6.4.3 正余弦定理的實際運用（精講）（解析版）

1、正余弦定理的實際運用(精講)思維導圖解三角形 與三角函 數(shù)綜合問 題平面圖 形應用后仆 Lf正詢?nèi)f屆留底 威福i美五 商而初五： -：角關系合理地將向堰轉(zhuǎn)化為三角的數(shù)的問題：,0、用定理、公L二后而正彝定理、不反運理、二番角公工、輔防： 式、性質(zhì)用公式等進行三角形中邊角關系的互化一- 廠利雨三%窗面X 5而:云燈舷內(nèi)福麗 得結(jié)論 ：知識求函數(shù)解析式、角、三角函數(shù)值，或討論：I.三角臉數(shù)的趨本性質(zhì)等；(1)把所提供的平面圖形拆分成假設干個三角形，然后在各個三角形 內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果視線仰角 俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水

2、平線 上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角正余弦定理的應用方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向 線的水平角，如B點的方位角為a實際應用方向角相對于某一正方向的水平角北偏東Q,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向理解18意，分清與未知，畫出示意圖媼石用* n 金G加$芯。藐 wi ：中在有關的三角形中，建片 個解三角形的數(shù)學模型利用正弦定理和余弦定時行序地解三角形，求得數(shù)學：模型的解,%口冰正裝 讓而應也至口彳金赤金天反而亂而一;實際向1K的解AB AD sin ZADB sin B3匹那么正凝鏟二得=3故答案為：逑； sin B V322. （20

3、20 成都市第十八中學校高一期中）在A48C中，點。在邊A3上，NACO = , AD = 4DB =，6（1）假設C = 4,求ACjrtt（2）假設8 =生,求sin（2A +上）的值36【答案】（1） 8： （2）O【解析】（1）在ZMCO中，由余弦定理得，（46）2=AC2+422x4-AC-cos,即AC2-4AC-32 = 0,解得，AC = 8（負值舍去）.V 5 = -, ZACD = - , ：. ZBCD = -A, 333DC _ 4x/3在AOC中，由正弦定理得sin 4=.兀， Z）C = 8sinA,S1D 一3DC 6 一二 3在8CO中，由正弦定理得.兀一.（兀

4、八，9 . fn 八,sin- sin -A2sin -?13 U ）13 J即立sin Acos/!-sin2 A =, 2216Asin 2A +-cos 2 A1 _ 3 4 16sin2A + -cos2A = -228/. sin 2A + I 63. (2020 株洲市九方中學高一月考)如圖，在圓內(nèi)接A48C中，內(nèi)角兒8,。所對的邊分別為a, b, c, 滿足 rz cos C+ccos A = 2b cos B.(1)求 B；(2)假設點是劣弧上一點，A片2,叱3,力介1,求四邊形力靦的面積【答案】(1) B = g (2) 2G. J【解析】(1)由正弦定理得 sin Acos

5、C+sinCcosA = 2sinBcos8,得 sin 8 = 2sin Bcos B因為0/3 3那么 AE= AB= , CF=BC=-,2222，四邊形4完的面積5=第儂+5片!-8= X3X （巫 + 3&-3）= 26-9 .22224考法四正余弦定理在實際生活中的運用【例4】（1） （2020 江蘇高一課時練習）如圖，設A、5兩點在水庫的兩岸，測量者在A的同側(cè)的庫邊選定一點C ,測出AC的距離為100m, ZACB = 75， ZCAB = 60。，就可以計算出C、B兩點的距離為（）505/6 m5073 mI). 50(V3 + l)m（2） （2020 安徽亳州市渦陽四中高一

6、月考（理）如圖，無人機在離地面高200nl的A處，觀測到山頂用處的仰角為15、山腳。處的俯角為45 ,NMCN = 60,那么山的高度MN為（）A. 150 x/3/wB. 200百，C. 300Gm D. 300m【答案】A (2) D【解析】(1) ABC中，ZACB = 75, ZC4B = 60, ZB = 180-(ZACB+ZC4B)= 45.乂ABC中，AC = 100m,由正弦定理可得:由正弦定理可得:AC CB sin B sin NCAB那么CB =ACsinZCABsin 8100 x3=l 2 = 505/6 m.應選:A.(2) ADHBC、：, ZACB = ZDA

7、C = 45，, AC = 6AB = 2()() X ZMCA = 180 - 60 - 45 = 75, NM4C = 150 + 450 = 60。，A Z4MC = 45%在AMC中,MC ACsin/MAC - sin/AMC“ 二 221 = 200鬲, MN = MCsinNMCN = 200sin60 = 300,n.應選：I）.【一隅三反】（2020 江蘇高一課時練習）某快遞公司在我市的三個門店月，B,。分別位于一個三角形的三個頂點處， 其中門店4, 6與門店C都相距akm,而門店力位于門店C的北偏東50方向上，門店5位于門店C的北偏 西70方向上，那么門店4 4間的距離為（

8、）A. akmB. &4kmC. JiakmD. 2akm【答案】C【解析】由題意知力仁而三心如ZACB=50 +70 =120 , 由余弦定理得，AB2 = AC2 + BC2 - 2AC - BCcos ZACB=a2 + a2 2a2 x （） = 3a2,所以 A8 = JJa，即門店4 8間的距離為技km.應選：C.（2020 北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理條例實施，根據(jù)該條 例：小區(qū)內(nèi)需設置可回收物圾桶和有害垃圾桶.李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發(fā)，向正北 方向走了 80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東60方向走了 30米，到達可回收物垃圾

9、桶，那么他回到自 家樓下至少還需走（ ）A. 50 米B. 57 米C. 64 米D. 70 米【答案】D【解析】由題意，設李華家為A，有害垃圾點為4,可I可收垃圾點為C,那么李華的行走路線，如下圖， 在3c中，因為 A3 = 80,8C = 30,3 = 60 ,由余弦定理可得:AC = yjAB2 + BC2-2AB BCcos60 = 802 + 302 - 2 x 80 x 30 x1 =70即李華回到自家樓下至少還需走70米.應選：（2020 浙江杭州市高一期末）如圖，地面四個5G中繼站力、B、C、D,CO = （ + &）km , TOC o 1-5 h z ZADB = ZCDB

10、 = 30, /KX = 45。，ZACB = 60,那么力、6兩個中繼站的距離是（）A. 4GkmB. 2/rdkm C. ViokmD. 6/2km【答案】C【解析】由題意可得NZMC = 75。，Z）BC = 45,在ADC中，由正弦定理得ac = C也幺曳二任;= 2百， sin ZDACsin 75CD sin NBDC+在BDC中，由正弦定理得8C = =7=- = V3 + 1 ,sin Z.DBC90。，根據(jù)余弦定理可得：AC1+ BC-AB2 0，即(u + 10 + y2-3+20)20,解得一 10uv30,又要滿足三角形三邊關系，即可得：AB-BC10.故P的取值范圍是

11、(10,30).故答案為：(10,30)考法一正余弦定理的綜合運用【例1-1(2020 內(nèi)蒙古赤峰市)在A3C的中，角A，B,。的對邊分別為a, b, c,且 a sin A+Z?(sin A+sin B)-csin C = O (1)求角C；(2)假設c = 2,求+力的取值范圍.【答案】(1) C = ； (2)3【解析】(1)由asin A + Z?(sin A + sinB) csinC = O,及正弦定理得標+治+從一=0 ,2ab2ab2ab 2由余弦定理得cosC =( 一 =:2二L 又0C2 = c,所以2a + W迪，3所以Q+力的取值范圍為所以Q+力的取值范圍為119【例

12、1-2.(2020 全國高一)在c = 7, cosA二一一，cosA =-，cosB二一.這兩個條件中任選一 7816個,補充在下面問題中:在AABC中，它的內(nèi)角A，3 , C的對邊分別為。，c ,。+匕=11,.求,b的值.【答案】答案見解析.【解析】選擇條件 c = 7, cosA = - , a+b = 1,7v a2 =b2 +c2 -2hccosA a2 =(1 l-a)2 +72 - 2(11q = 8, h = 3 TOC o 1-5 h z 9i 3 R選擇條件: cos A = ； , cos B = , A，zg(O,), sin A = vl-cos2 4 =,8168

13、廠a _-asin B = Jl -cos? B = 由正弦定理得:=3775 不，,。=6, b = 5.16sin A sin 3o lo【一隅三反】（2020 江蘇南京市南京師大附中高一期末）在AABC中，設角A及c的對邊分別為出Ac,cos2 A = sin2 3 +cos? C + sin Asin B.(i)求角C的大小；(2)假設。=G，求AA3C周長的取值范圍.【答案】(1) ?： (2)僅6,2 +間【解析】(1)由題意知1一5訪24 = 11124+1皿2。+ 510/45抽8,即 sin2/ + sin2B-sin2C = -sia4sin，由正弦定理.得a? +h2 -

14、c2 =-ab由余弦定理得cos。=/+一 =2ablab 2乂 0 C v 肛C =. 3Cl = b = - = = 2,a = 2sin4, = 2sin8 sinA sinB sinC Q.網(wǎng)3那么AA AC的周長L = a + Z? + c = 2(sirbA + sin8)+ G = 2L = a + Z? + c = 2(sirbA + sin8)+ G = 2sirtA + sinA +(3)71g = 2sin(A +。+G.sin| A + 1,I 3j八 ，萬冗，萬2萬/30 A 一,二. 一 A H ,3333225/3 /3 W 2 + /3 ,.AA8C周長的取值范

15、圍是（26,2 +百（2020 吉林白城市白城一中高一期末（文）aABC的內(nèi)角A，B, C的對邊分別為。，b , c （2c - a）cos B - bcos 4 = 0.（1）求角B的大?。唬?）假設4 + c = l,求力的取值范圍.【答案】（1）y; （2） b.【解析】（1）,/ （2c-a）cos B -bcosA = 0,由正弦定理可得：2sinCcos4-sin Acos4-sin3cosA = 0,可得 2sin Ceos B = sin(A + B) = sin C ,C為三角形內(nèi)角，sinCwO,可得cosB=!, 2) ： B = , a + c = 1 ,由余弦定理可得

16、 =/+c?-ac = 3 + cf-3ac.(a + c)2-3x(!)2 =, 324b. , ba + c = *,*一 Z? sin 4cosC = (2sin B-sinC)cosA,=sin(A + C) = 2sin Bcos A ,=sin 8 = 2sin 8cos A,A1= cos A =,271A = 3cos /I =- 2cos /I =- 2b2+c2-921jc-9lbc一 2bc0be9 ,S = be sin A/3 sin xcos x+sin2 x - cos2 x（1）求函數(shù)/（x）取最大值時x的取值集合；（2）設第用A5C的角4，B,。所對的邊分別為

17、。，b, c, /（C） = l, c = 6 求A5C的面積S的最大值.【答案】（1）=+（2） 6 + 班34【解析】（1） / （x） = 2/3 sin xcos x + sin2 x - cos2 x = /3 sin 2x - cos 2x = 2 sin 2x- -k 6令2x三=兼兀+三、keZ、即x =丘+工（攵 Z）時，/（%）取最大值；623所以，此時工的取值集合是工工二攵+ 3，攵2 ,；(2)由 C)= 1,得sin(2C-7)= g,因為0C工，所以一二v2C 二/3sin卜 + 斗 cosx = 63inx + 4sxI 3j 22-cosxsinx4cosx22

18、二singI 6 J又 X0,；r|,所以 X +71 7466所以當x+f=?即1=不時，/(工)取得最小值, 66所以“ L= j(2)因為f(8)= sin8 + / = l, Bg(O,),71 所以3=, 334巴=58又894二三，所以sinA = w，所以由正弦定理有q& ,所以。=8.52(2020 甘肅省民樂縣第一中學高三期中(理)函數(shù)/(x) = 26sinxcosx-3sin? x-cos? x + 2.(1)當(),y時，求/(幻的值域；(2)假設AABC的內(nèi)角A，B, C的對邊分別為，c且滿足空空9 =2 + 2cos(A + C), asin A求/(的值.【答案】

19、1.【解析】(1) / (x) = 25/3sinAC0sir -3sin2x-cos2x+2 = V3sin2x-2sin2x +1=Gsin 2x + cos2x = 2sin I2x+ 八兀xe 0, 27T 7不Isin 2x + / e -,1 , A/(x)g-1,2.6 J2 (2) 由題意可得sinA+(A+C) = 2sinA+2sinAcos(A+C)W sinAcos(A + C)+cosAsin(A+ C) = 2sinA + 2sinAcos(A + C),a2 +4a2 -3a2 _ 1la 2a 2a2 +4a2 -3a2 _ 1la 2a 2化簡可得：sinC = 2sioA，由正弦定理可得：c = 2a, b = 3a，余弦定理可得：cosB=a +(, h 2ac08l-l,那么/(x)的最小值是一2，最小正周期 (2) /(C) = sin 2C- -1=0,那么sin 2C-工=1,0 v C v %， 0 2c 27r, 2C /l -sin2 C