項(xiàng)分布與其應(yīng)用講義

1、 要點(diǎn)梳理1.條件概率及其性質(zhì) (1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條 件下,事件B發(fā)生的概率叫做_,用符號(hào) _來表示,其公式為P(B|A)= . 在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè) 數(shù),則 12.5 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用條件概率P(B|A)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) (2)條件概率具有的性質(zhì)： _； 如果B和C是兩互斥事件,則 P(BC|A)=_.2.相互獨(dú)立事件 (1)對(duì)于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響, 則稱_. (2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=_, P(AB)=_=_. (3)若A與B相互獨(dú)立,則_,_,_也都 相互獨(dú)立. (4)若P(AB)=P(A)

2、P(B),則_. 0P(B|A)1P(B|A)+P(C|A)A、B是相互獨(dú)立事件P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B)A與B相互獨(dú)立3.二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的, 各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次 試驗(yàn)只有_種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何 一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生k次的概率為 _(p為事件A發(fā)生的概 率),事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量X,其分布列為 _,記為_. 二項(xiàng)分布XB(n,p)兩基礎(chǔ)自測(cè)1.小王通過英語聽力測(cè)試的概率是 他連續(xù)測(cè)試 3 次,那么其中恰有1次獲得通過的概率是 ( )

3、 A. B. C. D. 解析 所求概率A2.一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊,已知至少 命中一次的概率為 則此射手的命中率為 ( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)此射手射擊目標(biāo)命中的概率為P,B3.設(shè)隨機(jī)變量 則P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 解析A4.一個(gè)電路如圖所示,A、B、C、D、 E、F為6個(gè)開關(guān),其閉合的概率都是 且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)A與B中至少有一個(gè)不閉合的事件為T, E與F至少有一個(gè)不閉合的事件為R, 則 所以燈亮的概率 B5.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格,從中任意取2件，試求 在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一

4、件是不合格品,另一件也 是不合格品的概率是 ( ) 解析 記事件A為“有一件是不合格品”,事件B為 “另一件也是不合格品”,A 題型一 條件概率【例1】1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè) 白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2 號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球,問 (1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下,從2號(hào)箱取出 紅球的概率是多少？ (2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？題型分類 深度剖析 從2號(hào)箱取出紅球,有兩種互斥的情況:一是當(dāng)從1號(hào)箱取出紅球時(shí),二是當(dāng)從1號(hào)箱取出白球時(shí). 解 記事件A：最后從2號(hào)箱中取出的是紅球；事件B：從1號(hào)箱中取出的是紅球.思維啟迪 求復(fù)雜事件的概

5、率,可以把它分解為若干 個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡(jiǎn)單事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最終結(jié)果. 探究提高知能遷移1 拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán) 色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”,事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù) 之和大于8”. (1)求P(A),P(B),P(AB)； (2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子兩點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí),問兩顆骰子的 點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為多少？ 解 (1)設(shè)x為擲紅骰子得到的點(diǎn) 數(shù),y為擲藍(lán)骰子得到的點(diǎn)數(shù),則 所有可能的事件與(x,y)建立對(duì) 應(yīng),由題意作圖,如右圖所示： (2)方法一 方法二 題型二 事件的相互獨(dú)立性 【例2】 (2008天津)甲、乙兩個(gè)籃球

6、運(yùn)動(dòng)員互不影 響地在同一位置投球,命中率分別為 與p,且乙投球 2次均未命中的概率為 (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率； (3)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中2次的概 率. 甲、乙兩人投球是相互獨(dú)立的；同一人 的兩次投球也是相互獨(dú)立的.用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的 概率求解. 思維啟迪解 (1)方法一 設(shè)“甲投球一次命中”為事件A, “乙投球一次命中”為事件B,由題意得(1-P(B)2=(1-p)2= 解得 (舍去),所以乙投球的命中率為 方法二 設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命中”為事件B,由題意得 所以乙投球的命中率為(2)方法一 由題設(shè)和(1)

7、知, 故甲投球2次至少命中1次的概率為方法二 由題設(shè)和(1)知, 故甲投球2次至少命中1次的概率為(3)由題設(shè)和(1)知,甲、乙兩人各投球2次,共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次,乙2次均不中；甲2次均不中,乙中2次.概率分別為所以甲、乙兩人各投球2次,共命中2次的概率為探究提高 (1)相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)試驗(yàn)中,兩事 件發(fā)生的概率互不影響；相互對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中,兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生；(2)求用“至少”表述的事件的概率時(shí),先求其對(duì)立事件的概率往往比較簡(jiǎn)單. 知能遷移2 設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)， 他們擊中目標(biāo)的概率分別為、0.9,求： (1)兩人都擊中目標(biāo)的概率

8、； (2)兩人中恰有1人擊中目標(biāo)的概率； (3)在一次射擊中,目標(biāo)被擊中的概率； (4)兩人中,至多有1人擊中目標(biāo)的概率. 解 設(shè)事件A=甲射擊一次,擊中目標(biāo), 事件B=乙射擊一次,擊中目標(biāo),A與B相互獨(dú)立. 則P(A)=0.8,P(B)=0.9, (1)兩人都擊中目標(biāo)的事件為AB, P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72, 即兩人都擊中目標(biāo)的概率為0.72.(2)設(shè)事件C=兩人中恰有1人擊中目標(biāo),=P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)=0.80.1+0.90.2=0.26,即兩人中恰有1人擊中目標(biāo)的概率為0.26. (3)設(shè)D=目標(biāo)被擊中=兩人中至少有1人擊中目標(biāo),本問有

9、三種解題思路：方法一 =P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)+P(A)P(B)=0.80.1+0.90.2+0.80.9=0.98,即目標(biāo)被擊中的概率是0.98. 方法二 利用求對(duì)立事件概率的方法.兩人中至少有1人擊中的對(duì)立事件為兩人都未擊中,所以兩人中至少有1人擊中的概率為即目標(biāo)被擊中的概率是0.98.方法三 D=A+B,且A與B獨(dú)立,P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.80.9=0.98.故目標(biāo)被擊中的概率是0.98. (4)設(shè)E=至多有1人擊中目標(biāo),=0.80.1+0.90.2+0.10.2=0.28.故至多有1人擊中目標(biāo)的概率為0.28.

10、題型三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 【例3】 (12分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué),從他家到學(xué) 校的途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅 燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是 (1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分 布列； (2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù),求Y 的分布列； (3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率. 思維啟迪 因?yàn)樵诟鱾€(gè)交通崗遇到紅燈的事件相互 獨(dú)立,且概率均為 因此該題可歸結(jié)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題. 解 (1)將通過每個(gè)交通崗看做一次試驗(yàn),則遇到紅燈的概率為 且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的,故 2分所以X的分布列為 4分(2)由于Y表示這名學(xué)生在

11、首次停車時(shí)經(jīng)過的路口數(shù), 顯然Y是隨機(jī)變量,其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個(gè)路口沒有遇上紅燈,但在第k+1個(gè)路口遇上紅燈,故各概率應(yīng)按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算. 6分而Y=6表示一路沒有遇上紅燈,故其概率為因此Y的分布列為： 8分 Y0123PY456P(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為 X1=X=1或X=2或或X=6, 10分所以其概率為 12分探究提高 要正確理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與獨(dú)立事件間 的關(guān)系,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在同樣條件下可重復(fù)進(jìn)行的、各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生),并且在任

12、何一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率均相等.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例(概率公式也是如此),就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣,只是有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單,就像有“至少”或“至多”字樣的題用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣. 知能遷移3 (2008山東高考改編)甲、乙兩隊(duì)參加 奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)者 為本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì) 的概率均為 乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為 且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用 表示甲 隊(duì)的總得分. (1)求隨機(jī)變量 的分布列； (2)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一 事件,用B表示“

13、甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一 事件,求P(AB). 解 (1)由題意知, 的可能取值為0,1,2,3,且所以 的分布列為0123P(2)方法一 用C表示“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”這一 事件,用D表示“甲隊(duì)得3分乙隊(duì)得0分”這一事件,所以AB=CD,且C、D互斥,由互斥事件的概率公式得方法二 用Ak表示“甲隊(duì)得k分”這一事件,用Bk表 示“乙隊(duì)得k分”這一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1為互斥事件,故有P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).由題設(shè)可知,事件A3與B0獨(dú)立,事件A2與B1獨(dú)立,因此P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3

14、)P(B0)+P(A2)P(B1) 1.古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式 為 其中,在實(shí)際應(yīng)用中 是一種重要的求條件概率的方法.2.運(yùn)用公式P(AB)=P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立 的條件,只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí),公式才成立.3.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 其中p是一次方法與技巧思想方法 感悟提高 試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率.實(shí)際上， 正好是二項(xiàng)式(1-p)+pn的展開式中的第k+1項(xiàng).1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即某事 件要么發(fā)生,要么不發(fā)生,并且任何一次試驗(yàn)中某事 件發(fā)生的概率相等.注意恰好與至多(少)的關(guān)系,靈 活運(yùn)用對(duì)立事件.

15、2.二項(xiàng)分布要注意確定成功概率. 失誤與防范 一、選擇題1.甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概 率為0.6,乙被錄取的概率為0.7,兩人是否被錄取互 不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為( ) 解析 由題意知,甲、乙都不被錄取的概率為 (1-0.6)(1-0.7)=0.12. 至少有一人被錄取的概率為1-0.12=0.88. D定時(shí)檢測(cè)2.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率相同.若事 件A至少發(fā)生一次的概率為 則事件A在一次試驗(yàn) 中出現(xiàn)的概率為 ( ) A. B. C. D.以上都不對(duì) 解析 設(shè)一次試驗(yàn)出現(xiàn)的概率為p， A3.如圖所示,在兩個(gè)圓盤中，指針 落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的

16、機(jī)會(huì)均等,那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 由獨(dú)立事件發(fā)生的概率得A4.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，經(jīng)過3次射 擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 兩次擊中的概率 三次擊中的概率 至少兩次擊中目標(biāo)的概率A5.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn) 每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥?且向上、向右移動(dòng)的概率都是 質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后 位于點(diǎn)(2,3)的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過程中向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)3 次,因此質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率為B6.袋中有紅

17、、黃、綠色球各一個(gè),每次任取一個(gè)，有 放回地抽取三次,球的顏色全相同的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 三次均為紅球的概率為 三次均為黃、綠球的概率也為 抽取3次顏色相同的概率為B二、填空題7.(2008湖北文,14)明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿 者活動(dòng),為了準(zhǔn)時(shí)起床,他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自 己.假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80,乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響 的概率是0.90,則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率 是_. 解析 設(shè)A=“兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響”. P(A)=1- =1-(1-0.80)(1-0.90) =1-0.20.1=0.98. 8.高二某班共有60名學(xué)生,其中女生有20名，三好

18、學(xué) 生占 而且三好學(xué)生中女生占一半.現(xiàn)在從該班同 學(xué)中任選一名參加某一座談會(huì) .則在已知沒有選上 女生的條件下,選上的是三好學(xué)生的概率為_. 解析 設(shè)事件A表示“任選一名同學(xué)是男生”；事 件B為“任取一名同學(xué)為三好學(xué)生”,則所求概率為 P(B|A).9.有一批書共100本，其中文科書40本,理科書60本, 按裝潢可分精裝、平裝兩種,精裝書70本,某人從這 100本書中任取一書，恰是文科書,放回后再任取1 本,恰是精裝書,這一事件的概率是_. 解析 設(shè)“任取一書是文科書”的事件為A,“任取 一書是精裝書”的事件為B,則A、B是相互獨(dú)立的事 件,所求概率為P(AB).三、解答題10.(2008重慶文,18)在每道單項(xiàng)選擇題給出的4個(gè) 備選答案中,只有一個(gè)是正確的.若對(duì)4道選擇題中的 每一道都任意選定一個(gè)答案,求這4道題中： (1)恰有兩道題答對(duì)的概率； (2)至少答對(duì)一道題的概率. 解 視“選擇每道題的答案”為一次試驗(yàn),則這是4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事 件發(fā)生的概率為由