微觀粒子的運動

1、 第五章 原子結(jié)構(gòu)和元素周期律 100 年前的今天，正是人類揭開原子結(jié)構(gòu)秘密的非常時期。 我們共同來回顧 19 世紀(jì)末到 20 世紀(jì)初，科學(xué)發(fā)展史上的一系列重大的事件。 1 1896 年 法國人貝克勒（Becquerel） 發(fā)現(xiàn)鈾的放射性 1879 年 英國人克魯科斯（Crookes） 發(fā)現(xiàn)陰極射線2 1898 年 波蘭人瑪麗 居里（Marie Curie） 發(fā)現(xiàn)釙和鐳的放射性 1897 年 英國人湯姆生（Thomson） 測定電子的荷質(zhì)比，發(fā)現(xiàn)電子3 1904 年 英國人湯姆生（Thomson） 提出正電荷均勻分布的原子模型 1900 年 德國人普朗克（Planck） 提出量子論4 1909

2、 年 美國人密立根（Millikan） 用油滴實驗測電子的電量 1905 年 瑞士人愛因斯坦（Einstein） 提出光子論，解釋光電效應(yīng) 5 1911 年 英國人盧瑟福（Rutherford） 進(jìn)行 粒子散射實驗， 提出原子的有核模型6 1913 年 丹麥人玻爾（Bohr） 提出玻爾理論， 解釋氫原子光譜7 5. 1 微觀粒子運動的特殊性 5. 1. 1 波粒二象性 1924 年，法國年輕的物理學(xué)家 德 布羅意（de Broglie） 指出：8 對于光的本質(zhì)的研究，人們長期以來注重其波動性而忽略其粒子性； 與其相反，對于實物粒子的研究中，人們過分重視其粒子性而忽略了其波動性。9 德 布羅意從

3、愛因斯坦的質(zhì)能聯(lián)系公式 E = mc2和光子的能量公式 E = h 的聯(lián)立出發(fā)，進(jìn)行推理：10 因為 mc2 = h 所以所以11 用 p 表示動量，則 p = mc，故有公式12 式子的左側(cè)動量 p 是表示粒子性的物理量，而右側(cè)波長 是表示波動性的物理量。 二者通過公式聯(lián)系起來。 13 德 布羅意認(rèn)為具有動量 p 的微觀粒子，其物質(zhì)波的波長為 ，14 1927 年，德 布羅意的預(yù)言被電子衍射實驗所證實，這種物質(zhì)波稱為德 布羅意波。 15感光屏幕薄晶體片電子槍衍射環(huán)紋電子束16 用電子槍發(fā)射高速電子通過薄晶體片射擊感光熒屏，得到明暗相間的環(huán)紋，類似于光波的衍射環(huán)紋。感光屏幕薄晶體片衍射環(huán)紋電子

4、槍電子束17 研究微觀粒子的運動，不能忽略其波動性。 微觀粒子具有波粒二象性。18 5. 1. 2 不確定原理 用牛頓力學(xué)研究質(zhì)點運動時，由 F = m a 可以求出加速度 a。 由公式可以同時測得某一時刻 t 時，質(zhì)點的位置，速度和動量。 19p = m20 1927 年，德國人海森堡（Heisenberg）提出了不確定原理。 該原理指出對于具有波粒二象性的微觀粒子，不能同時測準(zhǔn)其位置和動量。 21 用 x 表示位置的不確定范圍， p 表示動量的不確定范圍，有 用 表示速度的不確定范圍，用 m 表示微觀粒子的質(zhì)量，則有 22 式中，h 為普朗克常數(shù)， 這兩個式子表示了海森堡不確定原理。 h

5、6.626 1034 Js 和23 例 5. 1 核外運動的電子，其質(zhì)量 m = 9.11 1031 kg，位置的不確定范圍 x = 1012 m。求速度的不確定范圍 。24 解：由，得所以25 原子半徑一般以 為單位，即其數(shù)量級為 1010 米。 這種精確程度并不能令人滿意。 因此，表示原子內(nèi)部的電子的位置，粗略地看應(yīng)該有 x = 1012 米。26 速度的不確定范圍 已經(jīng)達(dá)到了光速的量級，根本無法接受。 何況這還是在 x 并不令人滿意的基礎(chǔ)上計算出來的。27 例 5. 1 說明了的確不能同時測準(zhǔn)微觀粒子的位置和動量。 因為所以28 問題的關(guān)鍵就在于電子的質(zhì)量非常小，m = 9.111031

6、 kg 的數(shù)量級約為 104 m2s1， 這在微觀世界是很大的數(shù)字。 h 6.626 1034 Js 29 對于質(zhì)量較大的宏觀物體，不確定原理沒有實際意義。 例如 子彈， m = 10 g， 的數(shù)量級為 1032 m2s1 h 6.626 1034 Js 30 可見，位置和動量的準(zhǔn)確程度都將令人十分滿意。 x / m 106 109 1012 / ms1 1026 1023 1020 看其 x 和 的大小31 5. 1. 3 微觀粒子運動的統(tǒng)計規(guī)律 從電子槍中射出的電子，打擊到屏上，無法預(yù)測其擊中的位置，而是忽上忽下，忽左忽右，似乎毫無規(guī)律。 這時體現(xiàn)出的只是它的粒子性，體現(xiàn)不出它的波動性。

7、32 時間長了，從電子槍中射出的電子多了，屏幕上顯出明暗相間的環(huán)紋，這是大量的單個電子的粒子性的統(tǒng)計結(jié)果。33 這種環(huán)紋與光波衍射的環(huán)紋一樣，它體現(xiàn)了電子的波動性。 所以說波動性是粒子性的統(tǒng)計結(jié)果。34 這種統(tǒng)計的結(jié)果表明，雖然不能同時測準(zhǔn)單個電子的位置和速度，但是電子在哪個區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的機(jī)會多，在哪個區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的機(jī)會少，卻是有一定的規(guī)律的。35 從電子衍射的明暗相間的環(huán)紋看，明紋就是電子出現(xiàn)機(jī)會多的區(qū)域，而暗紋就是電子出現(xiàn)機(jī)會少的區(qū)域。 所以說電子的運動可以用統(tǒng)計性的規(guī)律去研究。36 對微觀粒子運動的特殊性的研究表明，具有波粒二象性的微觀粒子的運動，遵循不確定原理，不能用牛頓力學(xué)去研究，而應(yīng)該

8、去研究微觀粒子（電子）運動的統(tǒng)計性規(guī)律。37 要研究電子出現(xiàn)的空間區(qū)域，則要去尋找一個函數(shù)，用該函數(shù)的圖象與這個空間區(qū)域建立聯(lián)系。 這種函數(shù)就是微觀粒子運動的波函數(shù)。38 5. 2 核外電子運動狀態(tài)的描述 波函數(shù) 的幾何圖象可以用來表示微觀粒子活動的區(qū)域。39 1926 年，奧地利物理學(xué)家薛定諤 （Schdinger）提出一個方程，被命名為薛定諤方程。 波函數(shù) 就是通過解薛定諤方程得到的。40 5. 2. 1 薛定諤方程 這是一個二階偏微分方程（1）41 式中 波函數(shù)， E 能量 V 勢能， m 微粒的質(zhì)量 圓周率 ， h 普朗克常數(shù) 42偏微分符號 二階偏微分符號43 解二階偏微分方程將會得

9、到一個什么結(jié)果？ 解代數(shù)方程，其解是一個數(shù)： x + 3 = 5 解得 x = 244 確切說應(yīng)為一組函數(shù) f ( x ) = x2 + C C 為常數(shù)。 解常微分方程，結(jié)果是一組單變量函數(shù)； 解常微分方程 f ( x ) = 2 x 則 f ( x ) = x2 45 偏微分方程的解則是一組多變量函數(shù)。如 F ( x，y，z ) 等 波函數(shù) 就是一系列多變量函數(shù)，經(jīng)常是三個變量的函數(shù)。46 我們解薛定諤方程去求電子運動的波函數(shù)，什么是已知？47 已知條件是電子質(zhì)量 m 和處于核外的電子的勢能 V 。 在解得波函數(shù) 的同時，將得到電子的能量 E。48 薛定諤方程中，波函數(shù) 對自變量 x，y，z

10、 偏微分，故解得的波函數(shù) 將是關(guān)于 x，y，z 的多變量函數(shù)。49 波函數(shù) 的圖象將和三維直角坐標(biāo)系中的某些區(qū)域相關(guān)聯(lián)。50 將核外電子的勢能 代入薛定諤方程。51 e 是元電荷（電子的電量）， Z 是原子序數(shù)， r 是電子與核的距離，r = 核外電子的勢能52 代入后在方程的勢能項中出現(xiàn) r，即同時出現(xiàn)三個變量 x，y，z 。 且是在分母中以根式形式出現(xiàn) 這將給解方程帶來極大的困難。53 中學(xué)階段在解二元二次方程組時，若不缺二次項 xy，則極難處理，這里的情況與此有些相似。 54 我們采取坐標(biāo)變換的方法來解決（或者說簡化）這一問題。 將直角坐標(biāo)三變量 x，y，z 變換成球坐標(biāo)三變量 r， 。

11、 將三維直角坐標(biāo)系變換成球坐標(biāo)系。55yzxOPPrP 為空間一點 r OP 的長度 （ 0 ）56 OP 與 z 軸的夾角 （ 0 ）yzxOPPr57 OP與 x 軸的夾角 （0 2）OP為 OP 在 xoy 平面內(nèi)的投影yzxOPPr58yzxOPPr 根據(jù) r， 的定義，有 x = r sin cos59yzxOPPr y = r sin sin60yzxOPPr z = r cos61 x = r sin cos y = r sin sin z = r cos r2 = x2 + y2 + z2 將以上關(guān)系代入薛定諤方程（1）中，（1）62 式（2）即為薛定諤方程在球坐標(biāo)下的形式。

12、經(jīng)過整理， 得到：63 經(jīng)過坐標(biāo)變換，三個變量 r， 不再同時出現(xiàn)在勢能項中。64 如果我們把坐標(biāo)變換作為解薛定諤方程的第一步，那么變量分離則是第二步。 解薛定諤方程（2）得到的波函數(shù)應(yīng)是 （ r， ）。 65 變量分離就是把三個變量的偏微分方程，分解成三個常微分方程，三者各有一個變量，分別是 r， 。66 分別解這三個常微分方程，得到關(guān)于 r， 的三個單變量函數(shù) R（r） ，（ ）和 （ ） 而 則可以表示為 （r， ）= R（r）（）（ ） 67 其中 R （r）只和 r 有關(guān)，即只和電子與核間的距離有關(guān)，為波函數(shù)的徑向部分； （ ） 只和變量 有關(guān)， （ ） 只和變量 有關(guān)。68 令 Y

13、（， ）= （ ）（ ） Y（， ）只和 ， 有關(guān)，稱為波函數(shù)的角度部分。 故波函數(shù) 有如下表示式 （ r， ） = R（r） Y（，） 69 在解常微分方程求 （ ）時，要引入一個參數(shù) m，且只有當(dāng) m 的值滿足某些要求時， （ ）才是合理的解。 70 在解常微分方程求 （ ）時，要引入一個參數(shù) l， 且只有當(dāng) l 的值滿足某些要求時，（ ）才是合理的解。 71 在解常微分方程求 R ( r ) 時，要引入一個參數(shù) n，且只有當(dāng) n 的值滿足某些要求時，R ( r ) 才是合理的解。 72 最終得到的波函數(shù)是一系列三變量、三參數(shù)的函數(shù) 73 波函數(shù) 最簡單的幾個例子74 由薛定諤方程解出來的描述電子運動狀態(tài)的波函數(shù)，在量子力學(xué)上叫做原子軌道。 有時波函數(shù)要經(jīng)過線性組合，才能得到有實際意義的原子軌道。75 原子軌道可以表示核外電子的運動狀態(tài)。 它與經(jīng)典的軌道意義不同，是一種軌道函數(shù)，有時稱軌函。76 解