§3.2.2立體幾何中的向量方法(5)及詳解-向量法求二面角的大小

1、PAGE PAGE 10高二理科數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案班別： _學(xué)號： _姓名： _ 3.2立體幾何中的向量方法（5）向量法求二面角的大小一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解二面角的概念2掌握利用向量方法解決有關(guān)二面角的問題二、問題導(dǎo)學(xué)問題1：什么叫二面角？二面角的范圍是什么？怎樣用定義法求二面角的大小？問題2：已知平面與相交于直線l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，則二面角l的大小與有何關(guān)系？ 問題3：怎樣用向量方法求二面角的大??？步驟如何？三、例題探究例1如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處，從A、B到直線l (庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d，求庫

2、底與水壩所成二面角的余弦值。變式：如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2eq r(17)cm，則這個(gè)二面角的度數(shù)為_例2在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，求二面角C1BDC的正切值.BACDS變式如圖，在在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ADBC，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=eq f(1,2)，求面SCD與面SAB所成銳二面角的余弦值。例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E

3、是PC的中點(diǎn)，作EFPB于點(diǎn)F（1）求證：PA平面EDB；（2）求證：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1三棱錐ABCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若n1，n2eq f(,3)，則二面角ABDC的大小為 ()A.eq f(,3) B.eq f(2,3) C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(,3)2在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，1,3)，(2,2,4)，則這個(gè)二面角的余弦值為 ()A.eq f(r(15),6) Beq f(r(15),6) C.eq f(r(15

4、),3) Deq f(r(15),6)或eq f(r(15),6)3若兩個(gè)平面，的法向量分別是m(1,0,1)，n(1,1,0)則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是_4已知點(diǎn)A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3) ，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_5正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為_【參考答案】3.2立體幾何中的向量方法（5）向量法求二面角的大小一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解二面角的概念2掌握利用向量方法解決有關(guān)二面角的問題二、問題導(dǎo)學(xué)問題1：什么叫二面角？二面角的平面角范圍是什么？怎樣用定義法求二面角的平面角的大??？0，問題2：已知平面與相交于

5、直線l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，則二面角l的大小與的有何關(guān)系？ 問題3：怎樣用向量方法求二面角的大小？步驟如何？【求二面角】平面與相交于直線l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，則二面角l為或.設(shè)二面角大小為，則|cos|cos|eq f(|n1n2|,|n1|n2|).由于兩條直線所成的角，線面角都是銳角或直角，因此可直接通過絕對值來表達(dá)，故可直接求出，而二面角的范圍是0，有時(shí)比較難判斷二面角是銳角還是鈍角，因?yàn)椴荒軆H僅由法向量夾角余弦的正負(fù)來判斷，故這是求二面角的難點(diǎn)探究1：方法提煉：求二面角大小的向量方法. 法向量法：將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角 探究

6、2：方法提煉：求二面角大小的向量方法.方向向量法：將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量 (在二面角的面內(nèi)且垂直 于二面角的棱)的夾角.三、例題探究例1如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處，從A、B到直線l (庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d，求庫底與水壩所成二面角的余弦值。分析考慮二面角時(shí)，常要考慮它的平面角，由于向量可以平移，所以所求二面角的平面角就是圖中直線AC,BD所成的角或它的補(bǔ)角（想一想，為什么？）因此，我們首先根據(jù)題設(shè)，用向量表示線段AC與BD的方向，然后利用向量的數(shù)量積求出這個(gè)角于是，立體幾何中有關(guān)夾角的問題，可以轉(zhuǎn)

7、化為有關(guān)數(shù)量積的問題通過例1，可以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法注意：1、教學(xué)中當(dāng)完成本例的求解后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識：立體幾何中的向量方法在本例中是如何具體使用的，以加深對一般解法的認(rèn)識2、本例關(guān)系到二面角的大小，一個(gè)需要注意的細(xì)節(jié)是,的方向性，即它們的夾角應(yīng)恰是二面角的平面角，而不是這個(gè)平面角的補(bǔ)角變式：如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2eq r(17)cm，則這個(gè)二面角的度數(shù)為_ 【答案】60 解析設(shè)eq o(AC,sup6()，eq o(BD,sup6()，C

8、AAB，ABBD，eq blc(avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()0，eq o(CA,sup6()，eq o(BD,sup6()180，|eq o(CD,sup6()|2(eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()2|eq o(CA,sup6()|2|eq o(AB,sup6()|2|eq o(BD,sup6()|22|eq o(CA,sup6()|eq o(BD,sup6()|cos(180)(

9、2eq r(17)2624282268(cos)，coseq f(1,2)，60.因此，所求二面角的度數(shù)為60.例2在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，求二面角C1BDC的正切值.【答案】eq f(5,3)【點(diǎn)評】若圖中存在（或易找到）三條互相垂直的直線，通過建系，利用法向量求二面角比較方便.變式：如圖，在在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ADBC，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=eq f(1,2)，求面SCD與面SAB所成銳二面角的余弦值。BACDS【答案】 BACDSyyx【點(diǎn)評】無棱二面角，可以考慮用向量知識求二面角的大小，將二面角的問

10、題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。BACDSM【思考】用幾何法如何求解？怎樣作出二面角的平面角？思路1：設(shè)BA與CD交于M，則SM是平面SCD與平面SAB的交線，即二面角的棱。注意到BC平面SAB，可以證明MSSB，MSSC，BSC就是CSMB的平面角，在RtCBS中，SB=eq r(2)AB=eq r(2)，SC=eq r(BC2SB 2)=eq r(3)，cosBSC=eq f(SB,SC)=eq f(r(2), r(3)

11、=eq f(r(6), 3).DBACSFE思路2：取BC中點(diǎn)E，SC中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，則面SAB/面SEF，所求二面角等于二面角CDFE的大小，CFE是CDFE的平面角，cosCFE=eq f(SB,SC)=eq f(r(2), r(3)=eq f(r(6), 3)。BACDS【變式】求面SAD與面SBC所成銳二面角的余弦值。思路1：向量法；思路2：幾何法。過S作直線l/AD，則l/AD/BC，l/是二面角的棱，容易證明l平面SAB，故ASB就是所求二面角的平面角，不難求得ASB=90，故面SAD與面SBC所成銳二面角的余弦值為0.【引申】2010廣東理科18（無棱二面角的求法）

12、例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EFPB于點(diǎn)F（1）求證：PA平面EDB；（2）求證：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小【答案】課本例題分析本題涉及的問題包括：判斷直線與平面平行和垂直，計(jì)算二面角的大小，這些問題都可以利用向量方法解決已知條件中四棱錐的底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，所以非常適合建立空間直角坐標(biāo)系表示向量用向量法通過計(jì)算解決證明和求角問題，通過求解，加強(qiáng)算中有證，以證助算，使學(xué)生體會向量方法在研究幾何問題中的作用，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力及計(jì)算能力，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念和要求最后應(yīng)提出思考問

13、題：1、體會例3中的方法是把坐標(biāo)方法與向量方法結(jié)合起來的，建立坐標(biāo)系在解題中起了什么作用？2、用綜合法怎樣解例4，試比較綜合法與例4中的方法3、如果是小題你還有什么好辦法來既快又準(zhǔn)確地求出二面角的大小？在講解完三個(gè)例題后，可讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容：1、二面角的定義是什么？要注意什么問題？2、常見的二面角的平面角的求解有幾種方法？什么條件下用向量法比較好？目的：使學(xué)生養(yǎng)成歸納總結(jié)的習(xí)慣，不斷提高自己的理性思維水平及反思構(gòu)建能力四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1三棱錐ABCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若n1，n2eq f(,3)，則二面角ABDC的大小為 ()A.eq f(,3

14、) B.eq f(2,3) C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(,3)解析只需搞清二面角的范圍是0，答案C2在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，1,3)，(2,2,4)，則這個(gè)二面角的余弦值為 ()A.eq f(r(15),6)Beq f(r(15),6) C.eq f(r(15),3) Deq f(r(15),6)或eq f(r(15),6).解析：選D.由eq f(0，1，3)(2，2，4),r(19)r(4416)eq f(212,r(10)r(24)eq f(r(15),6)，知這個(gè)二面角的余弦值為eq f(r(15)

15、,6)或eq f(r(15),6).3若兩個(gè)平面，的法向量分別是n(1,0,1)，(1,1,0)則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是_答案60解析cosn，eq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2).n，120.4已知點(diǎn)A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_解析eq o(AB,sup6()(1，2，0)，eq o(AC,sup6()(1，0，3)設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)由neq o(AB,sup6()0，neq o(AC,sup6()0知eq blc(avs4alco1(x2y0，,x3z0.)令x2，則y1，ze

16、q f(2,3).平面ABC的一個(gè)法向量為n(2，1，eq f(2,3)平面xOy的一個(gè)法向量為eq o(OC,sup6()(0，0，3)由此易求出所求二面角的余弦值答案eq f(2,7)5正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為_解析取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的坐標(biāo)系設(shè)BC1，則A(0，0，eq f(r(3),2)，B(0，eq f(1,2)，0)，D(eq f(r(3),2)，0，0)所以eq o(OA,sup6()(0，0，eq f(r(3),2)，eq o(BA,sup6()(0，eq f(1,2)，eq f(r(3),2)，eq o(BD,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，0)由于eq o(OA,sup6()(0，0，eq f(r(3),2)為平面BCD的法向量設(shè)平面ABD的法向量n(x，y，z)，則eq blc(avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)所以eq blc(avs4alco1(f(1,2)yf(r(3),2)z0，,f(r(3),2)xf(1,2)y0，)取x1，則yeq r(3)，z1，所以n(1，eq r(3)，1)，所以cosn，eq o(OA,sup6()eq f(