數(shù),并由此求級數(shù) 1 1 1 1 的和；3 5 7 3 5 7

20、2 120. 求 lim x 1 x s i n . x x1 1x , x 021.已知 f x x e 1 , 求 f x . 1, x 02x ln x22.求不定積分 x 21 32 dx . y 223 運算 I x cos ye 2 d , 其中 D 是直線 y x , x 1 和 y 0 所圍的封閉平面區(qū)域 . D x3 n 1x24.求冪級數(shù) 的和函數(shù) . n 1 3 n 2 .T T T1 ,1 ,1 ,3 5 , 2 2 , ,1 4 , a 8 , 1 0 , ,1 2 , 3 , T25. 已知：T 1 , 1 , b 3 , 5 . 確定常1 ,1 ,1 a 2 ,

21、1 ,量 a 、b 的取值的范疇 , 使 能由 1 , 2 , 3 , 4 唯獨線性表示 , 并寫出該表示式 . word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2100. 26. A1200, 求矩陣P, 使APTAP為對角陣 . 0001001027. 設直線L :xyb030在平面上 ,而平面與曲面ax5yzzx2y2相切于點 1,2,5 , 求a,b的值 . 28. 將函數(shù)fx13x2x2綻開成x的冪級數(shù) . x21029. 已知矩陣A021, 且ABA1BAE, 其中A為A002的相伴矩陣, 求矩陣B .30 運算極限lim xx21xsin1. x31. 運算二重積分IDxx

22、y1d,其中D為直線xy1,x03和y0所圍成的平面區(qū)域 . 32設函數(shù)yx2sinxa在,02內(nèi)有且僅有1 個零點,求正數(shù)a的取值范疇01110033已知矩陣A 101, B 110,且矩陣P 滿意110111APABPBAPBBPAE,其中E為單位陣,求P . 34求函數(shù)yx2x1 x的導數(shù) . 35. 求函數(shù)yx32x21在區(qū)間（ 1,2）中的極大值,微小值. 36. 求函數(shù)fxx2ex的 n 階導數(shù)dnf. dxn37運算積分02 x1x2dx. 38運算積分112xdx. 13e139運算積分x2x2 x edx. 0word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除40設函數(shù)z

23、cosxysinxy,求偏導數(shù)z 和 x2z. xxy41.把函數(shù)yx11綻開成x1的冪級數(shù),并求出它的收斂區(qū)間. 42.求二階微分方程d2y2dyyx的通解 . dx2dx43.設a,b是兩個向量,且a2 b,3求a2 b2a2 b2的值,其中a 表示向量 a 的模 . 44運算lim xx3x1；45設yx coslnx sinlnx ,求dy dx；2x646設函數(shù)x2 et2 cost,求dy dx；47運算不定積分sin212xdx. ye 2tsin2txcos48運算定積分 1exdxx； 0e49求微分方程2 d y3dy2y2ex滿意yx0,1dyx00的特解；dx2dxdx

24、50求過直線3x2yz10,且垂直于已知平面x2y3z50的平面方程；2x3y2z2051將函數(shù)f x lnx23x2綻開成 x 的冪級數(shù),并指出收斂半徑；52運算ID2 xdxdy,其中 D 由直線x2,yx 和雙曲線xy1所圍成的封閉圖形；2 y53當 a 為何值時, 拋物線y2 x 與三直線xa xa1,y0所圍成的圖形面積最小,求將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積；x 2-2x-3 yx2+y254. 運算x lim1 x 2-1 55. 設函數(shù) Z=e 求 dz=？58. 求函數(shù) fx,y=4x-y-x 2-y 2 的極值59. （ 1）求直線 y=2x y=x x=2 x=4

25、 所圍成的平面圖形 D 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積（2）求直線 x=0 x=2 y=0 與拋物線 y=-x2+1 所圍成的平面圖形的面積S如下列圖dz yz2-xz3-1=0 1 2 60. 設 Z Z（x,y ）由下面方程所確定,試求61.lim x 1x 2-12x 2-x-162.設函數(shù)y=x3e 2x,求 dy A2,-3 64.運算1l n 2x1 dx065.求函數(shù) y=x e 1+x的單調(diào)區(qū)間和極值word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除66.設函數(shù) z=x,y 是由方程 x 2+y 2+2x-2yz=e z所確定的隱函數(shù),求求曲線 y=e x,y=e-x

26、與直線 x=1 所圍成的平面圖形面積dz 67.四應用題：1. 已知方程組I的通解為k11 ,1,10Tk21 ,3,31,T,（k 1, k2為任意常數(shù)） . 給定方程組 : x 1 x 2 3 x 3 x 4 0 II 2 x 1 x 2 2 x 3 x 4 0 求 II 的通解 , 并求 I , II x 1 2 x 2 x 3 0 4 6的非零公共解 . 2.假定足球門寬為 4 米 , 在距離右門柱 6 米處一球員沿垂直于底線的方向帶球前進 如圖 . 問 : 他在離底線幾米的地方將獲得最大的射門張角 . T T T3. 已 知 1 0, , 1 1, , 1 1, 0, 1, ,且 A

27、 , 求 方 程 組nA x 0 的 通解 . 4為銷售某產(chǎn)品, 擬作電視和電臺廣告宣揚,當電視廣告與電臺廣告宣揚費分別為 x 和 y （萬元） 時,銷售量為 100 x 72 y（噸） . 如該產(chǎn)品每噸銷售價為 2022 元 . 問：（1） 如要使總廣告費不超過 10 5 x 10 y萬元,應如何安排電視與電臺廣告費,使廣告產(chǎn)生的利潤最大？最大利潤是多少？（ 2）如總廣告費恰好是 4.8 萬元,又應如何安排電視與電臺廣告費,使告產(chǎn)生的利潤最大？最大利潤是多少？1 1 k a5設 1 1,2 k,3 1,b； 問：2 1 1 c（1）在什么條件下,可由 1,2,3線性表示,且表法唯獨？（2）在

28、什么條件下,可由 1,2,3線性表示,但表法不唯獨？并寫出不同的表示式 . （3）在什么條件下,不能由 1,2,3線性表示？6運算積分 sin 2 n 1 x sin 2 m 1 xdx,其中 n, m 是整數(shù) . 0 2 23 27已知函數(shù) f x 4 ax 3 bx 2 cx d,其中常數(shù) a , b , c , d 滿意 a b c d 0,（1）證明函數(shù) f x 在（ 0,1）內(nèi)至少有一個根,（2）當 3 b 2 8 ac 時,證明函數(shù) f x 在（ 0,1）內(nèi)只有一個根 . 8.（此題 8 分）設函數(shù) f t 在 0,1 上連續(xù),且 f 1,證明方程word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如

29、有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2x xf t dt1在 0,1 內(nèi)有且僅有一實根；fx,y. AX. 0的解 09證明：如m0,n0,a0,就xmax nm m nnam n；mnm n10設f x 是連續(xù)函數(shù),求證積分I 02fsinfsinfxdx4；xcos 五證明題：1. 設fx,y有連續(xù)偏導數(shù), 且對任意x,y有xfx,yyfx,yfx ,y. 證明 ： 對t0,有ftx,tyxyt2.設fx在,內(nèi)連續(xù) ,且lim xfx 0, 證明 : 總存在一點, 使 得fx3.設向量1,2, ,r是線性方程組AX0的一個基礎解系,向量不是向量, 證明向量組,1,2, ,r線性無關 . 專升本高等數(shù)學試題

30、答案一. 挑選題2 21. 令 y f x x 4 x 4 x 2 x 2 y x y 2 ,反函數(shù)為 y 2 x,選 B 2. 應選 C；例： y x 在 x 0處取得微小值,但該函數(shù)在 x 0 處不行導,而 f 0 不存在3. 直線明顯過（ 0,0,0）點,方向向量為 l 0, ,3, x 軸的正向方向向量為 v 1, ,0,l v 1 0 4 0 3 0 0 l v,故直線與 x 軸垂直,故應選 A ；4. a x n n 在點 x 2 處收斂,推得對 x0 2,2 ,a x n 0 n肯定收斂,特殊對 x0 1 有n 0 n 0n na x 0 a n 1 肯定收斂,故應選 A ；n

31、0 n 05. r 23 r 2 0特點根為 r 1 1,r 2 2,由此可見 1（e xe 1 xe x）是特點根,于是可設 y * xAe x Axe x,應選 C；6. C f 0 0 lim 1 不存在；x 0 xword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 7. C 正確例： f 0 x0 xx0,就 f x 在 ,上非奇非偶,但f x dx0；cosijk8. abc314ijk101a0a1i1j1k,應選 C；a3339. unlnn1,un1lnn2lim nu n1lim nn1lnn21n1n2u nn2lnn1000故收斂區(qū)間是（-1,1）,應選 B；10.

32、ycosxc 1,ysinxc xc 2,應選 A；11.1ln1xyxc12.913. y11x14402621xye041015連續(xù)區(qū)間是,001, ,1,161 ,2（2）x17（ 1）y0或者xyz,或者xt,y0 ,z0（其中 t 是參數(shù)）,z010018a0 b1,19（ 1）r2x,（2）3y. y2x20 lim nn2n3n5n5；21函數(shù)f x x26xx285的間斷點是x3；2x3x22如f x 1 1 xx1x,x0在x0處連續(xù),就A1A ,x023；設yxlnx2 x1,就dylnx2 x1xx1；dx224設I 1dx 0 xf x y dy 2dx 02x x2f

33、 x y dy,交換積分次序后 0 1I 1dy 1+ 1-y2f x y dx ； 0 y225已知zarctanxy,就dzydxxdy；12 2x yword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除26微分方程dy dx2x2 x 1 exy的通解為 yx ln e2xC ,其中 C 為任意常數(shù)；27.B 28. A 29.A 30.B 31.A 32.A 33.A 34.A 35.B 36. D 37 .D 38 .C 39 .A 40 .C 41 .A 42. C 43.A 44. B二.填空題：lim 1. xx3x1xlim1113x11x0 x3 2x1 2xx2. y

34、x e 1x2ex 1x212 xx2x exx1 2e 1x22 122 1x2213. 解： Fn1 Fn2 x2e dt t2xe x2exxFn Fn1 2x xe2ex2 ex 242 x ex 2x e42 x ex22 ex 2x e4. 解e2xdxlnxe2d1lnx2 1lnxe211111lnx2 32231 5. z1xxy2,5 zx2z1xyy2dz1,1 1dx1dyy233（dz1,1z1,1 dxz1,ydy）xyijk6. 平面的法向量為nab1213 ij5 k211平面的方程為 3 x1 y1 5 z1 0即 3xy7. 解： p x 3,q x e2x

35、通解為 yep x dxq x ep x dxdxc e3dxe2xe3 dxdxc e3x5 xe dxce3x1e5xc1e2xce3x55word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除8. 解： 令 un x91 2n, un1 x91 2n2x22sinxc1,1xnn1limu n1 limx1 2n2x9n2nx1 2nu n n9 n11 9由x91 21解得,2x4,于是收斂區(qū)間是2,4 9. a2 112226, a0a1i1j2ka66610. 解： 積分區(qū)域如下列圖：D： yxy, 0y1,于是I1dxxf x,y dy1 0 dyyyf x,y dx0 x211

36、. lim x 0f x lim x 0ex2x21lim x 0 x21,a1122x22212. y6x26x126x2x26x1x2當2x1時, y0,故 y 單調(diào)遞減,故單調(diào)區(qū)間是（-2,1）13. f x sinxxcosx2sinxxxxf x dxxf x f x dxxcosxxsinsinxcxcosxxx14. f xx22arctanx1x2112xex22xarctanx2xe1x dx215. 0 xkkb limbx5kb lim arctanx2 besin2xy22004 x54xk2arctan 2k2arctan 216. zesi n 2xy22sinxy

37、2cos2 xyx22y22 x ysin2 xy2y17. 方程改寫為x2x dxy2y dy,兩邊積分得：1x31x21y31y2c 13232即 2x3y33x2y2cc6c118. 點 M0 x 0,y0,z 0到平面 AxByCzD0 的距離公式為word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除d Ax 0A 2 By 0B 2 CzC 02 D所求 d 11 2 32 32 31 22 5 66n 1 n19. lim n uu nn 1n lim4 1n 14 1n 14,收斂半徑 R 14由 x 1 4 得：3 x 5,故收斂區(qū)間是（-3,5）20. 特點方程為：r 22

38、 r 5 0 ,特點根為 r 1 2 2 4 20 1 2 i2通解為 y e x c 1 cos 2 x c 2 sin 2 x21. D 22. A 23.B 24.D 25.B 26.B 27.D 28.C 29.D 30.D 31C 32.B 5 1 133.7 34.2 35.xln 3x 2-lnx 36. 0,0 37. 2 ex 2+C 138. 1 39. 1- 4 40.2xcosx 2+y 2 41. 1-x 2y 2 ydx+xdy 42. -1 -2-x43.e 44.2 45. e 46. 0 47.-4cos2x 48. y=-x+1 49. ln x 1 +c

39、50. 2e x+3cosx+c 51. 14 52. dz=e xyydx+xdy 三. 解答題：1. 解：xarctan 2dx3時, y0,函數(shù)單調(diào)削減,故函數(shù)的1x21x2dxarctan 2dxx1x21d 1x2arctan 2darctanx21x21ln1x21arctan 3c23lim 2. 解： h0f 1h f f e12x12e1x2x3h3. 解： y3 x23x2xx33x2x2 9xx2322322當3x3時, y0,函數(shù)單調(diào)增加；當x3或 x單調(diào)遞減區(qū)間為,3 3,單調(diào)遞增區(qū)間為3,3 4. 解： 方程兩邊對 x 求導（留意 yy x 是 x 的函數(shù)）：wor

40、d 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除y x22xy1y2y02y dxA12xyx2dxA1解得y12xyx2dyy2y25. 解： 設 Ae 1 f x dx,就 f x lnx,兩邊求定積分得Aef x dxe 1 lnxA dx lnxxAxeAe11解得： A1 ,于是 ef lnx1e6. 解： （1）limylimxx3xx1 曲線沒有水平漸近線lim（2） x1ylim1xx321,曲線有鉛直漸近線x1x1 2lim（3） xylimxx2axx1 2x3xlimya x limxxx1 limx3x32x2xy2bxx1 2x2所以曲線有斜漸近線：7. 解： 積分區(qū)

41、域如下列圖（陰影部分）dxdy0d124rr2drlim x 0e2xexx11112x2D4x2y2211d4r2124r2lim x 0exexx11x8. 解： lim x 0exex11xx ex2lim x 02e2x2ex23arctanx1lim x 04e2xex2x22 x212arctanx19. 解： yxarctanxx1x22 x2xxarctan2x11x2word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除所以 dyy dxxarctanx2x1dxx11x0 時1x210. 解： 函數(shù) yx3x2 3 在 x0 處不行導, y 1x1332x13令 y0 得駐

42、點 x1,求得 y 1 5,y 00,y1522于是 y 在 1,1 上的最大值為y 0 ,最小值為 y1211. 解： 令xt,xt2 , dx2tdt,于是sinxdxsi ntt2dt2tsintdt2tcos t dt2 cos tcos tdt2 cossin c仍 原2xcosx2sinxc12. 解： 令 F x y z , , x22y23 z2xyz9 ,就Fx2y,Fy4x,Fz6z1于是,zF x2xyxF z6z1zF y4yxyF z6z113. 解： D 用極坐標表示為 ,020,r1D1x1y2dxdy2 0 d1112rdr21rdr220r01r1d 1rr2

43、ln1r21ln20120yx2+y 21Ox14. word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解： AB1,2,AC1, ,1,平面法 向量 n 同時垂 直于 AB和AC,于是可令nABACijk2 ij3 k2,1,3120111平面方程為：20 xy13z00,即2xy3 z10CAB15. 解： 由于n13 n是公比 q31的等比級數(shù)從而收斂,再考察級數(shù)n11n4nn4n其中 u n 1 1 滿意 u n 1 1u n 1, lim u n lim 10n n n n 1 n n n由萊布尼茲判別法知 1 n收斂,級數(shù) 3 nn 1 n收斂；（兩收斂級數(shù)之和收斂）n 1 n

44、 n 1 4 n16. 解： 特點方程為 r 2r 2 0 ,特點值 r 1 2,r 2 1f x x 2xe 2 0 ,這里 0不是特點根,可設特解為：00 x 2 2y * x e ax bx c ax bx cy * 2 axby,* 2 a 代入原方程并整理得：2 22 ax 2 a 2 b x 2 a b 2 c x解得： a 1,b 1,c 32 2 4于是 y * 1 x 2 1 x 32 2 4117. 解： 令 A 0 f x dx,就13 3fx x 3 x 0 fx dx x 3 Ax11 1 3 1 4 3 2 1 30 fx dx 0 x 3 Ax dx4 x2 Ax

45、0 4 2 Aword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除即 A13AA1c過原點（ 0,0）,有 c0yax2bx4223 2x于是 f x x318. 解： 因拋物線 yax 2bx依題意,如下列圖陰影部分的面積為1ax2bx dx1ax3b x 2211ab4030329b82 3a9yl 1 x該圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1ax2bx 2dxa12 a x42 abx3a2 b x2dx00a21ab1b225232a182V aa21a852933935x2a2464令 Va135812434a40,得駐點： a1358131b8 925182y339Oy由

46、問 題 的 幾 何 意 義 可 知 , 當 a5, 從 而 b2 時 , 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 最 小 , 于 是 所 求 曲 線 為35x22 x3word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除19. 解： 令 S xxx3x5x7 ,就 S 0 且有y1x337S x 1x2x4x6 1112arctanxx又 S x S x 0 S t dtxdtlim t 0101t2S xarctanxO于是 1111 arctan143574r21232cos t20.解: 原式t1lim t 01 11sint lim t 0tsintxt2tt33t2x1lim t 0sint=16

47、t621.解: 因lim x 0fxlim x 01xe11lim x 0exxexx1 xlim x 0exx111f022f x在x0處連續(xù) . 111f0lim x 0fxxf0lim x 0 xex12xexxlim x 02 ex1 22xx ex1 ex2x1 =lim x 02 ex2xxxex=lim x 0ex12236xlnx12fxx1eex1 2x02x11d122.解: 原式lnx d x21 2lnx1x11dxx211xx2x2x2lnx1 a r c s i nxcx21word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除23.解: IDxcosy dxDxe

48、y2d, ex. 21dxxx2cosydy1dy1xey2dx200 xx0y=1x2sin 1dx11ey 2dy1y2ey2dy 2202001sin111ey 2dy1y dey 22232001sin111ey 2dyyey21 | 01ey2dy22232001sin 11e1. 23224.解: 令S xn1 x3 n1.xg xxR3 n2其中g xn1x3n2xRg003 n2 .g xn0 x3 ng 0 1g xn1 x3n13 n .3n1 .g x,0g x g xex, g 0 g 0 1210123i,123i解得 : g xex c 1cos3xc 2sin3x

49、e x2223g0 0,g 01c 11,c 2133S xx ex1cos3x3sin3x 232323word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除27. 解2120110,01,T25.解: 111a12b133425a8315120110112000a102b000a1ba1 ,bR可由1,2,3,4線性表示 . 1000aab11 0 2 b01000010ab10001a1aab1112b3ab14a126.解: APTAPPTA2P5400A2450000100001A2的特點值為 : 1,1,1,9. 1的特點向量 : 11, ,0 ,0 T,0 ,0 , 10T,09

50、的特點向量 : 1 1, ,00,T曲面在 1,2,5處的法向量為平面nz xz y,1 ,12,52 ,4 ,1方程為2x1 4y2 z5 0, 即x4yz50. word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除直線 L 的方程又可寫為yxbxb 3,代入平面|的方程解得a1,b2. zax5 28. 解13 x2x211x11, x2 x11xn0 xn, | x|1, 1 2. 11xn02xnn01 n2nxn, | x|1. 2fx n x1 n2nxn=11 n2nn x , |xn0n0n029. 解: AAA1BAEAA1BAA11ABABAEA12311=13724 1

51、8 302301sint124 1002002P1100PTA2 P912 12 1002 02 01010001costlim t 030lim xx21xsin1t1lim t 0tsintlim t 01xt33 t26t6x31 解法一畫出區(qū)域D 的示意草圖11ID3xxyd12cossincos cossin1rdrd0302c o s1s i n2d32c o ss i n c o s0word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除12coscossin1dcoscossintcossin10t1dt433cos320218解法二畫出區(qū)域D 的示意草圖ID3xxyd1dx1

52、xxxy1dy3001x13xy21xdx31x1xdx3333000 x22832fxx2sinxa,x,02ff 0 a0,f22 x 02ax 12c o s04fx 0,0 x4fx遞減,04x遞增4x0,22當a22時,f222a0fxx2sinxa在（0 ,2）內(nèi)無零點；當0a22時,f222a0fxx2sinxa在（0 ,2）內(nèi)有且只有一個零點；所以此題答案是：0a22；33解： APA APBBPBBPA E AP（AB） BP（ A B） E （AP BP）（ AB） E （A B）P（ A B） E A B111（A B）-1112011011001001word 可編輯資

53、料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除1252 1 nx 21nPAB 1201200134解：令lnyxlnx2x1 ,就yx2x1 lnx2x1 x2x1 xx2x135解：y3x24xx3x4 ,駐點為x 10,x243（法一） y6x4,y040,y01（極大值）,y440,y45（微小值） . 3327（法二）x1 （ 1,0）0 0,434343,2y正0 負0 正y-2 遞增1 遞減527遞增當x0時,y1（極大值）,當x43時,y527（微小值）36解：利用萊布尼茲公式dnfx22 nxnn1 exdxn37解：0 x212dx0 x1x2 dx0 x12x1 1dx13 x11

54、 1lnx20ln41x1338解：112xdx1e2xe2xdx2 ee1xx1ln1e2xC （其中 C 是任意常數(shù)）239解：1x2x2 exdxx2x2 ex112x1 exdx000212x1exdx2 e1 +2ex1= 0033 e2 e21e；40解：zysinxycosxyy. x2zs i n xyxyc o s xys i n xy41：解：yx111112111x21x212x21 32x2word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除n01 nxn1 n,收斂區(qū)間為（ -1, 3）. 是 任 意 常 數(shù)2142.解：特點方程為2210,特點值為1（二重根）,齊

55、次方程d2yy2dyy0的通解是 yc 1xc2x ex,其中c 1,c2是任意常數(shù) . dx2dxd2y2yx2,2c 1c2xex, 其 中c1, c 2dyx的特解是dx2dx y所 以 微 分 方 程 的 通 解 是yy43解：a2 b2a2 b2a2b a2 ba2 ba2 b2 a2b226. 44運算lim xx3x1；2x6解：lim xx3x1=lim1 xx36x36x36 x122x6又由于lim1 xx36x36elim xx36 x2132所以lim xx3x1=e3；22x645設yx coslnxsinlnx,求dy dx；解；dycoslnxsinlnxx si

56、nlnx1coslnx1= 2cos ln xdxxx46設函數(shù)x2 et2 cost,求dy dx；y2 etsin2t解：dx22 et2 cost2e2 tsin costdtdy22 etsin2t22 etsin costdtdydy2 2 et2 costsin cos 2 costsin cos dt dxdx2 2 etsin2tsin cos sin2tsin cos dt47運算不定積分sin212xdx. 2xdxxcos解：sin212xdxsin2xcosxcossin2x2 cosx=1x1xdxcotxtanx Csin22 cosword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,

57、如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除48運算定積分 0 1e x dxe x；解： 0 1e x dxe x 0 1 1 ee x2 x dx = 0 11 d e e xx 2 dx = arctan e x 1 0 arctan e4；249求微分方程 d ydx 2 3 dydx 2 y 2 e x滿意 y x 0 1, dydx x 0 0, 的特解；2解：微分方程 d y2 3 dy 2 y 2 e x對應的特點方程為dx dx2r 3 r 2 0 r 1 r 2 0特點根為 r 1 1, r 2 2而 1,所以 r 1 1 為單根,x 2 x對應的齊次方程的通解為 Y C e C e非齊次方程的

58、通解為 y *Cxe x代入原方程得 C 2x 2 x x有通解 y C e C e 2 xe有 dydx x 0 0, y x 0 1C 1 C 12 C C2 22 10 C 1 0, C 2 1有解 y e 2 x2 xe x3 x 2 y z 1 050求過直線,且垂直于已知平面 x 2 y 3 z 5 0 的平面方程；2 x 3 y 2 z 2 03 x 2 y z 1 0解：通過直線 的平面束方程為2 x 3 y 2 z 2 03 x 2 y z 1 2 x 3 y 2 z 2 0 即3 2 x 2 3 y 1 2 z 1 2 0要求與平面 x 2 y 3 z 5 0 垂直,就必需

59、1 3 2 2 2 3 3 1 2 04 2 0 2所求平面方程為 x 8 y 5 z 5 0word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡,如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除51將函數(shù)f x lnx23x2綻開成 x 的冪級數(shù),并指出收斂半徑；求將此圖形繞x解：f lnx1x2lnx1lnx2= ln 2ln1xln1x2=ln 2n0 1 nn1 x1 2n1n0 1 nn11n1x=ln 2n0n 1n11122n1xn1n1收斂半徑R152運算ID2 xdxdy,其中 D 由直線x2,yx 和雙曲線xy1所圍成的封閉圖形；2 y解：IDx 2dxdy 2dx xx2dy2 y 11y2x= 2x21x 1dx 2

60、x3x dx=x4x229 1y 14214x53當 a 為何值時, 拋物線y2 x 與三直線xa xa1,y0所圍成的圖形面積最小,軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積；解：設所圍面積為 S a a 1 2 a 1 3a 3S a a x dx3 2 2S a a 1 a 2 a 1令 S a 0 a 12S 2 0,所以 S 1 1為最小的面積2 12V x - 1212 y dx 22 0 12x dx 4 25 x 50 1280 x 2-2x-3（x-3 ） x+1 x-3-454. x lim 1 x 2-1 =x lim 1 x-1x+1 = lim x 1 x-1 = lim-2 =