向量法求空間角、距離和二面角

1、- -向量法求空間角、距離和二面角向量的數量積和坐標運算a,b是兩個非零向量，它們的夾角為0，則數IaI-1bI-cos9叫做a與b的其幾何意義是a的長度bbMM*1數量積（或內積），記作a-b，即a-b=IaI-1bI-cos0.i與b在a的方向上的投影的乘積.其坐標運算是:若a=q,yi,=q,打，叮，則ab=xx+yy+zz；121212fiIaI=x2+y2+z2,IbI=x2+y2+z2；V111222a-b=xx+yy+zz121212cos=xx+yy+zz1212IIx2+y2+z2x2+y2+z2111V222題第（2）問）1.3.異面直線m、n的距離分別在直線m、上取定向量

2、a,b,求與向量a、b都垂直的向量n，分別在m、上各取一個定點A、B，則異面直線m、的距離d等于AB在n上的射影長，即d=空上!.InI證明：設CD為公垂線段，取CA=a,DB=b（如圖1所示），貝VCD=CA+AB+BDR-FF-CD-n=(CA+AB+BD)-nF-亠.CD-n1=1AB-nI.d=ICDI=,*IAB-nIInI設直線m,n所成的角為0,顯然cos0Ia-bIIa丨丨bI1.4.直線L與平面a所成的角fc1在L上取定AB，求平面a的法向量n（如圖2所示）,再求cos0=IABnIIABIInI，則卩=t-0為所求的角.21.5二面角量n、/（都取向上的方向，如圖3所示），

3、則12方法一:構造二面角a-1-卩的兩個半平面a、卩的法向若二面角a-1-卩是“鈍角型”的如圖3甲所示，那圖3甲nn么其大小等于兩法向量n、n的夾角的補角，即cos0=-2.（例12InIInI12如2004年高考數學廣東卷第18題第（1）問）.若二面角a-1-卩是“銳角型”的如圖3乙所示,!那么其大小等于兩法向量n、n的夾角，即12cos0=2.（例如2004年高考數學廣東卷第InIInI1218題第（1）問）.方法二：在二面角的棱1上確定兩個點A、B，過A、B分別在平面a、卩內圖4求出與1垂直的向量n、n（如圖4所示），則二面角12,F丄a-1-卩的大小等于向量n、n的夾角，即12n-nc

4、os0=12.InI-1nI121.6.平面外一點p到平面a的距離fc-p到平面a的距離d等于AP在n上的射影長，即先求出平面a的法向量n，在平面內任取一定點A，則點d=1APn1.(例如2004年廣州一模第18題第(II)問).InI17法向量基向量法由于空間中任何向量均可由不共面的三個基向量來線性表示，因此在解題時往往根據問題條件首先選擇適當的基向量，把有關線段根據向量的加法、數乘運算法則與基向量聯(lián)系起來.再通過向量的代數運算，達到計算或證明的目的.一般情況下，選擇共點且不共面的三個已知向量作為基向量.例1如圖6,已知正三棱柱ABC-ABC的棱長為2,底面邊長為1,111M是BC的中點.在

5、直線CC上求一點N，使MN丄AB；11當MN丄AB時，求點A到平面AMN的距離.11求出AB與側面ACCA所成的角.111分析1(1)的問題顯然是求使異面直線MN與AB1所成的角為直角的點N.依據向量數量積的概念，必須由條件MN丄ABnMN-AB=0，求出CN的長度，而MN與AB都不是已知向量,111且和CN沒有直接聯(lián)系，因此必須選擇一組基向量來表示MN與AB.1(1)解法一：取共點于B的三個不共面的已知向量BA、BC、BB為基向量,1由正三棱柱ABC-ABC及MN丄ABnMN-AB=0,11111AB=AB+BB,MN=MC+CN=1BC+CNii2n(AB+BB)-(2BC+CN)=0n2

6、AB-BC+AB-CN4叫BC+叫CN=0n111cosl20+1-1CNI-cos90+1-2cos90+2-1CNI-cos0o=022n-1+0+0+21CN1=0n41CN1=-8分析2本小題還可以取共點于A的三個不共面的已知向量aB,aC,AA為1基向量，從而得1）解法二：AB1=AB+BB=AB+AA11-MN=AN-AM=(AC+CN)(AB+AC)=(AC-AB)+CN.221_MN-AB=(AB+AA)-(AC-AB)+CN112TOC o 1-5 h zIrfb-，*=(AB+AA)-(AC-AB)+(AB+AA)-CN211=(AB-AC-AB2+AA-AC-AA-AB)

7、+AB-CN+AA-CN2iii=-2（1-1-cos60-12+2-1-cos90-21cos90）+1-a-cos90+2-a-cos0=1-1+0-0+2a42111MN-AB=0,一一1+0-0+2a=0,a=ICNl=.1488比較方法一與方法二,方法一比方法二運算簡便.因為用方法一選擇的一組基向量表示MN時式子較為簡單.這告訴我們可選擇的基向量并不唯一，我們應選擇使得運算簡便的那一組向量作為基向量.當幾何體中能夠找到（或構造出）三個共點且兩兩垂直的基向量時，我們就可以用下面的方法解決問題.2.2.坐標法所謂坐標法，就是建立適當的空間直角坐標系（本文所建立的都是右手直角坐標系），把向

8、量用坐標來表示，用向量的坐標形式進行向量的運算，以達到解決問題的目的.運用坐標法時，也必須首先找出三個基向量，并且這三個基向量兩兩垂直,由此建立空間直角坐標系.因而坐標法是基向量法的z特殊情形，但坐標法用于求長度、角度或解決垂直問題時，比較簡單.在坐標法下，例1幾何體中容易找到共點不共面且互相垂直的三個向量，于是有如下解法：（1）解法三：以AC.AA分別為y軸、z軸，垂直于1AC、A的AX為x軸建立空間直角坐標系1A-xyz，設ICN1=a，則有TOC o 1-5 h z31J33A(O,O,O)、B(,2)、M(1，,0)、N(O,1,a).12244于是3131MN=(-，,a),AB=(

9、,2),由AB丄MN得44122131心31MN-AB=0n(-，a)-(,2)=0 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1442231+2a=0881na=8由上面的解法三可知，通過建立空間直角坐標系，找出了相關點的坐標，從而把幾何圖形的性質代數化，通過向量的計算解決問題，顯得快捷簡便.在空間直角坐標系下，例1的第（2）、（3）問便迎刃而解了.下面給出解答.(2)解：當MN丄AB時，由(1)解法三知,31；331A(0,0,0)、B(,2)、M(,0)、N(0,l,石)、122448- -1- -hi13iih,33t(0,0,2)，則MN=(

10、一才二計AM=(亍彳0)，AAi=(0,0,2),設向量n=(x,y,z)與平面amn垂直，則有_、語11=0n丄MN一丁x+4y+8z=0-fn丄AMl0)向量AA在n上的射影長即為A到平面AMN的距離，設為d，于是l0l1AAn1I(0,0,2)-(、3-1,1)I2、；5d=IAAI-1cosI=IAAI-+0=1101IAAI-1nI10(3)根據上面“1.4.直線L與平面a所成的角”中所提到的方法，須求出平O+(1)2+125面ACCA的一個法向量n，進而求AB與n所在直線的夾角。111設平面ACCA的一個法向量為n，則有11n丄n丄2z=0|fy=z=0,n=(x,0,0)=x(1

11、,0,0)(x0);取n=(1,0,0)，則y=0I一IABnIIcosI=10=10IABI-1nI10.nnx=-y=z HYPERLINK l bookmark40 o Current Document n丄EC1J-3x+y+2z=0J211zn=(三z,-z,z)=-(1,-1,2),其中z0222取n=(1,-1,2)，則n是一個與平面CDE垂直的向量,001向量DD=(0,0,2)與平面CDE垂直,1no與DDi所成的角e為二面角C-de的平面角/COS0=字,tane=尋n-DD1x0+(-1)x0+2x2=01=:InIIDDI12+(-1)2+22X；02+02+22(I)

12、解法二：令M點在DE上，且CM丄DE,可設M點的坐標為M(3九,3九,0),則CM=(31,31-4,0)CM丄DE,CMDE=(31,31-4,0)(3,3,0)=18112=0宀ICM=jMC=(一220).再令N點在DE上，且CN丄DE，設N點的坐標為N(3丫,3丫,0)，則CN=(3丫,3丫-4,-2)1CN丄DE,CNDE=(3丫,3丫-4,-2)(3,3,0)=18丫-12=011Y=2,CN=(2,-2,-2),NC=(-2,2,2)311MCNC1(-2,2,0)(-2,2,2)cose=1=IMCI丨NCI(-2)2+22+02飛1-2)2+22+22T(II)設EC與FD所

13、成角為0，則11-3x(-2)+1x(-4)+2x2+2ECFDcos0=11=IECI丨FDI(-3)2+12+22x(-2)2+(-4)2因為本題的已知條件和結論具有一定的解題方向性，它明確告訴我們用向量的方法解決問題.在高考結束后，本人詢問了自己所任教班級的部分學生，他們大多數能用向量法解這道題.如果不用向量法，對于中等(或以下)水平的學生，他們連二面角的平面角或異面直線所成的角都作不出來.可見，用空間向量處理立體幾何中的角與距離問題，可以降低立體幾何的論證、推理難度，使中等(或以下)水平的學生也能很好的掌握，提高得分的能力.對此問題，我們在高考備考上就有意識地引導學生英德市在三月份組織

14、了一次全市統(tǒng)考，采用2004年廣州一模試卷，下面的例3是其中一道考題.例3（2004年廣州一模第18題）如圖，在正四棱柱ABCD-ABCD中，已知AB二2,AA=5,E、F分別為11111DD、BB上的點，且DE=BF=1.111（I）求證：BE丄平面ACF；（II）求點E到平面ACF的距離.分析：題中幾何體易找到共點且相互垂直的三個基向量，故可通過建立空間直角坐標系來達到解題目的但實際情況是仍有相當部分學生的思維還停留在傳統(tǒng)的幾何法上而未能解出第（II）問.解：（I）以D為原點，以DA、DC、DD的正向分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2

15、,0),C(0,2,0),D1(0,0,5),E(0,0,1),F(2,2,4).于是AC=(2,2,0),AF=(0,2,4),BE=(-2,-2,1).A,BE-AC=0,BE-AF=0,BE丄AC,BE丄AF,且ACAAF.BE丄平面ACF（II）由（I）知，BE為平面ACF的一個法向量,向量AE在BE上的射影長即為E到平面ACF的距離，設為d，于是d=1AEI-1cos1=1AEI-IAE-BEIIAEI-1BEII(-2,0,1)(-2,-2,1)I=5(-2)2+(-2)2+123故點E到平面ACF的距離為3.考后對學生評講本題的過程中，為了讓他們體會用向量法解題的優(yōu)越性，我首先用

16、傳統(tǒng)的幾何法，再用向量法來解通過師生的交流及正確的導向，同學們更好地掌握了用向量法求空間角與距離的一般方法。以上例2、例3中的幾何體為長方體，較為容易建立坐標系。如果題中幾何體不是長方體或正方體，則考察幾何體中的線線垂直、線面垂直及面面垂直關系.如：例4（2004高考福建數學卷19）在三棱椎S-ABC中，AABC是邊長為4的正三角形，平面SAC丄平面ABC,SA=SC=2遼,M為AB的中點.1)求證AC丄SB；求二面角SCMA的大??；圖10求點B到平面SCM的距離.分析：如圖10,以AC中點O為坐標原點，以OA、OB、OS的正向分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系即可得出各相關點的坐標(解

17、略)例5把正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點E,F分別是AD,BC的中點，點O是原正方形的中心，求(1)EF的長；(2)折起后ZEOF的吧大小圖11-”分析：如圖11,以點O為坐標原點，以OB、OC、OD的正向分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為a即可得出各相關點的坐標(解略)- -練習題如圖，在長方體an中“-,E為CD中點求證:打:弟;在棱丄h上是否存在一點P,使得卩平面H若存在，求AP的長;若不存在，說明理由.若二面角ADL丄的大小為:，求AB的長.如圖，在四棱錐中，平面平面.：工乂百_一0,丸衛(wèi)三1,三2,丄廣-CLf三皆(1)求證：平面*;求直線與平面

18、W所成角的正弦值；.4A/在棱、上是否存在點；;，使得:，平面W?若存在，求川的值;若不存在，說明理由。p- -3如圖，四邊形“為菱形，“是平面f同一側的兩點，:二平面.：；：.，門，平面兒，：,：；.：*，I(I)證明：平面平面(II)求直線宀與直線【所成角的余弦值。4.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD,N為PC的中點.證明：MN平面PAB；求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.p2.- -參考答案解:嘆A拘原就帀，帀.科的方向再崩由，丫鈾N由的正方向建立空間宜角坐標系,如囹,ABit.-11./

19、!(.().),D(ihi.tl.Dj(IKln.l.tnI)故Ad=(),.!),MiE=f-專丄-I),ab=也,41卜=尊J*。),.ADiBE=1-1=0一-一療ik丄川；(II】假說在上存在一點刊使得口削平面B.AE.此時DP=(Oh_iht).又設平面雖/1E的法向量Tt心：,對inf丄+lk丄,卅丄汀；?罠17十辛=02+”=一?。簛A.由(1口，出丄趙旦曲jQTiD丄耳/B.ni丄平面,是干西孑珀.4.邑的一卜鍛EHIt匕日寸；1丘亓=(O.1,1)設J3,與TTr所同SMJ垢沖円b510卻上打-W-.二両壇I趕一白勺K:1扶3:如二|gS|/丄十普+心- -(1:,-1平面P.IAI丹|LI改仙Pl平面,賀切-iff.呼百,11-AUliD.-.,M-iiAW-.I-!I,:.1平E|,.l駅二cm-z：7I/_p-.ii.ihb勒.ii卜52.i